中考最值问题归类例析

2014-08-20于梦梅

试题与研究·中考物理 2014年2期

关键词：变阻器阻值杯子

于梦梅

初中物理中的最值（最小值、最大值）及其相关的问题，需要综合运用所学的物理知识和数学知识分析解答，是中考的常考点，也是失分率较高的中考题。其类型如下：

一、求最值

（一）临界情况下的最值

有些物理量的最值（最小值或最大值），是由临界情况决定的。求某一物理量的最值，关键要找出相关的边界。

1.镜子的最小宽度

例1.一人正对竖直平面镜站立，人的脸宽为20cm，两眼的距离为10cm，欲使自己无论闭上左眼还是右眼，都能使另一只眼睛从镜中看到自己的整个脸，则镜子的宽度至少为cm。

分析：“至少”表示最小的限度，“镜子的宽度至少为多少”意为镜子的最小宽度。

先画光路图——利用平面镜成像原理（光的反射定律）作出身体的像，如图1所示。如果用左眼看完整的像，其边界光线为PD和RD，则需用PR之间的平面镜；如果用右眼看完整的像，其边界光线为QC和SC，则需用QS之间的平面镜。故无论闭上左眼或右眼都能看到完整的像，需用PS之间的平面镜。镜子的最小宽度即PS的长度，刚好是两只眼睛与身体像的边界相连组成的梯形的中位线。

解：人的脸宽为AB，两眼为C、D。

因PS是梯形CDB'A'的中位线，则PS=12（A'B'+CD）。

因AB=A'B'=20cm，CD=10cm

所以镜子的宽度至少为PS=12（20cm+10cm）=15cm。

2.原油自喷的最大高度与油口施加的最小压力

例2.某地下油层的压强为2.1×107Pa，从地面向此油层钻一口油井，自油层顶部向上计算，原油自喷时可能达到的最大高度为多少？若油层距地面2000m，油井直径为10cm，要阻止原油喷出地面，至少要向油口施加多大的压力？（原油密度为0.9×103kg/m3）

分析：（1）原油自喷时可能达到的最大高度，是在不考虑大气压强及原油自喷时受到的阻力等因素影响的情况下，原油在地下油层压强的作用下自喷的高度，此时最大高度的油柱对油层顶部产生的压强等于油层的压强。

（2）“至少要向油口施加多大的压力”意为最小的压力。阻止原油喷出地面时，向油口施加的压力F对油口的压强p口、油柱产生的压强p油、地下油层的压强p，其关系为p口+p油≥p。取临界情况，当p口+p油=p时，即FS+ρ油gh=p，此时向油口施加的压力F为最小压力。

解：（1）原油自喷可能达到的最大高度h最大，为高h最大的油柱的压强等于油层的压强p，即p=ρ油gh最大，故原油自喷的最大高度

h最大=pρ油g=2.1×107Pa0.9×103kg/m3×9.8N/kg=2381m。

（2）防止原油喷出地面，至少要向油口施加的压力F对油井的压强加上h=2000m油柱的压强等于油层的压强p，即Fπ（D2）2+ρ油gh=p，故至少要向油口施加的压力

F=（p-ρ油gh）·π（D2）2

=（2.1×107Pa-0.9×103kg/m3×9.8N/kg×2000m）×3.14×（0.1m2）2

=2.64×104N。

（二）变化过程中的最值

物理量的大小及其变化是由其他因素或相关物理量大小的变化而引起的，在一定条件下往往会出现最小值或最大值。求某一物理量的最值（最小值或最大值），关键要从与之相关量之间的关系入手，分析找出最值的条件。

3.风力发电机的最小年发电量

例3.如图2所示的风光互补路灯系统，既可以通过太阳能电池组独立发电并储存于蓄电池，也可以通过风力发电机独立发电并储存于蓄电池；在风、光都具备时还可以同时发电。某型号风光互补路灯的风力发电机的技术参数如下：

风力发电额定

功率风力发电额定

风速风力发电启动

风速260W8m/s3m/s已知风力发电机的输出电功率P与风速v的平方成正比。某地区风速不低于5m/s的时间每年不少于4000h，试估算这台风光互补路灯系统利用风能的最小年发电量是多少kW·h？

分析：“风速不低于5m/s的时间每年不少于4000h”，意为每年风速最小值为5m/s的有风时间（发电时间）最小值为4000h。因风速越大，风力发电机的输出电功率越大，根据W=Pt，发电时间越长，发电量越大，故当风速和发电时间均为最小值时的年发电量为最小年发电量。

