具有相互干扰的捕食-食饵系统的定性分析
2014-08-28张树文
沈 柠 ，张树文
(集美大学理学院，福建 厦门 361021)
具有相互干扰的捕食-食饵系统的定性分析
沈 柠 ，张树文
(集美大学理学院，福建 厦门 361021)
考虑了捕食者具有相互干扰的Holling-Tanner型捕食-食饵系统，得到了正平衡态存在的条件，进而得到了正平衡态全局稳定的充分条件.
捕食-食饵系统；平衡态；局部稳定；全局稳定
0 引言
众所周知，捕食-食饵系统是种群生态学的重要系统，它已被广泛研究且得到了许多重要的结论[1-6].捕食-食饵系统一般可写为：
(1)
其中：g(x)为食饵种群的增长率；d为捕食者种群的死亡率；φ(x)为捕食者的捕食函数.此类建模通常称为A建模，即捕食者捕食食饵用来转化为捕食者的增长能量.此外，还考虑另一种B建模，即捕食者捕食食饵用来增加捕食者的环境容纳量.文献[7]研究了下列捕食-食饵系统：
(2)
显然，对系统(2)的第二个方程x不能为0，为了弥补这一缺陷，将第二个方程改为
y′=ys(1-hy/k+x)，
其中k>0为食饵x等于0时捕食者的环境容纳量.1971年，Hassell研究圆柄姬蜂攻击粉斑蝶时，发现当两只搜寻的圆柄姬蜂相遇时，其中之一或两只都有离开相遇地方的趋势，即干扰现象.进而，具有相互干扰捕食-食饵模型被大量研究[8-13].本文提出下面捕食者具有相互干扰的Holling-Tanner捕食-食饵模型：
(3)
其中：x(t)和y(t)分别表示食饵种群和捕食者种群在t时刻的种群密度；r1>0，r2>0分别表示食饵种群和捕食者种群的内禀增长率；e表示捕食者的捕食率.系统(3)中的第一个方程中yθ(t)(0<θ<1)体现了捕食者的相互干扰.本文主要研究系统(3)的解的非负性、有界性、平衡态的局部稳定性、正平衡态的存在性和全局稳定性以及数值模拟.
1 系统(3)的解的有界性
定理1 令v(t)=(x(t),y(t))T是系统(3)的任意解，如果x(0)>0和y(0)>0成立，则x(t)>0，y(t)>0对于t≥0都是成立的.
定理2 系统(3)的所有解都是有界的.
2 平衡态的局部稳定性
定理3 1)系统(3)的平衡态(0,0)是不稳定的结点，平衡态(r1/a1,0)是鞍点；2)当r1
定理4 当r1>e(r2k/le)θ时，系统(3)的正平衡态(x*,y*)是局部稳定的.
3 正平衡态(x*,y*)的全局稳定性
4 数值模拟
为了验证结论的正确性，系统(3)的系数取r1=2，r2=2，a1=0.1，e=0.5，k=2，l=0.8，θ=0.5，此时，系数满足条件r1>e(r2k/le)θ，即正平衡态存在，可以得到系统的正平衡态为(x*,y*)=(0.914 155 62,14.570 777 9)，图1是x，y的相图，其中曲线1是初值条件为(0.5,3)时的解轨线，曲线2是初值条件为(2,6)时的解轨线，曲线3是初值条件为(1,5)时的解轨线.由图1可知，不论初值为何值，当t趋于无穷时，系统的所有解都是趋于(x*,y*)，因而，系统的正平衡态是全局渐近稳定的.
若系统(3)的系数取r1=2，r2=2，a1=0.1，e=0.5，k=2，l=0.8，θ=0.7，此时，系数满足条件r1 本文首先建立了具有相互干扰的Holling-Tanner型捕食-食饵系统.当r1 [1]ZHAO Y Z.Global behavior for a diffusive predator-prey system with Holling type II functional response [J].Boundary Value Problems，2012,2012:111. [2]FENG J W，ZEN X W.The global stability of predator-prey system of gause-type with hollingⅢ functional response[J].Wuhan University Journal of Natural Sciences，2000,5(3):271-277. [3]郭改慧，吴建华.一类捕食-食饵模型正解的存在性和唯一性 [J].武汉大学学报：理学版，2008,54(1):9-14. [4]ARDITI R,GINZBURG L R.Coupling in predator-prey dynamics:ratio-dependence[J].Journal of The Oretical Biology，1989，139：311-326. [5]LESLIE P H,GOWER J C.The properties of a stochastic model for the predator-prey type of interaction between two species[J].Biometrica，1960,47:219-234. [6]CAO X T，CHEN L S.A note on the uniqueness of limit cycles in two species predator-prey system[J].Ann of Diff Eqs,1986,2(4):415- 417. [7]HSU S B，HWANG T W.Global stability for a class of predator-prey systems [J].SIAMJ Appl Math，1995,55:763-783. [8]陈兰荪，宋新宇，陆征一.数学生态学模型与研究方法 [M].成都：四川科学技术出版社，2003. [9]HASSEL M P.Metual interference between searching insect parasites [J].Anim Ecol，1971，40：473- 486. [10]LESLIE P H.Some further notes on the use of matrices in population mathematics [J].Biometrika，1948，35：213-245. [11]郭红建.一类具有干扰的两种群捕食系统 [J].信阳师范学院学报：自然科学版，2006，19(3):255-257. [12]陈斯养，李方.具有干扰的捕食与被捕食模型的定性分析 [J].西北大学学报：自然科学版，2009,39(6):921-924. [13]潘红卫.一类具相互干扰的Leslie捕食与被捕食系统的定性分析[J].长沙大学学报，2005，19(5)：18-20. (责任编辑 马建华 英文审校 黄振坤) Qualitative Analysis of a Predator-prey Model with Mutual Interference SHEN Ning,ZHANG Shu-wen (School of Science,Jimei University,Xiamen 361021,China) A Holling-Tanner predator-prey model with mutual interference among predators was considered.Firstly,the conditions of the existence of the positive equilibrium were given.Further,the sufficient conditions of the global stability of the positive equilibrium were obtained. predator-prey model;equilibrium solution;local stability;global stability 2013-09-26 2013-11-26 国家自然科学基金资助项目(31272653,11301216 ) 沈柠 (1991—)，男，硕士生，从事生物数学方向研究.通讯作者：张树文(1963—)，男，教授，硕导，从事生物数学方向研究，E-mail:anzsw_123@163.com. 1007-7405(2014)02-0143-05 O 175.13 A
5 结论
