Hn(F)上的Jordan半可乘映射

高会双，孙志玲

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043)

GAO Huishuang，SUN Zhiling

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)

Hn(F)上的Jordan半可乘映射

高会双，孙志玲

(内蒙古民族大学 数学学院，内蒙古 通辽 028043)

Hn(F)为F上n×n的自伴矩阵全体.证明了自伴矩阵代数上的Jordan半可乘映射具有8种形式,特别在证明第8种形式时,利用双边保Jordan零积映射的研究,进而得到了自伴矩阵代数上的Jordan半可乘映射的刻画.

自伴矩阵;秩;Jordan半可乘映射

1 引言与记号

算子代数上保持问题的研究，讨论算子代数之间保持某种性质不变的映射及其刻画和分类问题.当所涉及的映射是线性映射时，即所谓的线性保持问题.在线性保持问题研究的基础上，人们开始进一步研究可加，可乘，甚至更一般的非线性保持问题. 进而，Jordan可乘保持问题和Jordan-triple可乘保持问题也在许多文献中进行了深入讨论[1-6].

2006年，Hou和An在文献[1]中证明了自伴算子空间上的Jordan-triple可乘双射一定是可加的.本文给出Hn(F)上Jordan-triple可乘映射的完整刻画和分类.

用F表示实数域R或复数域C，记F*=F{0}.Hn(F)为F上n×n的自伴矩阵全体.设A,B为上的两个代数，若映射Φ:A→B满足Φ(ABA)=Φ(A)Φ(B)Φ(A)，则称Φ为A到B的Jordan半可乘映射或Jordan-triple可乘映射.

引理1[6]设n≥3，F为域，令Hn(F)是n×n的实对称矩阵集合或n×n的复埃尔米特矩阵集合. 假设G⊆Hn(F)包含所有的秩小于等于2的埃尔米特矩阵. 那么Φ:G→G满足对任意的A,B∈G:

ABA=0⟺Φ(A)Φ(B)Φ(A)=0.

的充分必要条件是存在酉矩阵U和数值函数α:G→R*使得以下条件之一成立：

i) 当A∈G或Φ(A)∈G有不同的特征根符号时， 有:

Φ(A)=α(A)UA†U*,

ii) 对所有的A∈G，有:

KerΦ(A)=KerUA†U*和rngΦ(A)=rngUA†U*.

2 Hn(F)上的Jordan半可乘映射

定理1 设Hn(F)为n(n≥3)阶自伴矩阵代数，则映射Φ:Hn(F)→Hn(F)为Jordan半可乘的充要条件是下列之一成立：

i) Φ(A)=0,∀A∈Hn(F)；

ii) Φ(A)=I,∀A∈Hn(F)，或Φ(A)=-I,∀A∈Hn(F)；

其中Φi:Hn(F)→Hki(F)(i=1,2)为Jordan半可乘映射，Φi(0)=0(i=1,2)；

其中Φ1:Hn(F)→Hk(F)和Φ2:Hn(F)→Hn-k(F)为Jordan半可乘映射，并且Φi(0)=0(i=1,2)；

vii) Φ(I)=I,Φ是Jordan半可乘的且对任意的秩为1的矩阵A∈Hn(F)，都有Φ(A)=0；

证明充分性是显然的.下证必要性.

前6种情形的证明与文献[6]的证明相似， 这里不给出具体的证明.

下面证明若Φ(I)=I，要么对任意的秩为1的矩阵A∈Hn(F)，有Φ(A)=0，有(vii)成立，要么存在秩为1的矩阵x0⊗x0，使得Φ(x0⊗x0)≠0.将证明后一种情形下对任意的一秩矩阵x⊗x∈Hn(F)，都有：Φ(x⊗x)≠0.

对λ∈F，且λ≠0，有：

I=Φ(I)=Φ(λI)Φ(λ-2I)Φ(λI)，

所以Φ(λI)可逆，对任意的一秩矩阵x⊗x∈Hn(F)，令〈x0,x〉=μ，则：

x0⊗x0x⊗xx0⊗x0=〈x,x0〉〈x0,x〉x0⊗x0=μ2x0⊗x0.

