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数列易错点分析

2014-08-27林明霞

考试周刊 2014年50期
关键词:易错正整数通项

林明霞

数列内容是高考重点内容,然而在解答数列题时,总是会在一些细节处丢分,现列举如下,引以为戒.

易错点1:运用公式“a =S -S ”不当致误

例1:数列{a }前n项和s 且a =1,a = s ,求数列{a }的通项公式.

解析:由a =1,a = s 得a = s (n≥2)a -a = s - s = a (n≥2),得a = a (n≥2).又a =1,a = ,故数列{a }从第二项开始为等比数列

故a =1(n=1) ?摇 (n≥2).

【误区】此题在应用s 与a 的关系时误认为a =s -s 对于任意n值都成立,忽略了对n=1的情况的验证.易得出数列{a }为等比数列的错误结论.

易错点2:运用等比数列求和公式时忽视公比的限制条件致误

例2:求和S=1+x+x +…+x

解析:当x=0时S=1;当x=1时S=n+1;当x≠1时S= ,

∴S=n+1,x=1 ,x≠1.

【误区】忽视等比数列公比q≠0的前提条件直接按等比数列求和,然后利用等比数列求和时忽视对公比q=1和q≠1的讨论.

易错点3:忽视等差数列的公差的限制条件致误

例3:在公差为d的等差数列{a }中,已知a ,a ,a 成等比数列.已知数列{a }前10项和为45,求数列{a }的通项公式.

解析:由题意a =a ·a 即(a +3d) =a ·(a +7d),即9d =a ·d,

∴d=0或9d=a .

当d=0时10a =45,则a = ,∴a = .

当9d=a 时,得10a + d=45,得a =3,d= ,∴a = .

易错点4:由递推公式证明数列是等比数列或等差数列时定义运用不当

例4:已知数列{a }中首项a =1,当n为奇数时a =2a ,当n为偶数时,a =a +1,求a ,a 并证明数列{a +1}是等比数列.

解析:a =2a =2,a =a +1=3,

当n≥2时a =a +1,a =2a ,

∴a =2a +1,∴a +1=2a +2,∴ =2(n≥2),所以{a +1}是等比数列.

【误区1】求a ,a 代错递推公式,得出a =a +1=2,a =2a =4的错误结论.

【误区2】错误利用定义证明 为定值,导致证明无法进行下去.为了预防证明目标不明的现象,只需设b =a +1,然后利用定义证明 =2(n≥2)即可.

易错点5:忽视参数的值致误

例5:已知等差数列前n项和S =n +3n+p,则S =?摇?摇?摇 ?摇.

解析:a =S =4+p,S =10+p,S =18+p,则a =6,a =8,∴a =4+p=4,∴p=0,∴S =40.

【误区】忽视等差数列前n项和特征,直接代入公式出错.类似的还有等比数列前n项和S =a-3 时应有a=1.

易错点6:忽视特殊项致误

例6:已知等差数列{a }的通项公式a =5n-75,则前n项和S 取得最小值时的正整数n是?摇?摇?摇?摇.

解析:由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05(n+1)-75≥0,∴14≤n≤15,∴n=14或15时前n项和最小.

【误区】该数列是首项为负,公差为正的单调递增数列,因此认为前面的所有负值项之和最小,忽视了负值项与正值项之间的零值项导致出错.

易错点7:数列最值意义不清致误

例7:已知数列{a }满足a =33,a -a =2n,则 的最小值为?摇?摇?摇 ?摇.

解析:a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a

=2×(n-1)+2×(n-2)+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f(x)=x+ -1(x>0)在[ ,+∞)上为增函数,在(0, ]上为减函数,

又n∈N ,f(5)= ,f(6)= ,∴( ) =f(6)= .

【误区】忽视了n为正整数,直接利用基本不等式求最值导致结论出错.实际上研究数列的最值时,往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性解决.也可以利用数列的单调性的判断方法:设b = ,由b -b =[(n+1)+ -1]-(n+ -1)>0,得1- >0,即n(n+1)<33又n为正整数,所以n≤6,即{b }当1≤n≤6单调递减,当n≥7时单调递增,所以当n=6时 取得最小值.endprint

数列内容是高考重点内容,然而在解答数列题时,总是会在一些细节处丢分,现列举如下,引以为戒.

