M-纤维式同伦扩张性质及其应用

郑芳婷, 赵 浩

(华南师范大学数学科学学院，广州 510631)

我们称(α,β)为M-纤维式映射, 记作(α,β):(X1,p1,Y1)→(X2,p2,Y2).对象p:X→Y称为M-纤维式空间,记作(X,p,Y).范畴MAP中态的合成为各分量映射的分别合成,即：

(α,β)(θ,φ):(X1,p1,Y1)→(X2,p2,Y2),

(α,β)(θ,φ)=(αθ,βφ).

易见,范畴Top为范畴MAP的子范畴.这种关系暗示可将范畴Top中的性质在范畴MAP中作推广, 或者把范畴MAP里的命题特殊化到范畴Top进行刻画说明.在范畴Top中,设空间X的一个子空间为A,如果任意映射X×{0}∪A×I→Y可以扩张成映射X×I→Y,则称空间偶(X,A)具有同伦扩张性质[3].同伦扩张性质作为代数拓扑的一个基本概念,是研究的重要对象.

本文将范畴Top中的同伦扩张性质推广到范畴MAP进行刻画, 并论证若干相关性质.

文献[3]定义了范畴Top的同伦扩张并给出部分应用, 但未给出严格证明. James系统地阐述了纤维式同伦论,描述了与之对偶的空间下范畴同伦论[4], 并分别介绍了纤维式一般拓扑理论与纤维式稳定同伦论[5]. Buhagiar[2]将所有连续映射都处理成对象建立起M-纤维式范畴,并探讨纤维式的一般拓扑,推广了纤维式一般拓扑的理论. Hotta与Miwa[6]系统地建立起范畴MAP的同伦论, 定义了M-纤维式纤维化,由此推广了文献[7]中关于纤维范畴的部分重要命题.文献[8]进一步对M-纤维式纤维化的特征和诱导纤维化进行了研究. 文献[9]考虑了此范畴中对象的H-性质和CoH-性质. 本文将先建立起M-纤维式范畴中的同伦扩张性质并给出其若干应用,同时将上述命题都特殊化到范畴Top中进行刻画,由此对应得出关于拓扑范畴中同伦扩张性质的相关结论.

设A0为A的子空间,X0为X的子空间,以下是本文所得主要结论.

定理1 ((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质等价于(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)是(A×I,p×id,X×I)的M-纤维式收缩核.

定理3 若(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)是(A×I,p×id,X×I)的M-纤维式形变收缩核,(f1,f2),(g1,g2):(A0,p0,X0)→(E,f,B)是贴附映射,且(f1,f2)≃F(g1,g2).则(E,f,B)(f1,f2)(A,p,X)≃M(E,f,B)(g1,g2)(A,p,X)rel(A0,p0,X0).

定理4 映射(α,β):(A,p,X)→(E,f,B)为同伦等价当且仅当(A,p,X)是M-纤维式映射柱M(α,β)的形变收缩核.故M-纤维式空间(A,p,X)与(E,f,B)同伦等价当且仅当存在一个M-纤维式空间同时以(A,p,X)和(E,f,B)为M-纤维式形变收缩核.

上述各定理中所出现的符号说明见第1节.

1 M-纤维式同伦扩张性质

作为拓扑范畴中同伦扩张性质的自然推广,本节将在范畴MAP中定义出M-纤维式同伦扩张性质.此处先对后文所涉及的定义和记号进行声明.

定义1 (α,β):(A,p,X)→(E,f,B)是M-纤维式映射. (A×IE,p×idf,X×IB)以等价关系a×{1}～α(a),x×{1}～β(x)(aA,xX)所作商空间定义为M-纤维式映射柱：

定义2 (A0,p0,X0)是(A,p,X)的子集,(α,β):(A0,p0,X0)→(E,f,B)为M-纤维式映射.定义(a0,p,x0)与(α,β)(a0,p,x0)=(e,f,b)粘合得到的(A,p,X)(E,f,B)的商空间为借助映射(α,β):(A0,p0,X0)→(E,f,B)把(A,p,X)贴附到(E,f,B)的M-纤维式贴附空间,记作(A,p,X)(α,β)(E,f,B).

根据范畴Top的同伦扩张和范畴MAP的概念定义M-纤维式同伦扩张性质如下：

例1 设A0为CW复形A的子复形,X0为CW复形X的子复形,则空间偶(A,A0)与(X,X0)具有同伦扩张性质. 若令映射p0:A0→X0与p：A→X为单值映射且映为X中的相同单点,则((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纤维式同伦扩张性质.

选取定义5中的M-纤维式映射(α,β)为M-纤维式恒同映射,则可得定理1.

定理1的证明(必要性)由注记1,((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质即当任意映射

(ω,η):(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)→

(E,f,B)

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)

上的恒同映射能扩张成：

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I).

(充分性)记收缩映射为

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I),

对于任意给定映射

(ω,η):(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)→

(E,f,B),

有：

(ω,η)

(E,f,B),

由注记1可知((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质.