解：根据题意有P额P=v2额v2，则当风速v最小时风力发电机输出功率P=v2v2额P额。故最小年发电量

W=Pt最小=v2最小v2额P额t最小

=（5m/s）2（8m/s）2×260×10-3kW×4000h=406.25kW·h。

4.汽车的最大速度

例4.在城市中，汽车尾气对环境的污染十分严重，主要是燃料燃烧后排出的废气，若采用氢气为燃料，则可大大减少汽车废气对环境的污染。下面是某一以氢气为燃气的汽车的几项指标：

①正常行驶时耗氢量1.2kg/h；②在气缸内氢的热值为1.5×108J/kg；③内燃机的效率为50%。

求：（1）汽车行驶2h，氢气放出了多少热量？

（2）如果汽车匀速行驶过程中受到的阻力恒为1000N，那么该汽车行驶速度最大可达到多少？

分析：由P=Wt=Fst=Fv可知，汽车的功率一定时，随着行驶速度的增大，牵引力逐渐减小。当牵引力与阻力大小相等时，汽车开始匀速行驶，此时速度达到最大。

解：（1）汽车行驶2h氢气放出的热量

Q=mq=1.2kg/h×2h×1.5×108J/kg=3.6×108J

（2）汽车匀速行驶时F=f，由η=W机械Q和W机械=Pt=Fvt可得汽车行驶速度

v=QηFt=3.6×108J×50%1000N×2×3600s=25m/s。

所以，该汽车行驶速度最大可达到25m/s。

5.浮力秤的最大称量

例5.“曹冲称象”是家喻户晓的典故，某校科技小组模仿这一现象，制作了一把“浮力秤”。将厚底直筒形状的玻璃杯浸入水中，如图3所示，已知玻璃杯的质量为200g，底面积为30cm2，高度为15cm。（取g=10N/kg）

求：（1）将杯子开口向上竖直放入水中时（水未进入杯内），杯子受到的浮力。

（2）此时杯子浸入水中的深度（即该浮力秤的零刻度位置）。

（3）此浮力秤的最大称量（即量程）。

分析：浮力秤的零刻度位置是空杯子漂浮在水面上时水面到杯底的位置，即此时空杯子浸入水中的深度。由F浮=ρ液gV排可知，杯子中放入被测物体，杯子将下沉，浮力F浮随V排的增大而增大，当V排=V杯时，浮力达到最大值。浮力秤的最大称量等于杯子受到的最大浮力与杯子在零刻度位置时受到的浮力之差。

解：（1）杯子漂浮在水面上时受到的浮力

F浮=G=mg=0.2kg×10N/kg=2N

（2）由F浮=ρ液gV排可得此时杯子排开水的体积

V排=F浮ρ水g=2N1.0×103kg/m3×10N/kg=2×10-4m3

此时杯子浸入水中的深度

h=V排S=2×10-4m330×10-4m2=0.067m=6.7cm

（3）往杯子内放被测物，当杯子下沉到水面刚好没到杯口（水未进杯内）时，杯子下沉的深度为0.15m，此时杯子排开水的体积最大，等于杯子的体积，杯子受到的浮力最大。

杯子受到的最大浮力

F=ρ液gV=1.0×103kg/m3×10N/kg×30×10-4m2×0.15m=4.5N

浮力秤的最大称量

F最大=F-F浮=4.5N-2N=2.5N。

二、利用最值确定动态变化范围

由于受其他量或者因素的影响和制约，一些物理量的大小往往在一定范围内变化，这个变化范围是由其大小变化过程中的最小值与最大值决定的。确定某一物理量的动态变化范围，关键要抓住影响因素中的不变因素及变化因素，从与之相关量之间的关系入手，找出其最小值与最大值。

1.浴室内温度可控制范围

例6.为防止湿手扳开关造成触电事故，小明为家中的灯暖型浴霸（冬季家庭洗浴时取暖用的电器）设计了一个如图4甲所示的温度自动控制装置，其中半导体材料制成的热敏电阻阻值R1随温度变化的曲线如图4乙所示。已知继电器线圈电阻R2为20Ω，电源电压U0恒为12V，浴霸共安装有4只“220V250W”灯泡，当继电器线圈中的电流大于或等于50mA时，继电器的衔铁被吸合，浴霸电路断开；当线圈中的电流小于或等于40mA时，继电器的衔铁被释放，浴霸电路闭合。若将此装置安放在浴室内，浴室内温度可控制在什么范围？

分析：利用衔铁吸合电流与释放电流的临界值确定室温控制范围。浴霸工作与否是由线圈中电流的大小控制的，取临界情况，衔铁吸合电流为50mA，衔铁释放电流为40mA，由此求出相应的热敏电阻的临界值，再由图象找出对应的温度值，即可得出浴室内温度的控制范围。

