Poisson方程三类问题的通解

郭时光

(1.四川理工学院理学院， 四川自贡643000；2.人工智能四川省重点实验室， 四川自贡643000)

Poisson方程三类问题的通解

郭时光1,2

(1.四川理工学院理学院， 四川自贡643000；2.人工智能四川省重点实验室， 四川自贡643000)

研究二维到四维空间上Poisson方程。采用求出其通解的方法，分别给出了该方程Cauchy问题、Direchlet问题和Neunmann问题的通解的解析表达式，从而得出其后面两类问题均存在无限多个解的结论。

Poisson方程；Direchlet问题；Neunmann问题；推迟势；正规解；降维法

对于半空间上Poisson方程Direchlet问题[1-2]，如果应用Poisson公式[3-4]求解，一方面，很难判断所得解[5-11]是否正规，另一方面，当定解区域是半空间时，就缺乏合理性，并且导致所得解不全等谬误。作为改善，需要重新分析这个问题。

1 二维Poisson方程Cauchy问题

1.1二维Poisson方程的通解

考察二维空间Poisson方程：

uxx+uyy=f(x,y)(-∞

(1)

做变换ξ=x-jy,η=x+jy，得

uξη=F(ξ,η)

(2)

其中，F(ξ,η)=f(x,y)。将η视为常数，方程(2)关于ξ从ξ到η积分，得

(3)

将ξ视为常数，方程(3)关于η从ξ到η积分，得

其中，g1是可积函数，h1是可微函数，而

将原自变数代回上式，得解

(4)

式(4)即是二维Poisson方程(1)的通解公式。

1.2二维推迟势公式

设一维齐次Cauchy条件

u|y=0=0，uy|y=0=0(-∞

(5)

考察由方程(1)与条件(5)组成的Cauchy问题。将通解式(4)用条件(5)计算，分别得

g(x)+h(x)=0

g′(x)-h′(x)=0⟹g(x)-h(x)=c

(6)

其中，积分路径为直线段。解的这个表达式称为二维推迟势公式。

定理1对于由方程(1)与条件(5)组成的Cauchy问题，如果函数f具有连续的各个偏导数，则函数(6)是该问题的正规解。

证将式(6)的函数u=u(x,y)分别代入该问题中的各个项计算，得

f1[x-j(y-τ),τ]}dτ+f(x,y)-

dτ=f(x,y)

由此可知，式(6)中的函数u=u(x,y)是所述问题的正规解。证毕。

二维Laplace方程非齐次条件Cauchy问题的一般形式为：

(7)

为了求解，采用将Cauchy条件齐次化法。在问题(7)中，令

u=v+μ(x)+yψ(x)

(8)

则

(9)

用二维推迟势公式可求得问题(9)的解。将这个解代入式(8)，化简得

(10)

验证即知，有：

定理2在问题(7)中，如果函数μ(x)与ψ(x)均具有二阶导数，则表达式为式(10)的解是该问题的正规解。

1.3非齐次Cauchy问题

设非齐次条件Cauchy问题

(11)

用叠加原理，由定理1与定理2，可得：

定理3如果函数f具有连续的各个偏导数，函数μ与ψ均具有连续的各个二阶偏导数，则该问题存在正规解，其表达式为：

w=w(x,y)=

(12)

例1求二维Laplace方程vxx+vyy=0在全平面上的所有解。

解用式(4)，得方程vxx+vyy=0的复数通解

v=g(x+jy)+h(x-jy)

(13)

由此可见，该方程的实通解可以表示为：

(14)

其中，g,h均为可连续微分二次的任意函数。

例2求解上半平面Poisson方程Direchlet问题

uxx+uyy=f(x,y);u|y=0=μ(x)

(15)

解 用公式(12)，得问题的一个解为：

(16)

设v的是问题(15)对应齐次定解问题的解，即

vxx+vyy=0;v|y =0=0

用泛定方程的通解式(14)代入，得

(17)

其中，h为可连续微分二次的任意函数。根据叠加原理，得问题(15)的通解为：

u=u0(x,y)+v(x,y)

其中，u0(x,y),v(x,y)分别为式(16)与(17)所示。

例3求解上半平面Poisson方程Neumann问题

uxx+uyy=f(x,y);uy|y=0=ψ(x)

(18)

解用公式(12)，得问题的一个解为：

(19)

设v是问题(18)所对应全齐次定解问题的解，即

vxx+vyy=0;vy|y=0=0

用式(14)代入，得

(20)

其中，g为可连续微分二次的任意函数。根据叠加原理，得问题(18)的通解为：

u=u0(x,y)+v(x,y)

其中，u0(x,y),v(x,y)分别为式(19)与(20)所示。

2 四维Poisson方程Cauchy问题

2.1四维推迟势公式

设四维无限区域Poisson方程

uxx+uyy+uzz+uww=f(x,y,z,w)

(21)

(22)

易知，如果u=u(x,y,z,w)连续，则有

(23)

球半径还可以扩展到负数，且有

(24)

将球面平均值中的积分用球面坐标表示，得

(25)

其中，

xr=x+rcosθsinφ

yr=y+rsinθsinφ

zr=z+rcosφ

设函数u=u(x,y,z,w)是方程(21)的解。用函数u(xr,yr,zr,w)关于θ的周期性，得

u(xr,yr,zr,w)dθdφ=

u(xr,yr,zr,w)sinφdθ}dφ=

将上式两边同乘以r，得

(26)

