旋叶式压缩机气缸型线的设计

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(1．浙江工业大学 理学院，浙江 杭州 310023；2．浙江工业大学 计算机科学与技术学院，浙江 杭州 310023；3．浙江工业大学 经贸管理学院，浙江 杭州 310023)

旋叶式压缩机作为一种新型的压缩机具有体积小、结构简单和经济性能好等优点，已成为现代汽车空调压缩机的主流.型线设计作为关键技术之一是研究和设计旋叶式压缩机的基础，对提高压缩机的几何特性和动力性能等具有十分重要的意义.

目前，国内外学者做了大量的研究工作，文献[1]对圆形、两腔缸体型线的设计原则和原理等做了详细的阐述；文献[2]对抛物线、椭圆、三次曲线和三角函数进行了研究，但过渡曲线上存在拐点；文献[3]对旋叶式压缩机叶片头部形状进行了实验研究，发现磨损后的叶片头部型线的变化趋势具有偏心圆弧的形状；文献[4]对简谐曲线、抛物线、椭圆曲线、等速涡旋线以及组合曲线形成的工作腔进行了探讨；文献[5]对三圆弧的旋叶式压缩机叶片设计进行了研究；文献[6]对旋叶式压缩机的叶片型线设计进行了研究，为实现高效压缩提供了理论计算依据；旋叶式压缩机的过渡曲线是由参数曲线构造的，而代数曲线[7-8]是比参数曲线造型能力更强的一种曲线，用代数曲线构造过渡曲线是我们下一步要做的工作.另外，齿轮设计[9-10]也是过渡曲线的实例.笔者分析了文献[2]中过渡曲线上出现拐点的原因，提出了型线设计的新思路，有效地避免了拐点的出现，从而减少了对滑片运动的冲击.同时，从压缩机性能角度上考虑,设计了两类主曲线的通用形式：1) 三次Bézier型线；2) 类四次Bézier型线.第一类曲线适合于构造小排气量高内压比的机器；第二类曲线中有部分曲线适合于构造大排气量低内压比的机器.

1 型线设计的原则及拐点分析

旋叶式压缩机的结构原理如图1所示，当原动机带动转子旋转时，由于离心力和背压力作用叶片被甩出，从而把压缩机缸体空间分为若干基元容积，其大小随转子转动成周期性变化，实现了吸气、压缩和排气的基本工作过程.但现行的压缩机存在较为明显的缺点：其缸体型线设计的密封性不好，叶片易磨损、易冲击等.双工作腔旋叶式压缩机的气缸型线为类椭圆形状，由圆弧段ab、过渡曲线bd和主曲线df三部分组成，需满足以下基本条件：

1) 气缸型线是一条连续、封闭的光滑曲线，依x轴、y轴对称.

2) 在第一象限内，曲线总体呈单调递减、下凹的形态.

3) 曲线上尽量不出现拐点，以避免叶片的冲击和“脱空”现象.

1—气缸;2—滑片;3—排气孔;4—吸气孔;5—转子

型线是在已知a=(0,r)，b=(r·sinθ1,r·cosθ1)，d=(r·sin(θ1+θ2)，r·cos(θ1+θ2))，f=(R,0)四点坐标的条件下来构造主曲线和过渡曲线.文献[2]的设计思路：主曲线→直线l2→过渡曲线.详细地说是由d，f求出主曲线，进而求得直线l2和曲线在点d处的二阶导数，再在G2连续条件下求出过渡曲线.其主曲线的通用形式为y2=A+Bxm，以抛物线、椭圆、三次曲线和三角函数作为研究对象；以高次多项式：y=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5做过渡曲线.此类曲线构造的缺点是过渡曲线上都存在一个拐点，原因是过渡曲线需插值两端点和两切线，而两直线l1，l2的交点不在区间(xb,xd)内.过渡曲线在起点处呈下凹而在终点处呈上凹形态，势必存在拐点.其中xb表示点b的横坐标，xd表示点d的横坐标，如图2所示.

图2 气缸型线拐点分析图

设计思路：直线l2→主曲线→过渡曲线.主要原因是直线l2决定了过渡曲线上是否存在拐点和影响了主曲线的形状.优点是适当选取直线l2的斜率可有效地避免过渡曲线上拐点的出现，以减少对滑片运动的冲击，从而提高压缩机的性能.

