浅议高考解析几何压轴题

朱振国

一、经典结论一

若直线AB和椭圆+=1，（a>b>0）交于A，B两点，C为A，B中点，如图1，则KAB·KOC=-，对双曲线-=1有KAB·KOC=. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+y2=1. 如图2，斜率为k（k>0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=-3于点D（-3，m）. （Ⅰ）求m2+k2的最小值；（Ⅱ）若OG=OD·OE，（i）求证：直线l过定点；（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时三角形ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.

【解析】 （Ⅰ）略

（Ⅱ）（i）证明：由题意知：n>0，因为直线OD的方程为y=-x，得交点G的纵坐标为yG=，又因为yE=，yD=m，且OG=OD·OE，所以=m·，又由（Ⅰ）知：m=，所以解得k=n，所以直线l的方程为l：y=kx+k，即有l：y=k（x+1），令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线l过定点（-1，0）. （ii）假设点B，G关于x轴对称，则有三角形ABG的外接圆的圆心在x轴上，又在线段AB的中垂线上，由（i）知点G

二、经典结论二

若直线L和椭圆+=1，（a>b>0）交于AB两点且OA⊥OB，则O到L的距离OP=在双曲线-=1（b>a>0）. 如图3，设椭圆E：+=1（a，b>0）过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点，（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB的取值范围，若不存在说明理由.

解：（Ⅰ）略.

（Ⅱ）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，设该圆的切线方程为y=kx+m解方程组y=kx+m，