引入三维齐次Cauchy条件

u|w=0=0,uw|w=0=0(-∞

(27)

则其球面平均值满足

[ru(x,y,z,w;r)]|w =0=0

[ru(x,y,z,w;r)]w|w =0=0

(28)

考察由方程(25)与条件(27)组成的Cauchy问题。用二维推迟势公式，得其解

(29)

令r→0，式(28)左边用式(22)，右边用L/Hospital法则，交换极限与积分次序，得

将f的球面平均值积分表达式代入，并使用球面坐标，化为重积分，即可得

(x+jτcosθsinφ,y+jτsinθsinφ,z+jτcosφ,w-τ)dθ

(30)

式(29)就是方程(21)与条件(26)所组成Cauchy问题解的表达式，称为四维推迟势公式。验证即知，有：

定理4方程(21)与条件(26)组成的Cauchy问题中，如果函数f具有连续的各个二阶偏导数，则函数(29)是该问题的正规解。

2.2四维Kirchhoff公式

设有四维空间Laplace方程的Cauchy问题

(31)

采用将Cauchy条件齐次化法，然后利用四维推迟势公式计算，得其解

u=u(x,y,z,w)=

jwsinθsinφ,z+jwcosφ)]+

wψ(x+jwcosθsinφ,y+jwsinθsinφ,z+

jwcosφ)}dθ

(32)

验证即知，有：

定理5在问题(30)中，如果函数μ与ψ均具有连续的各个三阶偏导数，则函数(31)是该问题的正规解。

2.3四维Cauchy问题

设四维Cauchy条件

u|w=0=μ(x,y,z),uw|w=0=ψ(x,y,z)

(33)

根据定理4和定理5，用叠加原理，得

定理6方程(21)与条件(32)组成的Cauchy问题中，如果函数f具有连续的各个二偏导数，函数μ与ψ均具有连续的各个三阶偏导数，则该问题存在正规解，其表达式为式(29)与式(32)的两个函数之和。

3 三维Poisson方程Cauchy问题

3.1三维推迟势公式

考察三维空间Poisson方程

uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)(-∞

(34)

设三维齐次Cauchy条件为：

u|z=0=0,uz|z=0=0(-∞

(35)

用Hadamard降维法。去掉四维推迟势公式中关于变量z的因素，然后换w→z，并将积分作代换sinφ=ρ，这样就能得到方程(33)与条件(34)组成的Cauchy问题解的表达式

(x+jτρcosθ,y+jτρsinθ,z-τ)dθ

(36)

表达式(35)称为三维推迟势公式。验证即知，有：

定理7方程(33)与条件(34)组成的Cauchy问题中，如果函数f具有连续的各个二阶偏导数，则函数(35)是该问题的正规解。

3.2三维Poisson公式

设三维空间Laplace方程Cauchy问题

(37)

采用将Cauchy条件齐次化方法，用推迟式公式，得其解

zψ(x+jzρcosθ,y+jzρsinθ)}dθ

(38)

验证即知，有：

定理8在问题(36)中，如果函数μ与ψ均具有连续的各个三阶偏导数，则表达式为式(37)的解是该问题的正规解。

3.3三维Cauchy问题

设三维非齐次Cauchy条件

u|z=0=μ(x,y)，uz|z=0=ψ(x,y)

(39)

根据定理7和定理8，用叠加原理，可得：

定理9方程(33)与条件(38)组成的Cauchy问题中，如果函数f具有连续的各个二偏导数，函数μ与ψ均具有连续的各个三阶偏导数，则该问题存在正规解，其表达式为式(35)与式(37)的两个函数之和。

由方程(33)与条件(38)组成的Cauchy问题中，如果去掉条件项uz|z=0=ψ(x,y)，则问题变为Direchlet问题，其通解仍然如定理3所述，但是其中ψ则为任意函数；如果去掉条件项u|z=0=μ(x,y)，则问题变为Neumann问题，其通解仍然如定理3所述，但是其中μ则为任意函数。

4 结束语

如果函数f具有连续的各个二偏导数，函数μ与ψ均具有连续的各个三阶偏导数，则验证可知，这样所得的解是正规解。

由此可见，Poisson方程Direchlet问题和Neumann问题若存在解，则其解均为无穷多。

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General Solution of Three Problems for Poisson Equation

GUOShiguang1,2

(1.School of Science, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China; 2. Artificial Intelligence of Key Laboratory of Sichuan Province, Zigong 643000, China)

Researching the Poisson equations on 2 d to 4 d spaces. Through the method of finding out their general solutions, the analytic expressions of the general solutions of Cauchy problem, Direchlet problem and Neunmann problem for the equation are given respectively. Thus the conclusion that there are an unlimited number of solutions for the two behind types of problems is obtained.

Poisson equation;Direchlet problem; Neunmann problem; Retarded potential; Formal solution; Dimension reduction method

2014-05-27

人工智能四川省重点实验室开放基金项目(2012RYY04)

郭时光(1955-)，男，重庆荣昌人，副教授，主要从事数学物理方程方面的研究，(E-mail)youare20002000@qq.com

1673-1549(2014)06-0075-05

10.11863/j.suse.2014.06.19

O175.13

A