数学高考复习中恒成立问题及解题策略
2014-08-18陈小军
陈小军
【摘 要】新课标下的高考对知识的考查有了根本性的变化,从知识立意到能力立意,出现了众多注重能力考查的新颖试题,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,此类型问题由于题型多样,有利于从多个角度考查考生的素质和能力,在培养学生思维的灵活性和创造性等方面也起到了积极的作用,备受命题专家青睐,所以加强对这类题型的探索,解题策略和教学就显得十分必要,恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。
【关键词】高中数学;高考复习;恒成立问题;解题策略
新课程改革后的高考命题越来越注重对学生的综合素质的考查,命题思路也有了根本性的变化,从知识立意到能力立意,出现了众多注重能力考查的试题,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因为恒成立问题所涉及的知识面广,综合性强,数学语言抽象,如何从题目提取可用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,下面通过实例,从不同角度用常规方法归纳,供大家参考。
类型一:变更主元,反客为主
对于给出了参数范围的恒成立问题,常常把参数视为主元,把主元视为参数,把原题视为参数的函数,再从函数的角度来解决问题,利用一次函数的单调性进行转化,达到反客为主的目的。
对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n]有:
f(x)>0恒成立?圳f(m)>0f(n)>0,f(x)<0恒成立?圳f(m)<0f(n)<0
例1 对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,求x的取值范围。
解题分析:我们可以用改变主元的办法,将a视为主变元,即将原二次函数化为一次函数:
f(x)=(x-2)a+(x2-4x+4)
记:g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
当a∈[-1,1]时,函数f(x)的值恒大于零,显然x≠2,
故有g(-1)=2-x+x2-4x+4>0.g(1)=x-2+x2-4x+4>0.
解之得:x<1或x>3。
类型二:判别式法
用一元二次方程根的判别式设f(x)=ax2+bx+c(x≠0),
⑴f(x)>0在x∈R上恒成立?圳a>0且△<0;
⑵f(x)<0在x∈R上恒成立?圳a<0且△<0;
①若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在R上恒成立,则有a>0△<0或a<0△<0;
②若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,求m的范围。
解题分析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否为零。
(1)当m-1=0时,不等式化为2>0恒成立,满足题意;
(2)m-1≠0时,只需m-1>0△=(m-1)2-8(m-1)<0,所以,m∈[1,9)。
类型三:数形结合法解决恒成立
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
f(x)>g(x)对一切x∈1恒成立
?圳f(x)的图像在g(x)的图像的上方或f(x)min>g(x)max(x∈I)
例3当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 解题分析:设C1:f(x)=(x-1)2,C2:g(x)=logax,则C1的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x∈(1,2),f(x)
【摘 要】新课标下的高考对知识的考查有了根本性的变化,从知识立意到能力立意,出现了众多注重能力考查的新颖试题,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,此类型问题由于题型多样,有利于从多个角度考查考生的素质和能力,在培养学生思维的灵活性和创造性等方面也起到了积极的作用,备受命题专家青睐,所以加强对这类题型的探索,解题策略和教学就显得十分必要,恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。
【关键词】高中数学;高考复习;恒成立问题;解题策略
新课程改革后的高考命题越来越注重对学生的综合素质的考查,命题思路也有了根本性的变化,从知识立意到能力立意,出现了众多注重能力考查的试题,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因为恒成立问题所涉及的知识面广,综合性强,数学语言抽象,如何从题目提取可用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,下面通过实例,从不同角度用常规方法归纳,供大家参考。
类型一:变更主元,反客为主
对于给出了参数范围的恒成立问题,常常把参数视为主元,把主元视为参数,把原题视为参数的函数,再从函数的角度来解决问题,利用一次函数的单调性进行转化,达到反客为主的目的。
对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n]有:
f(x)>0恒成立?圳f(m)>0f(n)>0,f(x)<0恒成立?圳f(m)<0f(n)<0
例1 对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,求x的取值范围。
解题分析:我们可以用改变主元的办法,将a视为主变元,即将原二次函数化为一次函数:
f(x)=(x-2)a+(x2-4x+4)
记:g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
当a∈[-1,1]时,函数f(x)的值恒大于零,显然x≠2,
故有g(-1)=2-x+x2-4x+4>0.g(1)=x-2+x2-4x+4>0.