当μ≠0时，有：

Φ(μI)Φ(x0⊗x0)Φ(μI)=Φ(μ2x0⊗x0)=Φ(x0⊗x0)Φ(x⊗x)Φ(x0⊗x0)，

由于Φ(μI)可逆且Φ(x0⊗x0)≠0，因而Φ(x⊗x)≠0，当μ=0时，有〈x0,x〉=0，取z∈Fn使得〈x0,z〉≠0且〈x,z〉≠0，如上可得Φ(x⊗z)≠0，从而Φ(x⊗x)≠0.

下面证明Φ(A)=0⟺A=0，此情形下显然只需证明Φ(A)=0⟹A=0即可.

如A≠0，因而存在x∈Fn，使得:Ax≠0，那么Ax⊗xA=Ax⊗Ax≠0.而：

0≠Φ(Ax⊗Ax)=Φ(Ax⊗xA)=Φ(A)Φ(x⊗x)Φ(A)=0，

这与∀x⊗x∈Hn(F)，都有Φ(x⊗x)≠0. 矛盾.

由上面的证明可知Φ(A)=0⟺A=0.又由Φ是Jordan半可乘映射，因此：

ABA=0⟺Φ(A)Φ(B)Φ(A)=0，

也就是Φ双边保Jordan半零积.

由引理1可知， 假设Φ具有形式 (ii)，则Φ满足对所有的A∈Hn(F)，有：

KerΦ(A)=KerUA†U*,

rngΦ(A)=rngUA†U*.

KerΦ(A)=KerA且rngΦ(A)=rngA.

令A=x⊗f，则Φ(A)=x⊗g. 因为A=A*且Φ(A)=Φ(A)*，所以存在α,β∈F， 使得:

A=αx⊗x,Φ(A)=βx⊗x，

因此Φ(x⊗f)=α(x⊗f)x⊗f.

由Φ是Jordan半可乘映射，因此对所有的A∈Hn(F)，有：

α(Ax⊗Af)Ax⊗Af=Φ(Ax⊗fA)=Φ(A)Φ(x⊗f)Φ(A)=α(x⊗f)Φ(A)x⊗Φ(A)f.

从而对所有的A∈Hn(F)，有Φ(A)=α(A)A. 由Φ是Jordan半可乘映射，因此α是Jordan半可乘的. 综上所述可知，有(viii)成立.

[1]An R,Hou J.Additivity of Jordan multiplicative maps on Jordan operator Algebras[J].Taiwanese J Math,2006,10(1)：45-64.

[2]Molnár L.Multiplicative Jordan triple isomorphism on the self adjoint elements of von Neumann algebras[J].Lin Alg Appl,2006,419:586-600.

[3]Gorazd Lešnjak,Nung-Sing Sze.On injective Jordan semi-triple maps of matrix algebras[J].Lin Alg Appl,2003,375:311-317.

[4]高会双,孙燕.Mn(C)上的Jordan半可乘映射[J].西安工程大学学报,2012,26(6):811-814.

[5]Huishuang Gao. *-Jordan-triple multiplicative surjective maps on B(H)[J].J Math Anal Appl,2013,401(1):397-403.

[6]Dobovišek M，Kuzma B， Lešnjak G，et al.Mappings that preserve pairs of operators with zero tripleJordan product[J].Lin Alg Appl,2007,426:255-279.

责任编辑：时凌

Jordan-triplesurjectiveMapsonHn(F)

LetHn(F) ben×nHermitian matrices onF.In this paper,Jordan-triple maps on Hermitian matrices algebra eight forms are proved,especially in the proof of the eighth form using a study of mappings that preserve pairs of operators with Jordan-triple zero product,and then a characterization of Jordan-triple map on Hermitian matrices algebra is obtained.

Hermitian matrices;rank;Jordan-triple maps

2014-10-19.

国家自然科学基金项目(11005058)；内蒙古自然科学基金项目(2014BS0106).

高会双(1980- )，女，硕士，讲师，主要从事算子代数和数值代数的研究.

O177

A

1008-8423(2014)04-0387-03

GAO Huishuang，SUN Zhiling

(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028043,China)