双点星so覆盖与2－序列覆盖映像①

孙秀华，吕 诚

(安徽建筑大学数理系，安徽 合肥 230022)

在“映射与空间”这一课题中，序列覆盖映射起着极为重要的作用，其中2－序列覆盖映射条件最强，研究2－序列覆盖映像可揭示序列覆盖映像的普遍性质，寻求更多的有关2－序列覆盖映像等价刻画很有价值。文献 ［1］、 ［2］和 ［3］ 中分别讨论了局部可分度量空间的2－序列覆盖s映像、2－序列覆盖紧映像和2－序列覆盖cs映像。于是另辟捷径，引入双点星so覆盖，并得到其与2－序列覆盖映射像之间的联系，丰富了文献 ［2］中的相关结论。

定义1.1［4］:设映射f:X→Y，

(1)对于任意y∈Y以及相应的x∈f－1(y)满足:对Y中收敛序列{yn}和极限点y，一定存在X中收敛于极限点x的收敛序列{xn}，并且每一xn∈f－1(yn)，此时f称为2－序列覆盖映射。

(2)如果对每一f－1(y)都是X的紧子集，则f称为紧映射。

定义 1.2［5］:令 {(Xλ，{ρλ，n}):λ ∈ Λ}为空间X的双点星覆盖，并且对于任意λ∈Λ，(fλ，Mλ，Xλ，{ρλ，n})构成 Ponomarev －system。因为每一 ρλ，n都是可数的，Mλ为可分空间并可度量化。再令M，于是M是局部可分度量空间，其中f是从空间M到空间X的连续满映射，称(f，M，X，{ρλ，n})为 ls － Ponomarev －system。

刻画局部可分度量空间的紧映像中，［5］中定义了双点星cs覆盖和双点星cs*覆盖，［6］定义了双点星sn覆盖。以下通过推广上述方式引入定义双点星so覆盖。

定义1.3:空间X的双点星覆盖{(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}称为双点星so覆盖，如果对于任意n∈N和任意λ∈Λ，ρλ，n为Xλ的so覆盖。

引理1.4［4］:设映射f:X→Y，其中{Bn:n∈N}是X中某点x的递减的邻域基，且每一f(Bn)是f(x)在 Y中的序列邻域。若在 Y中序列{yn:n∈N }收敛于f(x)，那么存在xn∈f－1(yn)使得在X中序列 { xn:n∈N }收敛于x。

定理1.5:若X是具有点有限的双点星so覆盖的空间，则存在 ls－Ponomarev－system{f，M，X，{ρλ，n}}，并且f是2－序列覆盖紧映射。

证明:假如 X 具有双点星覆盖 {(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}，并且{Xλ:λ∈Λ}及每一ρλ，n都是点有限的，于是对任意x∈X，指标集Λx={Xλ:λ∈Λ，x∈Xλ}是有限的，考察映射fλ:Mλ→Xλ，对任意，则由每一 ρλ，n的 点 有 限 性 知是紧子集，且为有限个紧子集的并，故f－1(x)也为紧子集，即f是紧映射。

下证 f是 2－序列覆盖映射。由于 {(Xλ，{ρλ，n}):λ∈Λ}是双点星so覆盖，故对于任意x，即存在λ∈Λ，使得对任n∈N，Pβn∈ρλ，n。

对每一i∈N，令Di= { α =(αn):α∈M，且对于n≤i有αn=βn}，于是{Di:i∈N}是γ在M中递减的邻域基。一方面，设α=(αn)Di，则另一方面，若存在yn≤iPαn，则可以选取η =(ηn)M如下，当n≤i有Pηn=Pαn，并且对任nN有yPηn，于是y=f(η)f(Di)。总之，可为x的序列邻域，于是由引理1.4可得:对于X中收敛于x的序列{xi:i∈N}，存在ηi∈f－1(xi)使得M中序列{ηi:i∈N}收敛于γ。即f是2－序列覆盖映射。

定理1.6:若空间X是局部可分度量空间的2－序列覆盖紧映像，那么X是具有点有限的双点星so覆盖的空间。

定理1.7:M是一个局部可分度量空间，对于空间X，下列论述均等价:

(1)X为M的2－序列覆盖紧映射像;

(2)X是具有点有限双点星so覆盖的空间;

(3)X中存在{Xα:α∈Λ}是点有限的覆盖，每个Xα具有可数的点有限加细的覆盖列{ραi:i∈N}，令 ρi=∪α∈Λραi，则 {ρi:i∈N}是 X 的点有限的so覆盖的点星网。

引理1.8［4］:设映射f:X→Y，若Y是序列空间，f是子序列覆盖映射，则f是商映射。

推论1.9:设M是一个局部可分度量空间，若X是具有点有限的双点星so覆盖的序列空间，X必然是M的2－序列覆盖商紧映射像。

证明:如果有序列空间X具有点有限的双点星so覆盖，由定理1.5可知X是M的2－序列覆盖紧映射像，因为2－序列覆盖映射必然是子序列覆盖映射，再X是序列空间，由引理1.8可以知X也应该是M的商映像。

［1］周丽珍.局部可分度量空间的各类序列覆盖映像［J］.数学学报，1999，42(4):577 －582

［2］吕诚，孙秀华.局部可分度量空间的序列覆盖紧映像［J］. 合肥工业大学学报，2008，31(9):1525－1527

［3］吕诚，王龙奎.局部可分度量空间的cs映像［J］.宜春学院学报，2010，32(8):19 －20

［4］林寿.点可数覆盖与序列覆盖映射［M］.北京:科学出版社，2002:25，52－53，71－76

［5］ Tran T，Nguyen V.ls－Ponomarev－Systems and Compact Images of Locally Separable Metric Spaces［J］.Methods of Functional Analysis and Topology，2009，15(4):391 －400

［6］孙秀华，吕诚.ls－Ponomarev－Systems与1－序列覆盖映像［J］.佳木斯大学学报，2012，30(3):423－424

［7］ Engelking R.General Topology［M］.Warsaw:PWN，1977:358－359