一类带扩散的捕食者-食饵模型解的性态研究

谢君辉，雷森文

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

XIE Junhui,LEI Senwen

(School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000, China)

一类带扩散的捕食者-食饵模型解的性态研究

谢君辉，雷森文

(湖北民族学院 理学院，湖北 恩施 445000)

生态学中，由于种群之间存在捕食与被捕食的强烈相互作用，对于捕食者-食饵模型的研究已日渐成为一个重要方向，并进而成为生物数学的一个主要课题.运用比较原理、上下解方法和迭代技巧讨论一类带扩散的捕食者-食饵的偏微分方程模型，证明了正常数平衡解在一些条件下是全局渐近稳定的.

捕食者-食饵；全局渐近稳定性；迭代技巧

1 模型介绍

种群动力学已发展为生物数学的一个重要的分支.经典的Lotka-volterra模型为：

(1)

这个模型包含了两种群之间的竞争、捕食和被捕食、互惠三大关系[1].人们不仅考虑空间上分布均匀的常微分方程生物数学模型，而且也考虑空间分布不均匀的生物数学模型，即反应扩散方程组.

具反应扩散的捕食模型的原型为(以两种群为例)：

(2)

其中u,v分别为食饵种群与捕食者种群的密度，f(u)和g(v)分别表示食饵种群和捕食者种群的内禀增长率，在Volterra早期的工作中，假设f(u)=λu,g(v)=-μv，然而，在实际生活中，捕食者除了食物u之外还有其他固定的食物来源.对于食饵种群和捕食者种群，假设它们具有logistic增长率；φ(u)称为响应函数，表示单个捕食者在单位时间内捕食到食饵的数量，这个概念最早是由Holling提出来的.经典的Lotka-volterra模型Ⅱ中假设φ(u)=u，其生物解释为：在单位时间内，捕食者吃掉的食饵数量与实际食饵数量成正比例关系.这个模型的研究为后来的许多捕食食饵模型的研究奠定了坚实的理论基础.

研究如下具有扩散的反应扩散方程捕食者-食饵模型：

(3)

2 主要结论和证明

问题(3)中，u(x,t)和v(x,t)分别表示食饵和捕食者物种的密度,Ω⊂Rn是边界∂Ω光滑的有界区域，ν是边界∂Ω上的单位外法向量，正常数d1和d2分别是u和v的扩散系数，常数λ,μ,m,b,β,γ>0.不失一般性，假设d1=d2=1.事实上，如果d1,d2≠1，则可以通过伸缩变换[4]将问题(3)化为:

(4)

运用上下解方法、比较原理以及迭代技巧[5-8]证明方程组(4)的正常数稳态解的全局渐近稳定性，关于全局渐近稳定性的更多结论，参见文献[9-10].

事实上，方程组(4)的稳态问题为：

(5)

由方程组4的第二个方程得，对x∈Ω,t≥T1(ε1)，

(6)

(7)

(8)

式(8)等价于:

(9)

(10)

(11)

而式(10)又等价于:

(12)

进一步得:

(13)

(14)

(15)

(16)

[1]Du Y,Sze-Bi Hsu.A diffusive predator-prey model in heterogeneous environment[J].Differential Equations,2004，203:331-364.

[2]吴婷．一类带B-D反应项的捕食食饵模型的解的研究[D].长沙:湖南师范大学,2012.

[3]顾永耕，曾宪忠.被捕食者带有第三边值的捕食模型的正稳态解的存在[J].数学物理学报,2007,27(2):284-292.

[4]郭改慧,李艳玲.带B-D反应项的捕食-食饵模型的全局分支及稳定性[J].应用数学学报,2008,31(2):30-40.

[5]叶其孝,李正元.反应扩散方程引论[M].北京:科学出版社,1994:118-134.

[6]郭大钧.非线性泛函分析[M].山东:山东科技出版社,2003:42-77.

[7]王明新.非线性椭圆型方程[M].北京:科学出版社,2010.

[8]王明新.非线性抛物型方程[M].北京:科学出版社,1997.

[9]Wang M. Global asymptotic stability of positive steady states of diffusive ratio-dependent prey-predator model[J].Appl Math Letters，2008，21:1215-1220.

[10]Zeng X. A ratio-dependent predator prey model with diffusion[J].Nonlinear Analysis RWA，2007，8：1062-1078.

[11]张汉基，李艳玲.一类捕食-食饵模型近平衡的存在性[J].西南民族大学学报：自然科学版，2007，33(4)：760-766.

责任编辑：时凌

StudyofPropertyofSolutionsforaClassofPredator-preyModelwithDiffusion

In the field of ecology, the research of predator-prey interaction has become a very important issue because of the strong interactions between populations.Therefore, it has become a major topic in mathematics and ecology.In this paper, we prove the positive constant steady state of a class of predator-prey model with diffusion is globally asymptotically stable under some conditions by using the comparison principle,upper and lower solution method and the iterative technique.

predator-prey；global asymptotic stability；iteration technique

2014-11-17.

湖北省教育厅科学研究指导性项目；湖北民族学院博士启动基金(MY2013B019).

谢君辉(1984- )，女(土家族)，博士，讲师，主要从事偏微分方程理论及应用研究.

O029

A

1008-8423(2014)04-0398-04

XIE Junhui,LEI Senwen

(School of Science，Hubei University for Nationalities，Enshi 445000, China)