推论1[3](X，A)具有同伦扩张性质等价于X×{0}∪A×I是X×I的收缩核.

以下给出具体的形变收缩过程,使得上述关于M-纤维式收缩核的等价条件进一步加强为M-纤维式形变收缩核.

性质1 ((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质等价于(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)是(A×I,p×id,X×I)的M-纤维式形变收缩核.

此命题充分性由定理1易见,故此处只给出必要性的证明.

由((A,p,X),(A0,p0,X0))为具有同伦扩张性质的偶对可得收缩映射：

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I).

不妨以分量形式记R(a,t)=(R1(a,t),R2(a,t)),r(x,t)=(r1(x,t),r2(x,t)),其中,

则可以得到形变收缩(H,h):(X×I×I,p×id×id,B×I×I)→(X×I,p×id,B×I)：

H(a,t,s)=((1-s)t+sR1(a,t),R2(a,ts))

h(x,t,s)=((1-s)t+sr1(x,t),r2(x,ts)).

推论2[3](X,A)具有同伦扩张性质等价于X×{0}∪A×I是X×I的形变收缩核.

下面找出和M-纤维式同伦扩张性质密切相关的“M-纤维式闭映射柱邻域”.

性质2 对于M-纤维式偶对((A,p,X),(A0,p0,X0)),若可找到M-纤维式映射(α,β):(BA,pB,BX)→(A0,p0,X0)及同胚(,ξ):M(α,β)→(NA,pN,NX),满足(NA,pN,NX)为(A0,p0,X0)的M-纤维式闭邻域,且|A0=idA0,ξ|X0=idX0,则((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纤维式同伦扩张性质.记AN的边界(BA)为的边界ξ(BX)为纤维式空间(NA,pN,NX)称作(A0,p0,X0)的M-纤维式闭映射柱邻域.

证明记收缩映射c:I×I→I×{0}∪∂I×I,进而有按下述方式定义的映射：

c1:BA×I×I→BA×I×{0}∪BA×∂I×I，

c2:BX×I×I→BX×I×{0}∪BX×∂I×I，

ci(b,s,t)=(b,p1r(s,t),p2c(s,t))

也为收缩映射.按M-纤维式映射柱中等价条件作商,易得如下方式定义的M-纤维式收缩映射

(R,r):(Mα×I,pM×id,Mβ×I)→

(Mα×{0}∪(A0BA)×I,

pM×{0}∪(p0pB)×I,Mβ×{0}∪(X0BX)×I),

且满足如下交换

其中pM为按如下商映射交换

诱导的pB×idp0的下放,(w,v)为粘合M-纤维式映射柱中等价类的M-纤维式商映射.

由定理1可知,(M(α,β),(A0,p0,X0)(BA,pB,BX))具有M-纤维式同伦扩张性质,且根据题设,(,ξ):M(α,β)→(NA,pN,NX)为同胚,|A0=idA0,ξ|X0=idX0易得((NA,pN,NX),(A0,p0,X0)也具有M-纤维式同伦扩张性.如下所示诱导：

下证((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纤维式同伦扩张性质.令(g1,g2):(A,p,X)→(E,f,B),(G1,G2):(A0×I,p0×id,X0×I)→(E,f,B),满足：

G1|A0×{0}=g1|A0,G2|X0×{0}=g2|X0.

即存在并满足如下交换：

(1)

(2)

(3)

根据(H,h)定义及交换(1)易得如下交换.

(4)

由((NA,pN,NX),(A0,p0,X0)可M-纤维式同伦扩充,则对于(g1,g2)|(NA,pN,NX):(NA,pN,NX)→(E,f,B)和按如下方式定义的(,):((A0,p0,X0)表示M-纤维式空间(A0,p0,X0)中的元素)

其中

故由定义5知((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纤维式同伦扩张性质.

2 M-纤维式同伦扩张性质的应用

上一节讨论了((A,p,X),(A0,p0,X0))的M-纤维式同伦扩张性质成立的等价条件.本节将进一步讨论性质应用.首先,假设(A0,p0,X0)是M-纤维式可缩空间,则有定理2.

定理2的证明由于子空间(A0,p0,X0)是可缩的,则设有同伦

(A,p,X).

由于((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质,故上述映射可扩张成(H,h):(A,p,X)×I→(A,p,X)满足H0=idX,h0=idA而H1(X)与h1(A)为X和A中的单点.

将(A0,p0,X0)映到一点.

故有

(idA/A0,idX/X0),

故(g1,g2)和(α,β)是互为M-纤维式同伦逆的M-纤维式同伦等价.

推论4[3]若(X,A)具有同伦扩张性质且A可缩,则商映射q:X→X/A是同伦等价.

性质3 若((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质且包含映射(i1,i2):(A0,p0,X0)→(A,p,X)是同伦等价,则(A0,p0,X0)是(A,p,X)的形变收缩核.

