由3个8%想到的

钱德春

先看几个例子。

案例一：在2011年泰州市初中数学教师素质测试中有这样一道题。

案例二：在2010年泰州市初中青年数学教师基本功比赛中考查了一道课本原题，即苏科版《义务教育课程标准实验教科书·数学》（以下简称“实验版教科书”）八年级上册第四章《数量、位置的变化》的“数学活动”（第132页）《确定藏宝地》（修订后的苏科版《义务教育教科书·数学》，以下简称“修订版教科书”）第五章第127页。在8个市区选派的共24名选手中，这道题只有2名选手解答正确，正确率仅为8.33%。

案例三：在2012年泰州市初中青年数学教师解题能力比赛中，一道“马尔克广场之谜”的题，系以实验版教科书八年级下册第九章《反比例函数》的阅读（第75页）为原型编制。结果是80名参赛选手只有7人解答正确，正确率为8.75%。

案例四：一次，在教师解题能力比赛前，一所名校的青年教师给组织者发来这样一条短信：“……考试范围写的是近三年省内外的中考试卷，面太广了，范围能再缩小一些吗？”

8.75%、8.33%、8.75%，多么可怜的三个百分数啊！其所折射出来的问题不得不令人深思。少数教师忽视对教材的研究，不能理解教材的编写意图，更谈不上对教材的教学价值的有效利用，而是教学围着考试转，考什么就教什么；课堂上只有题目的盲目堆砌，缺少思想和方法的深度引领；教什么内容，思维就停留在什么层次上，教什么样的学生，教师就成了什么样的水平。

思考之一：教师的数学素养决定了教学境界，思维高度决定了教学效果。

案例一本意是考查函数单调性的证明，要通过代数推理加以说明。设1

其实，关于函数问题，初、高中教材根据学生的认知特点作了精心处理。

如，修订版教科书七上第三章《代数式》是这样安排的：《3.3代数式的值》第75页“议一议”。

A.填表。

B.根据所填表格，讨论下列问题：

（1）当x为何值时代数式2x-1的值等于-1？

（2）随着x的值增大，代数式2x-1、-3x的值怎样变化？

（3）随着x的值增大，代数式的值怎样变化？

结论：一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。

再如，同一教材第四章的《一元一次方程》的小结与思考中有这样的文字：

代数式的值是随着代数式中字母取值的变化而变化的，如果字母的值确定，那么代数式的值也随之确定。反过来，像2x+1、5x-4……这样的代数式，如果它们的值确定，那么通过解一元一次方程可以求得字母的值。

又如，修订版教科书八年级下册第十章《分式》第100页习题第4题安排了这样的问题：

教材的这种安排，让学生从起始年级就初步感受了函数思想，为函数的学习作了铺垫，虽没有言明“函数”二字，但无不渗透着函数的思想。八年级开始研究函数描述性定义以及几种简单的函数（如一次函数、反比例函数和二次函数等），基本方法是通过作函数图象、通过观察图象归纳出函数的一些基本性质。高一年级则对初等函数进行理论研究，如函数的定义（集合定义、映射定义）、函数的定义域、对应域和值域，函数的性质如有界性、单调性、奇偶性、周期性、连续性等。

尽管在七年级相关章节教学时，不必向学生言明“函数”二字，但教师自己必须清楚教材这样编写的目的，并在课堂教学中有所体现。而八年级、九年级函数内容的教学，不能仅仅停留在对几种函数的分类，重点要放在研究函数的方法和思想上，如初中研究函数的基本方法有：函数表达式→列表→描点、连线→图象→性质（图象位置、函数变化趋势、范围、增减性）等。应该渗透的思想有：对应思想、运动变化的思想、数形结合思想、对称思想等。函数图象是为了研究函数而建构的几何模型，利用其形象、直观的特点，通过操作、观察，归纳、抽象出函数相关性质，是一种合情推理、归纳、抽象，而函数所有的特质都源自于函数表达式。高中研究函数时则更多地通过对函数表达式的研究，在演绎与证明的过程中揭示函数的本质。案例一中的问题意图很明显：就是要求通过代数推理的方法进行证明。这是高中函数内容的常识，对受过高等教育的初中数学教师而言，无论从知识上说还是从难度上说都不是问题，但偏偏出问题了。那么，是什么原因导致这种现象产生的呢？问题源于教师的认识高度不够。

