浅谈常微分方程的课堂教学建设

岳宗敏

常微分方程是本科数学专业的核心基础课程，内容包括：微分方程建模、初等积分法、线性系统、常系数线性系统、若干振动问题、一般理论、定性理论初步。自微积分创立以来，人们就开始研究微分方程。从最初的初等求解技巧到今天日益发达的数值模拟技术，从早期对方向场的理解到今天关于微分方程定性理论、分岔理论的成熟知识体系，三百多年的历史使这门数学分支不仅成为了数学学科中队伍最大、综合性最强的领域之一，而且成为数学以外学科最为关注的领域之一。也正是因为科技发展对于微分方程的要求越来越强烈，所以各个学校都在结合自身的特点，开展一些教学上的改革，在课堂上展开多种形式的教学，力图使学生能够深刻理解微分方程所要传达的信息。

常微分方程课堂教学建设的主要内容

数学类各专业培养具有良好的数学基础和数学思维能力，受到数学建模、计算机和数学软件方面的基本训练，在数学和数学应用方面受到良好的教育，具有较高的科学素养和较强的创新意识，具备科学研究、解决实际问题及软件开发等方面的基本能力和较强的更新知识能力的综合人才。常微分方程课程是继数学分析、高等代数之后的一门重要基础课程，为学习泛函分析、偏微分方程等后继课程提供强有力支撑，也是应用性很强的一门课程，在实现数学、力学等专业培养目标中具有不可替代的重要作用。综合考虑该课程的特点，以及与其他相关课程的衔接问题，明确课程定位，确立本课程的具体目标为：（1）强化理论基础，服务后续课程；（2）强化建模思想和方法，鼓励学生思考，提高动手能力，培养创新意识。为此，加强课堂建设，需要从以下几方面入手：

1.把课堂知识模块化，突出重点加强难点

知识模块分为概念篇、计算篇、理论篇、应用篇，其中概念篇主要包含微分方程基本概念定义等；计算篇主要包含微分方程初等积分法，高阶微分方程解法，微分方程组的解法等；理论篇主要包含解的存在唯一性，解的定性理论等；应用篇包含常微分方程模型介绍，使用数学软件Matlab、Mathematic以及Maple求解有关的常微分方程。学时上安排为：概念篇2课时，计算篇35课时，理论篇8课时，应用篇8课时，习题及讨论课3课时。

重点为一阶微分方程解的存在唯一性定理证明，各类一阶微分方程的求解，线性微分方程的解的性质与结构，高阶线性齐次和非齐次方程的求解，常系数齐次线性微分方程组基解矩阵的概念及求法。难点为一阶微分方程解的存在唯一性定理证明，多重特征根情形下线性微分方程组的基本解组的求法，对实际问题进行建模与分析。

重点内容的解决主要通过习题课、讨论、答疑等多种方法，理论性强的内容通过了解学生基础，采取启发、精讲、补充相关知识等多种方法相结合，循序渐进。难点内容分别采取以下方法解决：（1）对解的存在唯一性定理的证明：通过代数方程和具体的一阶微分方程作为引例，给出证明思路，然后将它分解成相对独立的四个子命题来证明；（2）对多重特征根情形下线性微分方程组的基本解组的求法：详细讲解相关理论，总结推导结果，再通过一些典型的例子说明基本解组的具体求法；（3）实际问题进行建模与分析：通过分析实际问题的背景，补充相关理论知识，建立相关的微分方程模型。

通过以上的方式，既保障了基本教学内容，同时通过把教学的内容作了新的梳理，余出一定的时间给学生去思考与讨论，训练学生分析问题解决问题的能力。

2.采取灵活的教学模式，提高课堂教学质量

为了充分发挥教师在教学活动中的主导作用和学生在教学活动中的主体地位，改变过去单纯重视知识传授和模仿继承前人知识的教学模式，实现知识传授与能力培养相结合、模仿继承与创新发展相结合的教学模式，我们对教学法进行了改革，充分发挥学生的积极性，培养学生分析问题和解决问题的能力。

例如我们将教学分为三个阶段[1]：第一阶段，以经典的微分方程模型为导入点,进而引入相关的微分方程理论知识,课堂“讲、练、问、答”四位一体，以板书与多媒体相结合的方式，使学生掌握基本理论和方法；第二阶段，转被动为主动，以学生自学为主，教师为辅。选取适当的内容让学生来讲解，教师合理引导；第三阶段，深层讨论与拓展，把对微分方程兴趣浓厚的学生组成讨论班，讨论班在每次章节结束的时候会给全班同学带来本章节内容在实际中应用的有关报告以及多媒体的演示（独立报告三十分钟）。

其次可以在教师讲解的基础上，开展案例或者讨论教学。将学生进行分组，针对不同组的实际情况，安排不同的自学内容，包括实际模型的建立，某个知识点的巩固，知识点的深入讨论，课堂内容总结，软件应用等，教师引导学生自己认识问题，消化问题，解决问题，使学生逐步了解解决问题的基本思想。

总之，教学无定法而有良法，教师在课堂教学中始终坚持学生主体地位，采用适当的方法调动学生更多的主动性，不但教会学生学什么，更能体现出怎么学，这是我们教学的重要内容。大数学家欧拉之所以被称为是一位好的教师，除了他本身有较高的数学功底外，更重要的是他愿意把自己解决问题的想法和思路与大家分享，而不是一味地强调结果。

3.教学形式与手段的多样化，促进课堂教学

首先，传统课堂教学与多媒体教学相结合。将传统的数学教学中不能直观表示的抽象的概念、定理等通过图表、图像、动画等多媒体课件生动地表现出来，例如，在讲向量场时，可用多媒体演示微分方程的向量场，从而加深学生的印象，使学生易于理解和掌握，激发学生的学习积极性，解决了课堂信息量不大的问题，使教学过程灵活多样，提高了学生的学习兴趣，形成了教学的良性循环。

其次，课堂教学和学生报告相结合。教师在教学中不应该全盘讲满，要留有适当的时间给学生思考和学习，不但要注重学生的学会，更应培养学生的会学，这样的学生才具备创新能力。所以合理安排课堂内容与学生报告的内容，适当地留一定的时间给学生，将他们所学习到的东西和全班来分享，最后教师将学生的内容作以总结，以此方式替代教师全盘讲授的过程，报告内容与课堂内容有关，既激发学生的学习兴趣，同时又锻炼了学生的表达、总结以及分析解决问题的能力。

最后，多种形式的考核相结合。考核学生不仅仅看期末的成绩，把课堂的参与以及作业等结合起来，以适当的比例给予分数的认可，能够一定程度地提高学生参与课堂的积极性。

注重多种形式的第二课堂的开辟

由于常微分方程的总课时只有56课时，所以在做好第一课堂建设的同时，不能松懈第二课堂的开辟。这不但是规定的课堂教学的有益补充，更加能够丰富课堂教学内容。第二课堂的形式包括讨论班，课后答疑，精品课程网站的互动，网上开放课堂等。特别是随着网路的发展，网路对于人们的生活工作学习都在产生着重要的影响，课程上网是现代化教育发展的一个大的方向，也是新时期教育的新特征，所以利用网络加强第二课堂的建设任重而道远。

总之，提高教学质量，课堂是首要阵地，加强课堂建设是加强教学的重要内容，作为教师既要有主动探索的精神，也要有逐步实施的决心和耐心，在教学的这条道路上才能越走越远，收获也更多。

[1]岳宗敏.“常微分方程”课程的三段分层教学模式探析[J].中国电力教育，2009（2）：48-49.