证明设(r1,r2):(A,p,X)→(A0,p0,X0)是(i1,i2):(A0,p0,X0)→(A,p,X)的同伦等价,即

(r1,r2)(i1,i2)≃M(idA0,idX0),

(i1,i2)(r1,r2)≃M(idA,idX).

下证(r1,r2)与一收缩映射(R1,R2):(A,p,X)→(A0,p0,X0)同伦.

设(H,h):(A0×I,p0×id,X0×I)→(A0,p0,X0)为(r1,r2)(i1,i2)到(idA0,idX0)的同伦,则

(H,h)(,0)=(r1,r2)()(∀(A0,p0,X0).

又根据((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纤维式同伦扩张性质有(H′,h′):(A×I,p×id,X×I)→(A0,p0,X0),使得：

(H′,h′)(,0)=(r1,r2)() ((A,p,X)),

(H′,h′)|(A0×I,p0×id,X0×I)=(H,h).

推论5[3]若(X,A)具有同伦扩张性质且包含映射i:A→X是同伦等价,则A是X的形变收缩核.

下面将定义3中的映射设定成从(A0,p0,X0)到(E,f,B)的贴附映射,构造出包含(E,f,B)的贴附空间((E,f,B)(α,β)(A,p,X)),并进一步证明偶对((E,f,B)(α,β)(A,p,X),(E,f,B))具同伦扩张性质.

性质4 若((A,p,X),(A0,p0,X0))具有同伦扩张性质,则对于M-纤维式映射(α,β):(A,p,X)→(E,f,B),其贴附空间与(E,f,B)组成的偶对((E,f,B)(α,β)(A,p,X),(E,f,B))满足同伦扩张性质.

证明由((A,p,X),(A0,p0,X0))具有M-纤维式同伦扩张性质,故可得到收缩映射

(R,r):(A×I,p×id,X×I)→

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I),

进而

(A×{0}∪A0×I,p∪p0×id,X×{0}∪X0×I)

由定理1易见((E,f,B)(α,β)(A,p,X),(E,f,B))具有M-纤维式同伦扩张性质.

推论6[3]若(X,A)具有同伦扩张性质,f:A→Y为连续映射,则贴附空间YfX与Y组成的偶对(YfX,Y)满足同伦扩张性质.

以下假设2个从(A0,p0,X0)到(E,f,B)的贴附映射M-纤维式同伦,证明2个贴附空间关于(A0,p0,X0)相对同伦.下面给出定理3的证明.

(H,h):((E,f,B) (A×I,p×id,X×I))×I→

(E,f,B) (A×I,p×id,X×I)

(E,f,B)(f1,f2)(A,p,X),

(E,f,B)(g1,g2)(A,p,X).

对应收缩映射r1,r2的形变收缩记作为(H1,h1)和(H2,h2).

(E,f,B)(g1,g2)(A,p,X)≃M(H,h)

(E,f,B)(F1,F2)(A,p,X)rel(A0,p0,X0),

(E,f,B)(f1,f2)(A,p,X)≃M(H,h)

(E,f,B)(F1,F2)(A,p,X)rel(A0,p0,X0).

又由于空间相对同伦等价为等价关系可传递：

故结论成立.

推论7[3]若(X,A)具有同伦扩张性质,f,g:A→Y是贴附映射且映射f同伦于映射g,则YfX≃YgXrelA.

最后利用M-纤维式同伦扩张性质和上述所得结论给出定理4的证明.

下面说明(α,β)为同伦等价⟺(i1,i2)为同伦等价.

(⟹)若(α,β)为同伦等价,则由(i1,i2)≃M(j1,j2)(α,β)可得(i1,i2)为同伦等价,再根据性质3有(A,p,X)是M-纤维式映射柱M(α,β)的形变收缩核.

(⟸)若(i1,i2)为同伦等价,由(α,β)=(r1,r2)(i1,i2)得f也是同伦等价

故此命题转化为(i1,i2):(A,p,X)→M(α,β)为同伦等价⟺(A,p,X)是M-纤维式映射柱M(α,β)的形变收缩核.下面对此命题展开证明：

(⟸)显然,图中的收缩映射(R1,R2)即为(i1,i2)的同伦逆.

(⟹)因为(A,p,X)在M(α,β)中有一如性质2定义的闭映射柱邻域(A,p,X)×[1/2,1],其中映射f令为id(A,p,X),则M(α,β)即为(A,p,X)×[0,1].构造同胚：

(ω,η)(,t)=(,

满足

(ω,η)|(A,p,X)×{0}=id(A,p,X),

(ω,η)((A,p,X)×{1})=(A,p,X)×{1/2},

(A,p,X)×[0,1/2]-(A,p,X)×{1/2}

推论8[3]映射f:X→Y为同伦等价当且仅当X是映射柱Mf的形变收缩核.故拓扑空间X与Y同伦等价当且仅当存在一个空间以X及Y为形变收缩核.

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