波状床面消力池的流速分布和壁面阻力系数

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(西安理工大学 水利水电学院，西安 710048)

1 研究背景

为了增强消力池的消能效果和稳定水跃，在消力池中常设置各种辅助消能工，如消力墩、T形墩、齿墩等。这些辅助消能工虽然有一定的消能效果，但在流速较高时容易引起消力池的空蚀破坏，因而应用受到了一定的限制。

为了提高消力池的消能效果，近年来有人提出了波状床面消力池。所谓波状床面消力池，就是将消力池底板做成波浪形的粗糙面。据S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)[1]对波状床面水跃的研究，波状床面其跃后水深减小了20%～30%，水跃的旋滚长度减小了20%～50%。A.Abbaspour等[2]也研究了波状床面的水跃特性，研究的粗糙高度(模型)为1.5～3.5 cm，结果表明：跃后水深减小了20%；当弗劳德数Fr<6时，水跃长度比光滑床面减小了50%；当弗劳德数Fr>6时，水跃长度减小了42%。

除波状床面外，近年来还有一些科技工作者对粗糙床面消力池的水力特性也进行了研究。粗糙面的做法主要是在消力池底板加块体，这些块体有石块、条块、方块和圆块，布置形式有梅花形、方形、条形、均匀密排形和不均匀糙度形。F.Carollo等[3]研究了在消力池底板密排砾石的水跃特性，研究的粗糙度范围(模型)为0～3.2 cm，结果表明，随着粗糙度的增加，水跃的共轭水深比减小，水跃长度减小。孙韵[4]结合某实际工程研究了在消力池底板设横条对水跃特性的影响，结果表明，加横条后消力池的长度可以减小一半左右。S.Pagliara等[5]结合河道改建工程中，在消力池底板用不均匀密排糙度的新型消能形式，试验表明，不均匀糙度床面的水跃共轭水深比较光滑床面大为减小，水跃长度比密排粗糙面更为减小，消能效果更好，但水力计算更为复杂。W.C.Hughes和J.E.Flack[6]研究了消力池的2种加糙方式：一种是在消力池底部设横条，另一种是在消力池底部加砾石。研究表明，不管何种加糙方式，水跃共轭水深比和水跃长度均小于光滑壁面，且在弗劳德数Fr>3.5以后，共轭水深比减小更加明显。S.Dey和A.Sarkar[7]研究了粗糙壁面淹没水跃的特性，研究表明：壁面切应力随着壁面粗糙度的增加而增加，随着距离的增加而减小；断面最大流速的衰减速率随着粗糙度的增加而加快；与光滑壁面相比，边界层厚度和紊动强度均随着粗糙度的增加而增加，局部最大雷诺应力、水平和垂直方向的紊动强度的衰减速率更加缓慢。由以上研究者的试验可以看出，将消力池底板做成波浪形或在消力池中加糙，均有很好的消能效果。

在消力池中设置粗糙凸体，消力池是否会产生空蚀？这是制约粗糙面消力池应用的关键问题。R.E.A.Arnta和A.T.Ippen(1968)[8]利用横向三角形凹槽均匀加糙平板表面，对均布糙体和孤立糙体的空化特性进行了研究，结果表明，均布糙体的初生空化数大大低于孤立糙体的初生空化数；聂孟喜(1987)[9]在对明流反弧段加糙防蚀的研究中，认为在反弧段进行均匀加糙，对防止反弧末端的空蚀破坏十分有利，对放宽施工不平整度控制标准效果显著。我国拓溪溢流坝，在溢流前对溢流坝面进行了人工凿毛，溢流后发现，在凿毛区的凸体后无空蚀破坏，而在没有凿毛的其他部位，类似高度的凸体后却有空蚀破坏。