解：控制电路的总电阻R总=U0I=R1+R2。

取临界情况，当线圈中电流为50mA时，热敏电阻的阻值

R1=U0I1-R2=12V0.05A-20Ω=220Ω。由图象可知，此时室温t1=30℃。

当线圈中电流为40mA时，热敏电阻的阻值

R1'=U0I2-R2=12V0.04A-20Ω=280Ω。由图象可知，此时室温t2=22℃。

所以室内温度可控制在22℃～30℃范围内。

2.滑块移动范围

例7.如图5所示，有一粗细均匀，重为40N，长为4m的长木板AB（厚度不计），置于支架上，支点为O，且AO=1m，长木板的右端B用绳子系住，绳子的另一端固定于C处，当长木板AB水平时，绳与水平面成30°夹角，且绳子所能承受的最大拉力为60N。一个重为50N的体积不计的滑块M在水平拉力F的作用下，从AO之间某处向B端匀速滑动。求滑块在什么范围内滑动才能使AB保持水平？

分析：利用绳子拉力的最小值和最大值确定滑块移动范围。根据杠杆的平衡条件可求出：滑块在O点左侧且绳子的拉力最小为0时，滑块在O点最左侧的位置；滑块在O点右侧且绳子的拉力最大为60N时，滑块在O点最右侧的位置。由此可得出滑块移动的范围。

解：设滑块M在O点左侧距O点的距离为x1时，绳子的拉力T=0，如图6甲所示。因均匀杠杆的重心在其几何中心，AB=4m，OA=1m，则OB=3m；GAB=40N，则GOA=10N，GOB=30N。根据杠杆的平衡条件可得

Gx1+GOA·12lOA=GOB·12lOB

故x1=GOB·12lOB-GOA·12lOAG

=30N×12×3m-10N×12×1m50N=0.8m。

设滑块M在O点右侧距O点的距离为x2时，绳子的拉力T=60N，如图6乙所示。根据杠杆的平衡条件可得

GOA·12lOA=Gx2+GOB·12lOB-T·lOBsin30°

因sin30°=12，故

x2=GOA·12lOA+T·lOBsin30°-GOB·12lOBG

=10N×12×1m+60N×3m×12-30N×12×3m50N

=1m。

所以，滑块在O点左侧0.8m至O点右侧1m范围内滑动，才能使AB保持水平。

3.合格酒精的密度范围

例8.在制取酒精的过程中，要求酒精中含水量不超过10%（所含水的体积不能超过总体积的10%）。用测密度的方法对产品进行检查，求密度在什么范围内的酒精是合格的？（不考虑酒精与水混合的体积变化，纯酒精的密度为0.8×103kg/m3）

分析：利用含水量的最小值和最大值确定酒精的密度范围。酒精含水量不超过10%，即0≤V水V≤10%。酒精内不含水（即V水=0）时为纯酒精；酒精内含水时，水的体积不能超过10%V即含水的体积最大为0.1V，则酒精的体积至少为0.9V；含水酒精的总质量m=m水+m酒精，运用密度公式求出此时酒精的密度，即可得出酒精密度的范围。

解：酒精含水量不超过10%，即0≤V水V≤10%。

当V水V=0，即不含水时，则其密度即为纯酒精的密度，ρ酒=0.8×103kg/m3。

当V水V=10%时，V水=0.1V；因V=V水+V酒精，则V酒精=0.9V。此时酒精的密度

ρ混=mV

=m水+m酒V=ρ水×0.1V+ρ酒×0.9VV

=1×103kg/m3×0.1+0.8×103kg/m3×0.9=0.82×103kg/m3。

所以合格酒精的密度应在0.8×103kg/m3～0.82×103kg/m3范围内。

4.滑动变阻器接入电路的阻值范围

例9.如图7所示的电路中，灯L标有“3V0.9W”、滑动变阻器R上标有“50Ω1A”字样，电压表量程为0～3V。若电源电压为4.5V，为了保证电路中各元件安全工作，滑动变阻器允许接入电路的阻值范围是。

分析：电路中的电流I=URL+R，滑动变阻器两端电压UR=U-UL=U-IRL，滑动变阻器接入电路的电阻R越大时电流I越小，其两端电压UR越大；反之，R越小时I越大，UR越小。

为了保证各元件安全工作，电路中的最大电流应等于灯L的额定电流IL，滑动变阻器两端的最大电压应不超过电压表量程即电压表示数最大为3V。所以，当电路中电流最大时，滑动变阻器接入电路的阻值最小；当电压表示数最大时，滑动变阻器接入电路的阻值最大。

解：灯L正常工作时的电流I=PLUL=0.9W3V=0.3A