高等数学创新型教学模式研究

任叶庆　张鸿雁

【摘 要】为适应新时期对创新型人才的需求，高等院校要积极构建创新型人才培养体系。结合大学公共基础课高等数学的学科特点，从基于创新型人才培养的教学模式改革入手，进行理论探索；从培养学生创新学习能力、创新实践能力两个方面，进行教学模式改革的探索实践，以确保创新型人才培养目标的实现。

【关键词】高等数学；教学模式；创新能力

【Abstract】In order to meet the demand for innovative talents in the new period， university should actively construct the cultivation system of the innovative talents. Combined with the characteristics of advaced mathematics， we explore the theorem of the reform of the teaching mode based on cultivation of innovative talents. And practically explore from two aspects ，i.e.， cultivate creative learning， creative and practical ability ， that ensure the realization of the cultivation of innovative talents.

【Key words】Advaced mathematics； Teaching mode； Innovative ability

新时期下，我国提出“坚持自主创新，建设创新型国家”的决策，对高等教育人才培养提出了更高、更新的要求。高等教育要全面提高学生的素质，为我国培养出更多的具有创新精神、创新能力的高层次人才。在这一时代背景下，国内许多高校纷纷展开并实施以创新型人才培养为目标的教学改革，在教育理论研究、教学模式改革，产学研相结合研究等方面进行了大量有益的尝试与探索。刘智运[1]对高校创新型人才培养体系、培养模式、师资队伍建设、创新教育管理制度、产研结合之路等从理论上进行了较系统的分析和探讨；韩建华[2]提出创新型人才培养在我国仍处于起步阶段，提出我国普通高校创新型人才培养的对策思路，特别提到高校要注重第二课堂，构建多样化的学生课外活动体系；马知恩[3]提出创新型人才培养与师资队伍的建设密切相关；方晓峰等[4]提出了培养学生数学思维和提高学生数学应用能力的高等数学课程研究式教学模式；宋桂荣[5]段丹青[6]等提出因材施教、分层次教学的普通高等院校高等数学教学模式。

大学生创新能力的培养涉及到高等教育的方方面面，绝不是仅仅只靠几门课程就能完成的。对高校的教学改革而言，可以从教学模式改革、教学内容改革、教学方法改革等方面入手。并将创新精神与创新能力的培养渗透到每门课程，根据每门课程的特点认真研究该课程应从哪些方面培养学生的创新精神和创新能力。

大学阶段是创新能力培养的重要时期，高等数学作为大学本科阶段重要的基础课程，学生对该课程学得好不好，应用能力强不强，直接影响到后面专业课的学习以及未来的发展。根据高等数学学科的特点，高等数学课程改革应着力于培养学生的抽象思维、逻辑思维和求异思维等思维能力以及应用数学理论和方法分析解决实际问题的能力。

本文从高等教育课程教学模式的基本理论出发，研究如何在教学过程中渗透创新能力培养，探讨着重培养学生创新学习能力、创新实践能力的高等数学创新型人才培养教学模式。并结合中南大学公共基础课程——高等数学为适应创新人才培养展开的教学改革的实际，谈谈我校所进行的一系列探索和尝试。

1 基于思维训练的研究式教学模式

“数学是一门由特定思想方法组成的学问，数学不等于逻辑，数学要远远多于逻辑。形式化不是数学的起源，也不是最终目标。掌握数学思想方法，认识客观世界的数学变化规律，并用于认识世界和改造世界，这才是数学科学的真谛”[1]。目前，国内各高校针对传统的“三个中心”式的教学模式进行了一系列的改革，即对传统的“以教师为中心”的注入式，“以教材为中心”的结构式，“以课堂为中心”的封闭式的教学模式进行改革。人们越来越深刻地认识到在课堂教学中发现数学原理以及创造数学方法比空洞地解题、论证等训练要重要。美国教育心理学家布鲁纳极力倡导探究知识的发现过程，他指出：“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，明确地说，包括用自己的头脑亲自获得知识的一切形式”[4]。学生在学习中并不一定真正发现人类未知的东西，而是要去模仿发现者的思维路线，即发现路线，是一种有趣的、“发现式”的学习，这样学生在学习中学到了构建知识的方法。

学生要有创新学习能力，首先要善于创新思维。数学的思维方法， 不仅涉及抽象思维、逻辑思维和形象思维这些体现数学的特征的方面，还涉及在创新思维方面有重要作用的思维方法：类比思维、归纳思维、发散思维、逆向思维、猜测思维等。中南大学在高等数学的教材内容、课件形式、及课堂授课上进行了一系列的改革。例如教材方面，在介绍数学基本内容的同时，力求揭示重要数学概念的实际背景和思想内涵，突出方法的本质；同时通过生产、生活上的一些实例，如求曲线形平面区域面积、山体坡度、已知位移求速度或已知速度求位移等几个典型事例，通俗地介绍微积分的基本思想方法，消除对微积分的神秘感，并在后续内容中逐步加深，贯穿于整个课程教学中。又如，在微分中，强调突出局部线性化的思想；在泰勒公式、无穷级数中注重揭示逼近的思想；在积分应用中强调微元分析法，同时将变换的思想和方法在教学中加以体现。这些思想和方法，不仅在研究数学中、而且在工程人员应用数学时都显得尤为重要。在传授知识的同时，应该突出这些思想和方法以培养学生科学的思维，为他们的创新学习能力的培养打下坚实的基础。