易错点1:运用公式“a =S -S ”不当致误

例1:数列{a }前n项和s 且a =1,a = s ,求数列{a }的通项公式.

解析:由a =1,a = s 得a = s (n≥2)a -a = s - s = a (n≥2),得a = a (n≥2).又a =1,a = ,故数列{a }从第二项开始为等比数列

故a =1(n=1) ?摇 (n≥2).

【误区】此题在应用s 与a 的关系时误认为a =s -s 对于任意n值都成立,忽略了对n=1的情况的验证.易得出数列{a }为等比数列的错误结论.

易错点2:运用等比数列求和公式时忽视公比的限制条件致误

例2:求和S=1+x+x +…+x

解析:当x=0时S=1;当x=1时S=n+1;当x≠1时S= ,

∴S=n+1,x=1 ,x≠1.

【误区】忽视等比数列公比q≠0的前提条件直接按等比数列求和,然后利用等比数列求和时忽视对公比q=1和q≠1的讨论.

易错点3:忽视等差数列的公差的限制条件致误

例3:在公差为d的等差数列{a }中,已知a ,a ,a 成等比数列.已知数列{a }前10项和为45,求数列{a }的通项公式.

解析:由题意a =a ·a 即(a +3d) =a ·(a +7d),即9d =a ·d,

∴d=0或9d=a .

当d=0时10a =45,则a = ,∴a = .

当9d=a 时,得10a + d=45,得a =3,d= ,∴a = .

易错点4:由递推公式证明数列是等比数列或等差数列时定义运用不当

例4:已知数列{a }中首项a =1,当n为奇数时a =2a ,当n为偶数时,a =a +1,求a ,a 并证明数列{a +1}是等比数列.

解析:a =2a =2,a =a +1=3,

当n≥2时a =a +1,a =2a ,

∴a =2a +1,∴a +1=2a +2,∴ =2(n≥2),所以{a +1}是等比数列.

【误区1】求a ,a 代错递推公式,得出a =a +1=2,a =2a =4的错误结论.

【误区2】错误利用定义证明 为定值,导致证明无法进行下去.为了预防证明目标不明的现象,只需设b =a +1,然后利用定义证明 =2(n≥2)即可.

易错点5:忽视参数的值致误

例5:已知等差数列前n项和S =n +3n+p,则S =?摇?摇?摇 ?摇.

解析:a =S =4+p,S =10+p,S =18+p,则a =6,a =8,∴a =4+p=4,∴p=0,∴S =40.

【误区】忽视等差数列前n项和特征,直接代入公式出错.类似的还有等比数列前n项和S =a-3 时应有a=1.

易错点6:忽视特殊项致误

例6:已知等差数列{a }的通项公式a =5n-75,则前n项和S 取得最小值时的正整数n是?摇?摇?摇?摇.

解析:由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05(n+1)-75≥0,∴14≤n≤15,∴n=14或15时前n项和最小.

【误区】该数列是首项为负,公差为正的单调递增数列,因此认为前面的所有负值项之和最小,忽视了负值项与正值项之间的零值项导致出错.

易错点7:数列最值意义不清致误

例7:已知数列{a }满足a =33,a -a =2n,则 的最小值为?摇?摇?摇 ?摇.

解析:a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a

=2×(n-1)+2×(n-2)+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f(x)=x+ -1(x>0)在[ ,+∞)上为增函数,在(0, ]上为减函数,

又n∈N ,f(5)= ,f(6)= ,∴( ) =f(6)= .

【误区】忽视了n为正整数,直接利用基本不等式求最值导致结论出错.实际上研究数列的最值时,往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性解决.也可以利用数列的单调性的判断方法:设b = ,由b -b =[(n+1)+ -1]-(n+ -1)>0,得1- >0,即n(n+1)<33又n为正整数,所以n≤6,即{b }当1≤n≤6单调递减,当n≥7时单调递增,所以当n=6时 取得最小值.endprint

数列内容是高考重点内容,然而在解答数列题时,总是会在一些细节处丢分,现列举如下,引以为戒.