常常有这样的现象：学生进入高一级学校学习到与原有知识相关联的问题时，似乎觉得过去老师“讲错了”，这或许源于教师自身的理解高度不够，或许因为教学中没有考虑学生知识的发展性而“说过头话”。初中教师应该思考：如直线、平面等，教材为什么使用描述性定义方法；又如“角”则是从小学的描述性定义发展到初中的发生性定义；再如函数的定义，初中阶段“变量—对应”的描述性定义更符合初中学生的认知特点，而高中阶段的“集合—映射”定义则抽象得多了。这些变化并不要求学生去理解、掌握，但教师却不能没有思考。

作为教师，要认真研读课标，细细品味教材，理解课程标准的要求，体味教材的设计和安排，以高屋建瓴的姿态去审视教学内容、思考编者的弦外之音，既要对教学内容的地位、作用、知识体系作整体把握，如一节课的知识和方法与这一章节、这个学段、其他学段的联系；也要对学生认知基础和能力结构准确定位，准确把握学生已具备的知识、思想、方法以及活动经验，明确本节内容对学生的后续学习甚至对其他学科的学习起什么作用，等等。

思考之二：教师不要从教材里的“风景”边上绕过去。

案例二《确定藏宝地》原题如下：

小明在一本课外读物中看到这样一段文字和一幅图：

下面是寻宝者得到的一幅藏宝图，荒凉的海岛上没有藏匿宝藏的任何标志，只有一块天然巨石。

寻宝人从其他文献资料上查到，岛上A、B两块巨石的直角坐标分别是A（2，1）和B（8，2），藏宝地的坐标是（6，6）。

你能在上面的地图中画出藏宝地吗？

这是一个充满趣味的探索活动，也是一个逆向思维与操作的活动，是教材为学生设计的一道独特的风景。它安排在学完《数量、位置的变化》之后，旨在让学生建立平面直角坐标系，再根据藏宝地的坐标确定藏宝地位置，问题的核心是确定坐标原点。学生已具备了直角坐标系、点的坐标、有序实数对与坐标的关系等知识。《教师用书》中设计了9个问题指导学生开展活动，并提供了一种“用透明纸覆盖”确定藏宝地的探索方法。

在学习了图形的相似后，本题还可以再安排一次利用相似知识进行的探索活动：

（1）在另一张纸上以任意长为单位长度画出直角坐标系；

（2）作出点A（2，1）、B（8，2）和C（6，6），连接AB、BC、CA；

（3）作∠MAB=∠C′A′B′，∠NBA=∠C′B′A′，射线AM、BN相交于点C′。

则点C′即为藏宝地的位置。

然而，从教师的解答情况可以猜想（事后调查也确证是这样的），绝大多数教师在教学中根本没有理会这个问题，而是从教材里这道美丽的“风景”边上绕了过去，更谈不上引导学生对此开展探究活动。在与教师交流中得知：认为此问题不会在中考中出现。可见，不少教师不是着眼于学生的发展，把学生当作鲜活的生命和学习的主体，对学生进行灵动的引导、思想方法的渗透，而是把学生看作是接受知识的容器，把教学过程看成生产流程，教学围着考试转，考什么就教什么，学生的学习生活就在简单模仿、机械记忆和重复训练中度过。

问题是数学的心脏。教材中的数学活动、数学阅读等内容为教学提供了丰富而鲜活的素材，从应试角度来说，这些问题或许不会出现在中考试卷上，而对学生而言则是生动有趣、充满挑战的。教师应充分利用这些素材，发挥其教学价值，根据学生知识储备、认知能力，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，让学生在经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程中激发学生的兴趣和求知的欲望，积累活动经验，增强新知运用能力、操作探究能力、建模能力、思维能力，掌握学习方法，促进自身发展。