由以上的研究可以看出，在溢流面上适当地均匀加糙，消力池不仅不会发生空蚀破坏，而且对防止空蚀破坏反而有利；粗糙床面消力池的水跃长度和跃后水深大大减小，提高了消能效果，可以大幅度地减小工程费用。而波状床面消力池水力特性的研究对其他加糙方式有启示和借鉴作用，所以本文主要研究波状床面消力池的流速分布和壁面阻力，这对粗糙床面消力池的研究不仅具有理论意义，而且具有应用价值。

2 波状床面消力池的流速分布

N.Rajaratnam[10]对粗糙壁面射流的流速分布进行过研究，得出了一些重要结论：在边界层区域，流速分布既符合对数律也符合指数律，其指数在1/2～1/8之间变化；在自由混合区，流速分布与光滑壁面射流类似，粗糙度对其无影响；在粗糙壁面，边界层厚度随着粗糙度的增加而增大；在距闸门大约60倍闸门开度处，动量通量减小了约50%。

图1 S.A.Ead和N.Rajaratnam消力池的试验模型

S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)[1]对波状床面消力池的流速分布进行过详细的试验研究，试验模型如图1所示。图1中：h1为跃前断面水深；h2为跃后断面水深；Um为断面最大流速；b为断面上u=0.5Um处的高度；v1为跃前断面的平均流速;Lr为水跃的旋滚长度;Lj为水跃长度;b0为闸门开度;ks为粗糙高度;δ为边界层厚度。研究的粗糙高度分别为13 mm和22 mm，波状床面2个波谷之间的距离S为68 mm,跃前断面水深为0.025 4 m和0.050 8 m,最小单宽流量qmin=0.051 m3/(s·m)，最大单宽流量qmax=0.207 m3/(s·m)，雷诺数的范围为Re1=v1h1/ν=50 800～206 756 ，ν为黏滞系数。

研究结果表明，断面流速分布具有相似性，即各断面流速具有同一分布规律，如图2所示(图中y表示过水断面上任一点距底部的垂直距离，u表示断面上任一点的流速，Expt.A1—Expt.C2表示试验组别)。由图2可以看出：断面流速从槽底部开始迅速增大到最大流速，最大流速处距槽底的距离即为边界层厚度，这一区域称为边界层区域，在边界层上部，断面流速迅速衰减，这一区域称为混合区。S.A.Ead和N.Rajaratnam(2004)[11]对下游有限水深的粗糙壁面平板紊动射流进行了研究，结果表明，在水跃区，断面流速分布仍具有相似性，且分布规律与图2一致，但与光滑壁面射流的流速分布有所不同。由图2还可以看出，与光滑壁面流速分布相比，波状床面的边界层厚度明显增加，文献[11]的试验表明，波状床面的边界层厚度约为0.35b，文献[1]的研究为0.45b，文献[2]的研究为0.57b，而光滑壁面的边界层厚度仅为0.16b。

图2 断面流速分布

虽然波状床面的流速分布具有相似性，但已不像光滑壁面流速分布那样能用一个公式来表达。为了分析方便，笔者根据图2的关系曲线，将断面流速分布分为2部分，即边界层区和混合区，在边界层区，流速可表示为

u/Um=1.176(y/b)0.195，

(1)

式中：u为边界层内任一点的流速；y为距壁面的垂直距离。

由图2可以看出，当u=Um时，y=δ，这时y/b≈0.44，即δ=0.44b，代入公式(1)得

u/Um=(y/δ)0.195，

(2)

在混合区，需用一个高次方程才能表示断面流速分布，该公式为

u/Um=1.453(y/b)3-4.335(y/b)2+

2.971(y/b)+0.414 。

(3)

(4)

式中：a0和b0为系数，其中b0=-0.177 43，a0为Fr1的函数，经分析得a0=0.323 6+0.902 4Fr1。

图3 S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)试验的Um/v1-x/h1关系

图4 Um/与x/h1 关系

3 波状床面消力池边界层的发展

对于波状床面，边界层内的流速分布可以用指数律公式(2)表示，也可以用对数律表示。但指数律公式中不含壁面粗糙度，对分析波状床面消力池的边界层发展带来困难。而对数律公式中含有壁面粗糙度，文献[11]的研究表明，在波状床面消力池底部的边界层区域，流速分布的对数律公式为

u/v*=8.5+2.5ln(y/ks) ,

(5)