易错点1:运用公式“a =S -S ”不当致误

例1:数列{a }前n项和s 且a =1,a = s ,求数列{a }的通项公式.

解析:由a =1,a = s 得a = s (n≥2)a -a = s - s = a (n≥2),得a = a (n≥2).又a =1,a = ,故数列{a }从第二项开始为等比数列

故a =1(n=1) ?摇 (n≥2).

【误区】此题在应用s 与a 的关系时误认为a =s -s 对于任意n值都成立,忽略了对n=1的情况的验证.易得出数列{a }为等比数列的错误结论.

易错点2:运用等比数列求和公式时忽视公比的限制条件致误

例2:求和S=1+x+x +…+x

解析:当x=0时S=1;当x=1时S=n+1;当x≠1时S= ,

∴S=n+1,x=1 ,x≠1.

【误区】忽视等比数列公比q≠0的前提条件直接按等比数列求和,然后利用等比数列求和时忽视对公比q=1和q≠1的讨论.

易错点3:忽视等差数列的公差的限制条件致误

例3:在公差为d的等差数列{a }中,已知a ,a ,a 成等比数列.已知数列{a }前10项和为45,求数列{a }的通项公式.

解析:由题意a =a ·a 即(a +3d) =a ·(a +7d),即9d =a ·d,

∴d=0或9d=a .

当d=0时10a =45,则a = ,∴a = .

当9d=a 时,得10a + d=45,得a =3,d= ,∴a = .

易错点4:由递推公式证明数列是等比数列或等差数列时定义运用不当

例4:已知数列{a }中首项a =1,当n为奇数时a =2a ,当n为偶数时,a =a +1,求a ,a 并证明数列{a +1}是等比数列.

解析:a =2a =2,a =a +1=3,

当n≥2时a =a +1,a =2a ,

∴a =2a +1,∴a +1=2a +2,∴ =2(n≥2),所以{a +1}是等比数列.

【误区1】求a ,a 代错递推公式,得出a =a +1=2,a =2a =4的错误结论.

【误区2】错误利用定义证明 为定值,导致证明无法进行下去.为了预防证明目标不明的现象,只需设b =a +1,然后利用定义证明 =2(n≥2)即可.

易错点5:忽视参数的值致误

例5:已知等差数列前n项和S =n +3n+p,则S =?摇?摇?摇 ?摇.

解析:a =S =4+p,S =10+p,S =18+p,则a =6,a =8,∴a =4+p=4,∴p=0,∴S =40.

【误区】忽视等差数列前n项和特征,直接代入公式出错.类似的还有等比数列前n项和S =a-3 时应有a=1.

易错点6:忽视特殊项致误

例6:已知等差数列{a }的通项公式a =5n-75,则前n项和S 取得最小值时的正整数n是?摇?摇?摇?摇.

解析:由a ≤0a ≥0可得5n-75≤05(n+1)-75≥0,∴14≤n≤15,∴n=14或15时前n项和最小.

【误区】该数列是首项为负,公差为正的单调递增数列,因此认为前面的所有负值项之和最小,忽视了负值项与正值项之间的零值项导致出错.

易错点7:数列最值意义不清致误

例7:已知数列{a }满足a =33,a -a =2n,则 的最小值为?摇?摇?摇 ?摇.

解析:a =(a -a )+(a -a )+…+(a -a )+a

=2×(n-1)+2×(n-2)+…+2×1+33=n -n+33

∴ =n+ -1

又f(x)=x+ -1(x>0)在[ ,+∞)上为增函数,在(0, ]上为减函数,

又n∈N ,f(5)= ,f(6)= ,∴( ) =f(6)= .

【误区】忽视了n为正整数,直接利用基本不等式求最值导致结论出错.实际上研究数列的最值时,往往借助函数的思想利用导数研究数列的单调性解决.也可以利用数列的单调性的判断方法:设b = ,由b -b =[(n+1)+ -1]-(n+ -1)>0,得1- >0,即n(n+1)<33又n为正整数,所以n≤6,即{b }当1≤n≤6单调递减,当n≥7时单调递增,所以当n=6时 取得最小值.endprint

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