思考之三：数学教师不能用“套路”套住了自己和学生。

案例四中，教师短信的言外之意，似乎给了考试的知识范围还不够，还要有题目范围，把这个范围内的题目都做一遍，一定能考好。在教师的潜意识里，考试就是记题型、记套路甚至记答案。有些教师教起始年级时，学生的阶段测试成绩遥遥领先于循环教学的教师所带的班级，但随着年级的升高、知识的积累，其所教的学生成绩优势逐渐失去，被戏称为“基础年级专家”。

还有不少教师在数学教学时，总喜欢进行题型分类，什么样的题型用什么套路，结果正如省教研室董林伟先生曾说：有些学生存在这样的问题，做过的会做，没做过的不会做，解题模式化了。教学中一定要打破这种模式化，引导学生经历问题发现、提出、分析与解决的过程，指导学生基本的研究方法，揭示数学本质。如利用方程解决问题，行程问题中“路程=速度×时间”，浓度问题中“纯物质=浓度×溶液”，工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”等等，它们都包含形如a×b=c的基本数量关系。这才是相关问题的本质，再如图形的全等、相似、位似本质上就是图形的变换，问题类型不同但数学本质相同，只有抓住问题的本质，才能领略数学的真谛。

另外，互联网在给教师带来便利的同时，也给教育提出了新的挑战。只要在网络上搜索一下，任何题目和答案都能立即显示，不少教师采取“拿来主义”，不经过自己的思考与过滤，直接拿上讲台。一些生源素质不理想的学校“不需要讲”，所谓“名校”即使教师讲不了，一定有学生能解除老师的“尴尬”，长此以往，教师就只剩下“转述”的本领了。我想案例四中的那条短信就属于这样的问题。

记得有这样一句话：要给学生一滴水，教师就要有一桶水。然而，如果教师拥有的只是一桶水、一桶死水，那就有可能江郎才尽；如果教师拥有的是一桶脏水，还可能贻误学生、贻误教育。教学是一种创造性劳动，要给学生一滴水，教师必须要有涓涓不息的源头活水。

学数学、教数学，没有一定量的习题训练肯定不行。但在信息时代，题目浩如烟海，纵使你有三头六臂，也无法逐一解答。我们只有通过对有限题目的练习与思考，积累数学活动经验，揭示数学本质和思想、方法与策略，以方略的不变应对题目的万变，在思考中形成良好的数学思维方式，才能提高思维能力。■

（作者单位：江苏省泰州市教育局教研室）

你能在上面的地图中画出藏宝地吗？

这是一个充满趣味的探索活动，也是一个逆向思维与操作的活动，是教材为学生设计的一道独特的风景。它安排在学完《数量、位置的变化》之后，旨在让学生建立平面直角坐标系，再根据藏宝地的坐标确定藏宝地位置，问题的核心是确定坐标原点。学生已具备了直角坐标系、点的坐标、有序实数对与坐标的关系等知识。《教师用书》中设计了9个问题指导学生开展活动，并提供了一种“用透明纸覆盖”确定藏宝地的探索方法。

在学习了图形的相似后，本题还可以再安排一次利用相似知识进行的探索活动：

（1）在另一张纸上以任意长为单位长度画出直角坐标系；

（2）作出点A（2，1）、B（8，2）和C（6，6），连接AB、BC、CA；

（3）作∠MAB=∠C′A′B′，∠NBA=∠C′B′A′，射线AM、BN相交于点C′。

则点C′即为藏宝地的位置。

然而，从教师的解答情况可以猜想（事后调查也确证是这样的），绝大多数教师在教学中根本没有理会这个问题，而是从教材里这道美丽的“风景”边上绕了过去，更谈不上引导学生对此开展探究活动。在与教师交流中得知：认为此问题不会在中考中出现。可见，不少教师不是着眼于学生的发展，把学生当作鲜活的生命和学习的主体，对学生进行灵动的引导、思想方法的渗透，而是把学生看作是接受知识的容器，把教学过程看成生产流程，教学围着考试转，考什么就教什么，学生的学习生活就在简单模仿、机械记忆和重复训练中度过。