解之得:x<1或x>3。
类型二:判别式法
用一元二次方程根的判别式设f(x)=ax2+bx+c(x≠0),
⑴f(x)>0在x∈R上恒成立?圳a>0且△<0;
⑵f(x)<0在x∈R上恒成立?圳a<0且△<0;
①若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在R上恒成立,则有a>0△<0或a<0△<0;
②若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,求m的范围。
解题分析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否为零。
(1)当m-1=0时,不等式化为2>0恒成立,满足题意;
(2)m-1≠0时,只需m-1>0△=(m-1)2-8(m-1)<0,所以,m∈[1,9)。
类型三:数形结合法解决恒成立
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
f(x)>g(x)对一切x∈1恒成立
?圳f(x)的图像在g(x)的图像的上方或f(x)min>g(x)max(x∈I)
例3当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 解题分析:设C1:f(x)=(x-1)2,C2:g(x)=logax,则C1的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x∈(1,2),f(x)
【摘 要】新课标下的高考对知识的考查有了根本性的变化,从知识立意到能力立意,出现了众多注重能力考查的新颖试题,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,此类型问题由于题型多样,有利于从多个角度考查考生的素质和能力,在培养学生思维的灵活性和创造性等方面也起到了积极的作用,备受命题专家青睐,所以加强对这类题型的探索,解题策略和教学就显得十分必要,恒成立数学问题是有一定的难度、综合性强的题型。
【关键词】高中数学;高考复习;恒成立问题;解题策略
新课程改革后的高考命题越来越注重对学生的综合素质的考查,命题思路也有了根本性的变化,从知识立意到能力立意,出现了众多注重能力考查的试题,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,解决恒成立题型能启发人们高瞻远瞩地看待问题,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因为恒成立问题所涉及的知识面广,综合性强,数学语言抽象,如何从题目提取可用的知识模块往往捉摸不定,难以寻觅,下面通过实例,从不同角度用常规方法归纳,供大家参考。
类型一:变更主元,反客为主
对于给出了参数范围的恒成立问题,常常把参数视为主元,把主元视为参数,把原题视为参数的函数,再从函数的角度来解决问题,利用一次函数的单调性进行转化,达到反客为主的目的。
对于一次函数f(x)=kx+b,x∈[m,n]有:
f(x)>0恒成立?圳f(m)>0f(n)>0,f(x)<0恒成立?圳f(m)<0f(n)<0
例1 对于任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,求x的取值范围。
解题分析:我们可以用改变主元的办法,将a视为主变元,即将原二次函数化为一次函数:
f(x)=(x-2)a+(x2-4x+4)
记:g(a)=(x-2)a+(x2-4x+4),
当a∈[-1,1]时,函数f(x)的值恒大于零,显然x≠2,
故有g(-1)=2-x+x2-4x+4>0.g(1)=x-2+x2-4x+4>0.
解之得:x<1或x>3。
类型二:判别式法
用一元二次方程根的判别式设f(x)=ax2+bx+c(x≠0),
⑴f(x)>0在x∈R上恒成立?圳a>0且△<0;
⑵f(x)<0在x∈R上恒成立?圳a<0且△<0;
①若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在R上恒成立,则有a>0△<0或a<0△<0;
②若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)>0(或<0)在指定区间上恒成立,可以利用韦达定理以及根的分布等知识求解。
例2若不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集是R,求m的范围。
解题分析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否为零。
(1)当m-1=0时,不等式化为2>0恒成立,满足题意;
(2)m-1≠0时,只需m-1>0△=(m-1)2-8(m-1)<0,所以,m∈[1,9)。
类型三:数形结合法解决恒成立
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
f(x)>g(x)对一切x∈1恒成立
?圳f(x)的图像在g(x)的图像的上方或f(x)min>g(x)max(x∈I)
例3当x∈(1,2)时,不等式(x-1)2 解题分析:设C1:f(x)=(x-1)2,C2:g(x)=logax,则C1的图象为右图所示的抛物线,要使对一切x∈(1,2),f(x)