Um/v*=8.5+2.5ln(δ/ks) 。

(6)

则壁面切应力系数为

(7)

如果将公式(4)和公式(7)代入边界层的动量积分方程求解边界层厚度是困难的。现根据公式(7)和希里其丁[12]对粗糙壁面切应力系数的研究成果，来探讨加糙水跃区边界层发展的可能性。

根据希里其丁[12]的研究，在粗糙壁面，壁面切应力系数可以用下式表示:

(8)

令公式(7)和公式(8)相等，并将常用对数化为自然对数，可得粗糙壁面的边界层厚度为

(9)

由公式(9)计算的波状床面消力池的边界层厚度沿程发展如图5中的红线和蓝线所示。红线的ks=0.013 m，h1=0.025 4 m，Fr1=10；蓝线的ks=0.022 m，h1=0.050 8 m，Fr1=5.8。图中符号为N.Rajaratnam的实测值。为了对比，图中还绘出了S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)以及A.Abbaspour经验公式计算的边界层厚度，S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)的经验公式为δ/h1=0.06x/h1+0.42，A.Abbaspour的经验公式为δ/h1=0.078x/h1+0.73。由图5可以看出，由公式(9)计算的波状床面消力池边界层的发展与实测结果非常吻合，且公式中考虑了不同粗糙度的影响，公式形式比S.A.Ead和N.Rajaratnam以及A.Abbaspour的更为合理，计算结果与实测值更为接近，由此说明用对数流速分布公式和希里其丁的壁面切应力系数公式依然能够反映粗糙壁面消力池的边界层特性。

图5 相对边界层厚度δ/h1与相对距离x/h1的关系

4 波状床面消力池的壁面阻力

对希里其丁的壁面切应力系数公式(8)变形为

壁面切应力为

(10)

壁面阻力为

(11)

上式中最大流速如果用公式(4)代入，将无法积分。现采用S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)对波状床面消力池的相对最大流速与相对距离关系的研究成果(见图6)来分析阻力系数的计算方法。

图6中的流速可以用一个二次方程很好地表示，但二次方程代入公式(11)仍无法积分，现对图6中的流速分布采用一个简单的公式表示，即

(12)

式中：L为Um=0.5v1处距跃首的距离；A为一常数，为了使A较好地符合公式(12)，A值需分段确定。将公式(12)代入公式(11)积分得

(13)

图6 S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)试验的Um/v1和x/L曲线

式中积分上限取水跃长度Lj，下限的δ0为一小量，这是因为如果取积分下限为0，积分无意义，可以取一小量，本文取积分下限为δ0=0.005L。式中L用S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)公式计算，即L/h1=1.74Fr1+3.62。对于波状床面消力池的水跃长度，S.A.Ead和N.Rajaratnam(2002)给出的计算公式为

A值的取值范围见表1。

表1 A值与相对距离的关系

计算时，按分段计算各段的阻力Fi，根据叠加原理求和得到总阻力F。

波状床面消力池的壁面阻力系数可以表示为

(14)

图7 波状床面消力池阻力系数的计算与比较

5 结 语

在前人对波状床面消力池试验研究的基础上，通过对试验资料的分析以及应用边界层理论研究了波状床面消力池的流速分布和壁面阻力系数，提出了断面流速分布、沿程最大流速分布、边界层厚度以及壁面阻力系数的计算公式，并与S.A.Ead和N.Rajaratnam的试验结果以及A.Abbaspour的计算结果进行了对比分析，证明本文提出的公式与试验结果吻合，且公式的形式更为合理，可以作为波状床面消力池设计的参考。

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