问题是数学的心脏。教材中的数学活动、数学阅读等内容为教学提供了丰富而鲜活的素材，从应试角度来说，这些问题或许不会出现在中考试卷上，而对学生而言则是生动有趣、充满挑战的。教师应充分利用这些素材，发挥其教学价值，根据学生知识储备、认知能力，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，让学生在经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程中激发学生的兴趣和求知的欲望，积累活动经验，增强新知运用能力、操作探究能力、建模能力、思维能力，掌握学习方法，促进自身发展。

思考之三：数学教师不能用“套路”套住了自己和学生。

案例四中，教师短信的言外之意，似乎给了考试的知识范围还不够，还要有题目范围，把这个范围内的题目都做一遍，一定能考好。在教师的潜意识里，考试就是记题型、记套路甚至记答案。有些教师教起始年级时，学生的阶段测试成绩遥遥领先于循环教学的教师所带的班级，但随着年级的升高、知识的积累，其所教的学生成绩优势逐渐失去，被戏称为“基础年级专家”。

还有不少教师在数学教学时，总喜欢进行题型分类，什么样的题型用什么套路，结果正如省教研室董林伟先生曾说：有些学生存在这样的问题，做过的会做，没做过的不会做，解题模式化了。教学中一定要打破这种模式化，引导学生经历问题发现、提出、分析与解决的过程，指导学生基本的研究方法，揭示数学本质。如利用方程解决问题，行程问题中“路程=速度×时间”，浓度问题中“纯物质=浓度×溶液”，工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”等等，它们都包含形如a×b=c的基本数量关系。这才是相关问题的本质，再如图形的全等、相似、位似本质上就是图形的变换，问题类型不同但数学本质相同，只有抓住问题的本质，才能领略数学的真谛。

另外，互联网在给教师带来便利的同时，也给教育提出了新的挑战。只要在网络上搜索一下，任何题目和答案都能立即显示，不少教师采取“拿来主义”，不经过自己的思考与过滤，直接拿上讲台。一些生源素质不理想的学校“不需要讲”，所谓“名校”即使教师讲不了，一定有学生能解除老师的“尴尬”，长此以往，教师就只剩下“转述”的本领了。我想案例四中的那条短信就属于这样的问题。

记得有这样一句话：要给学生一滴水，教师就要有一桶水。然而，如果教师拥有的只是一桶水、一桶死水，那就有可能江郎才尽；如果教师拥有的是一桶脏水，还可能贻误学生、贻误教育。教学是一种创造性劳动，要给学生一滴水，教师必须要有涓涓不息的源头活水。

学数学、教数学，没有一定量的习题训练肯定不行。但在信息时代，题目浩如烟海，纵使你有三头六臂，也无法逐一解答。我们只有通过对有限题目的练习与思考，积累数学活动经验，揭示数学本质和思想、方法与策略，以方略的不变应对题目的万变，在思考中形成良好的数学思维方式，才能提高思维能力。■

（作者单位：江苏省泰州市教育局教研室）

你能在上面的地图中画出藏宝地吗？

这是一个充满趣味的探索活动，也是一个逆向思维与操作的活动，是教材为学生设计的一道独特的风景。它安排在学完《数量、位置的变化》之后，旨在让学生建立平面直角坐标系，再根据藏宝地的坐标确定藏宝地位置，问题的核心是确定坐标原点。学生已具备了直角坐标系、点的坐标、有序实数对与坐标的关系等知识。《教师用书》中设计了9个问题指导学生开展活动，并提供了一种“用透明纸覆盖”确定藏宝地的探索方法。

