有限群的极小子群数与素因子数

黄彦华， 王磊

(四川理工学院a.理学院；b.建筑工程学院， 四川自贡643000)

有限群的极小子群数与素因子数

黄彦华a， 王磊b

(四川理工学院a.理学院；b.建筑工程学院， 四川自贡643000)

极小子群是一类特殊的子群，在有限群结构的研究中起重要作用。有限群的极小子群的数量性质能够反映该群的许多性质。文章从极小子群的角度讨论群，并通过对不同性质的有限群进行讨论，给出了其极小子群数与素因子数的关系。

极小子群；幂零；循环子群；素因子

引言

群论是抽象代数中研究最早且最为成熟的基本代数系，不仅在数学的各个分支有着广泛的应用，而且在物理、化学和信息等领域都有着十分广泛的应用。而作为群论的基础部分，有限群也是群论中应用最为广泛的一支。有限群的子群与原群之间有着紧密的联系，子群的数量性质能够反映该原群的许多性质。通过子群的研究可以更好地将群论应用于各个相关的领域。

文献[1]对特定的极小子群数给出了原群的结构；文献[2]给出了有限群的极大子群的下界，并通过该下界得出具有特定结构的有限群；文献[3]利用极小子群的中心化子和正规化子对若干有限群的结构进行了刻画；文献[4]研究了极大子群同阶类类数对有限群结构的影响，极大子群个数<5以及极大子群数为6和7的有限群已分别在文献[5-7]里得到刻画。而极小子群作为极大子群的对偶，在有限群中扮演了一个重要角色，同时文献[8]给出了具有弱H-特征极小子群的有限群。

本文主要通过研究极小子群，讨论子群的个数对有限群结构的影响。本文讨论的群均为有限群，文中用π(G)表示群G的相异素因子之集，n(G)表示G的极小子群数，m(G)表示群G的所有极大子群的集合。

1 预备知识

引理2[2]若G为有限非循环群，则|m(G)|≥|π(G)|+p，其中p为群G的最小素因子。

引理3[10-11]设G为有限群，则n(G)=1的充分必要条件为：G为循环p-群或广义四元数群。

引理5[13-14]设p为素数，则G中p阶极小子群的个数np≡1(modp)。

2 主要结果及其证明

定理1若G为循环群，则n(G)=|π(G)|。

证明若G为循环群，则G≅Zp1 r1×Zp2 r2×…×Zpn rn。由引理3知，循环p-群的极小子群数为1，则n(Zpi ri)=1(i=1,2,…,n)，从而有n(G)=n(Zp1 r1)+n(Zp2 r2)+ …+n(Zpn rn)=n=|π(G)|。

定理2若G为幂零群，则n(G)≥|π(G)|。

定理3若非循环群G的极小子群同时也是极大子群，则n(G)≥|π(G)|+p，p为群G的最小素因子。

证明此时有n(G)=|m(G)|，由引理4即得证。

推论1存在着有限群G，使得该群的极小子群数n(G)=|π(G)|+pi，其中pi为群G的素因子，π(G)={p1,p2,…,pn}，1≤i≤n。

证明考虑

G=Zp1×Zp2×…×Zpi-1×Zpi×Zpi×Zpi+1×…×Zpn

定理4初等交换p-群的极小子群数与极大子群数相等。

n(G)=|m(G)|证毕。

3 结束语

对于特定的有限群，本文对其极小子群数与素因子数之间的关系进行了探讨，得到了相关的结论，为其在量子物理、信息等方面的应用发展奠定了较好的理论基础，但是对于一般的有限群，其极小子群数与素因子数的关系还有待进一步研究。

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[7] 游兴中,朱伟华,刘 峥.恰有7个极大子群的有限群[J].吉首大学学报,2011,32(5):1-3.

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The Numbers of Minimum Subgroups and Prime Factors of Finite Group

HUANGYanhuaa,WANGLeib

(a.School of Science b.School of Architecture and Engineering, Sichuan University of Science & Engineering,
Zigong 643000, China)

Minimum subgroup is a kind of special subgroup and plays a important role in the study of finite group structure. The number and properties of minimum subgroup of finite group can reflect many properties of this group. From the perspective of minimum subgroup, the finite groups with different properties are discussed, and then the relation of minimum subgroups number and prime factors number is obtained.

minimum subgroup; nilpotent; cyclic subgroup; prime factor

2014-09-01

桥梁无损检测与工程计算四川省高校重点实验室科研项目(2013QYJ02)；四川理工学院校级项目(2013RC07)

黄彦华(1982-)，女，湖北荆州人，讲师，硕士，主要从事有限群论方面的研究，(E-mail)43156246@qq.com

1673-1549(2014)06-0084-02

10.11863/j.suse.2014.06.21

O152

A