2 旋叶式压缩机气缸型线的设计

以转子半径r=25 mm，气缸半长轴长度为R=33.5 mm，密封圆弧角度为θ1=5°，过渡曲线对应的圆心角θ2=5°为例，来推导过渡曲线和主曲线.为了避免拐点的出现，这里不妨设直线l2的斜率为k2=-tan(θ1+θ2)，此时直线l2与圆弧相切，如图3所示.

图3 两直线与圆弧相切图

为了叙述方便，先给出约定：主曲线以二次Bézier型线为标准，若曲线在其之上定义为大容积曲线；反之，定义为小容积曲线.

2.1 方法一

以二次Bézier型线做主曲线、高次多项式做过渡曲线.二次Bézier型线的三个控制顶点d，e，f分别标记成B0，B1，B2，记B2(t)=(x2(t),y2(t))，则

B2(t)=(1-t)2·B0+2t(1-t)·B1+t2·B2

(1)

容易计算得

由参数曲线的二阶求导公式：

(2)

得y"(xd)=-0.011 454 9.再根据过渡曲线插值两端点、两切线和连接点处二阶导数相等，得

此时，二次Bézier型线与文献[2]中的椭圆型线相近.优点是过渡曲线上不存在拐点，且相对最平滑，如图4，5所示.

图4 四条主曲线对比图

图5 四条主曲线对应的过渡曲线

方法一中过渡曲线是高次多项式，通过方法二可降为二次参数曲线.

2.2 方法二

以三次Bézier型线做主曲线，二次Bézier曲线做过渡曲线.二次Bézier曲线的三个控制顶点b，c，d分别标记成B0，B1，B2，同理计算得

图6 三次Bézier型线做主曲线

表1 角度α对应的坐标

α对应的主曲线如图7所示，此类曲线位于方法一中的二次Bézier曲线之下，且随着α角度的增大气缸的吸气容积减小，但内压比升高，适合于做小排气量高压比的机器.

图7 不同角度的三次Bézier型线做主曲线

由方法二自然引出一个问题：既然存在小排气量高压比的气缸型线，是否也存在大排气量低压比的气缸型线设计？方法三可有效解决此问题.

2.3 方法三

(3)

对其求导得端点处：

(4)

为保证插值两切线，通过分析共有24条曲线，其中有8条曲线满足大容积的要求，举代表性的4条曲线合并如下：

4条类四次Bézier型线分别为

(5)

这4条型线与二次Bézier曲线、文献[2]中三次曲线的位置关系,如图8所示.

图8 类四次Bézier型线与两曲线位置关系图

表2 Pi(t)对应的过渡曲线系数

此时4条过渡曲线几乎重合，近似于圆弧段，且不存在拐点.观察图8可知类四次Bézier型线的大致形状与三次曲线存在较大区别，根本原因是直线l2的斜率决定了控制多边形，影响了曲线的形状.若对主曲线的形状不满，可适当选取直线l2的斜率来调整主曲线的形状.如取直线l2的斜率为-0.14，则P5(t)，P7(t)等主曲线与文献[2]中的三次曲线形状非常接近且能保证过渡曲线上不存在拐点，此时P3(t)等曲线的吸气容积已经超过了三次曲线，如图9所示.

图9 类四次Bézier型线与三次曲线形状相近图

这几条主曲线对应的过渡曲线基本重合，与圆弧段较近，比三次曲线对应的过渡曲线平滑得多，如图10所示.

图10 主曲线对应的过渡曲线

方法三说明了在保证过渡曲线不存在拐点且平滑的前提下可以找到类似于文献[2]中吸气容积大、内压比低的曲线，由于过渡曲线上不存在拐点从而减少了对滑片运动的冲击.下面给出了另4条大容积型线，即

(6)

图形介于图8中二次Bézier曲线和P1(t)之间，图略.对24条曲线中剩下的低容积曲线可根据方法一做主曲线，此处不再详细讨论.

3 结 论

以圆弧、过渡曲线和主曲线来构造气缸型线.提出了一种型线设计的新方法，有效地避免了过渡曲线上拐点的出现，减少了对滑片运动的冲击，提高了旋叶式压缩机的性能.从降低过渡曲线次数的角度提出了一类三次Bézier型线做主曲线，适合于构造小排气量高内压比的机器；在控制多边形一定的条件下为了提高吸气容积构造了一类类四次Bézier型线，适合于构造大排气量低内压比的机器.这两类主曲线极大地丰富了旋叶式压缩机气缸型线的类型，可根据实际需求进行挑选.

参考文献：

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