在学习了图形的相似后，本题还可以再安排一次利用相似知识进行的探索活动：

（1）在另一张纸上以任意长为单位长度画出直角坐标系；

（2）作出点A（2，1）、B（8，2）和C（6，6），连接AB、BC、CA；

（3）作∠MAB=∠C′A′B′，∠NBA=∠C′B′A′，射线AM、BN相交于点C′。

则点C′即为藏宝地的位置。

然而，从教师的解答情况可以猜想（事后调查也确证是这样的），绝大多数教师在教学中根本没有理会这个问题，而是从教材里这道美丽的“风景”边上绕了过去，更谈不上引导学生对此开展探究活动。在与教师交流中得知：认为此问题不会在中考中出现。可见，不少教师不是着眼于学生的发展，把学生当作鲜活的生命和学习的主体，对学生进行灵动的引导、思想方法的渗透，而是把学生看作是接受知识的容器，把教学过程看成生产流程，教学围着考试转，考什么就教什么，学生的学习生活就在简单模仿、机械记忆和重复训练中度过。

问题是数学的心脏。教材中的数学活动、数学阅读等内容为教学提供了丰富而鲜活的素材，从应试角度来说，这些问题或许不会出现在中考试卷上，而对学生而言则是生动有趣、充满挑战的。教师应充分利用这些素材，发挥其教学价值，根据学生知识储备、认知能力，引导学生动手实践、自主探索、合作交流，让学生在经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等过程中激发学生的兴趣和求知的欲望，积累活动经验，增强新知运用能力、操作探究能力、建模能力、思维能力，掌握学习方法，促进自身发展。

思考之三：数学教师不能用“套路”套住了自己和学生。

案例四中，教师短信的言外之意，似乎给了考试的知识范围还不够，还要有题目范围，把这个范围内的题目都做一遍，一定能考好。在教师的潜意识里，考试就是记题型、记套路甚至记答案。有些教师教起始年级时，学生的阶段测试成绩遥遥领先于循环教学的教师所带的班级，但随着年级的升高、知识的积累，其所教的学生成绩优势逐渐失去，被戏称为“基础年级专家”。

还有不少教师在数学教学时，总喜欢进行题型分类，什么样的题型用什么套路，结果正如省教研室董林伟先生曾说：有些学生存在这样的问题，做过的会做，没做过的不会做，解题模式化了。教学中一定要打破这种模式化，引导学生经历问题发现、提出、分析与解决的过程，指导学生基本的研究方法，揭示数学本质。如利用方程解决问题，行程问题中“路程=速度×时间”，浓度问题中“纯物质=浓度×溶液”，工程问题中“工作量=工作效率×工作时间”等等，它们都包含形如a×b=c的基本数量关系。这才是相关问题的本质，再如图形的全等、相似、位似本质上就是图形的变换，问题类型不同但数学本质相同，只有抓住问题的本质，才能领略数学的真谛。

另外，互联网在给教师带来便利的同时，也给教育提出了新的挑战。只要在网络上搜索一下，任何题目和答案都能立即显示，不少教师采取“拿来主义”，不经过自己的思考与过滤，直接拿上讲台。一些生源素质不理想的学校“不需要讲”，所谓“名校”即使教师讲不了，一定有学生能解除老师的“尴尬”，长此以往，教师就只剩下“转述”的本领了。我想案例四中的那条短信就属于这样的问题。

记得有这样一句话：要给学生一滴水，教师就要有一桶水。然而，如果教师拥有的只是一桶水、一桶死水，那就有可能江郎才尽；如果教师拥有的是一桶脏水，还可能贻误学生、贻误教育。教学是一种创造性劳动，要给学生一滴水，教师必须要有涓涓不息的源头活水。

学数学、教数学，没有一定量的习题训练肯定不行。但在信息时代，题目浩如烟海，纵使你有三头六臂，也无法逐一解答。我们只有通过对有限题目的练习与思考，积累数学活动经验，揭示数学本质和思想、方法与策略，以方略的不变应对题目的万变，在思考中形成良好的数学思维方式，才能提高思维能力。■

（作者单位：江苏省泰州市教育局教研室）