创新思维的培养还需要有好的教学模式、实施手段来配合，美国芝加哥大学教授施瓦布[5]以“科学的本质是不断变化”为前提，在“作为探究的科学”和“通过探究教学”两个理论基础上，构建了研究性学习理论。研究式教学模式是在“研究性学习”理论和“发现学习”理论的基础上发展起来的，其根本的特征是在“教”和“学”的全过程都贯穿着研究性。它包括两个方面：一方面是要研究式地“教”，也就是要在课堂讲授过程中加强研究性，课堂讲授要带有科研含量，对学生提出的问题能进行深入浅出地分析和研究，力求从理论上作出回答；另一方面是要研究式地“学”，就是引导学生在学习过程中要联系思想和工作实际，边读书、边思考、边研究，从而达到培养创新思维能力的目的。探究是一种学习潜能的培养，在教学过程中，为学生创设一种类似于科学研究的情景和途径，让学生以类似于科学研究的方式去主动体验、独立地感知、学习、理解、提高。这种方法要求学生不只是记住书本上的现成结论，而是要通过自己的研究思考，知道结论是怎样来的，知道每个概念、条件、性质是什么、为什么，怎么样。这个过程体现了学生学习的自主性，可以充分发挥学生学习的主观能动性。从2005年至今，中南大学高等数学教研中心通过研究式教学模式构建，努力营造出培养学生创新思维能力的学习氛围，教师精心设计每次的教学的环节，在课堂上引导学生主动探索、积极思考，综合应用所学知识解决实际问题。

例如，在讲授微分中值定理时，从日常现象出发，借助计算机动画演示引导学生观察出罗尔定理的条件和结论，并进一步引导学生改变条件去研究探索和发现拉格朗日中值定理、柯西中值的结论及证明。这种由特殊到一般的探索、发现、提高的过程使学生能自己改变条件和发现定理，激发出较高的学习兴趣和主动性，这就是数学创新。这一研究式教学模式强调了“以学生为中心”，教师起着引导和指导作用，而不是定论地灌输给学生。

2 基于数学应用的实践式教学模式

学生创新实践能力的培养主要是通过应用数学解决问题来体现。在传统的教学中，数学教学往往都是从公理体系出发，沿着定义假设、定理、证明、推论这么一条演绎的方式进行教学，而对数学发现过程、数学的直观性背景较少关注。这种将数学知识重新整理、系统化，有利于课堂讲授，但是它掩盖了数学知识的背景和实际来源，将活生生的数学知识变成了一堆用逻辑组织起来的符号，仿佛空降而来的东西，也看不到它的应用，人们形象地称之为“去两头，烧中段”的教学模式，学生感到既枯燥又困难，学习的积极性得不到提高，甚至让他们逐渐丧失了对数学学习的信心与兴趣。著名数学教育家波利亚曾精辟地指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里德式的严谨科学，从这个方面看，数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像一门实验性的归纳科学” 。学生学习数学不是为了研究数学本身，主要是应用数学，运用数学从事各种各样的研究和创新。大数学家欧拉说：“数学这门科学需要观察，也需要实验”。数学实验与数学建模为数学理论联系实际开创了道路，是培养学生应用数学的意识、提高学生应用数学的兴趣和能力、培养学生的创新精神和创新能力的一个非常有效的重要途径。高等数学教学改革就是要改变这种给学生“烧（鱼的）中段”为给学生“烧全鱼”，即在给学生传授数学理论知识的同时，还要培养学生进行科学地“学数学”、科学地“应用数学”解决实际问题。

2.1 数学实验促进科学地学数学

数学实验是指为研究和获得某些数学理论、验证某种数学猜想、解决某种数学问题，实验者运用一定的物质手段，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学探索活动。数学实验教学是指恰当运用数学实验，引导学生参与实践，自主探索，合作交流，从而发现问题，提出猜想，验证猜想的数学活动。开设数学实验，作为教学内容的一部分，其目的是使学生掌握数学实验的基本思想和方法，即不把数学看成先验的逻辑体系，而是把它视为一门“实验科学”。从问题出发，借助计算机，通过学生亲自动手和参与设计，在解决问题的过程中体验，在实验过程中不断地学习、探索、发现数学规律。这种数学实验与物理、化学、生物等学科的实验不完全相同，它是介于古典演绎法和古典实验法之间的一种科学研究方法，它既不是数学在通常实验中的应用，也不是数学在数学研究中的简单移植；数学实验与物理、化学实验相比不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征。数学实验是随着人类思维、当代数学理论、计算机及计算技术、数值计算方法等现代科学技术的不断发展、进步而形成的一种独特的研究方法。

数学发现的过程，通常在很多情况下是人们在一开始可能连要研究什么问题都没有弄清楚，更不要说提出什么定义和定理了，通过一定的探索工作，大量的观察、分析，才能进一步归纳出其中的规律，猜想出命题应具有的形式，最后才是证明。数学实验可以较好地解决这一问题。我们可以在讲授抽象概念之前，向学生提供一定的例子，运用计算机和数学软件的计算、演示、模拟功能，让他们自己分析，去发现其中的规律，在真正讲授抽象概念时，学生就不会感到太突然了。这种做法对培养学生的观察、归纳能力、类比分析能力有很大的帮助，还能消除学生对数学知识的神秘感。这是一种“问题解答式与亲自动手式”教学模式，极大地了激发学生“学数学、研究数学、用数学”的兴趣。

此外，通过数学实验，还可以训练学生使用数学软件进行诸如系统识别、数字信号处理、时序分析与建模、优化设计、神经网络控制、动态仿真系统、自动控制、震动理论等方面的建模、仿真、计算及结果分析，这些方面的训练是与学生专业结合较紧密的数学知识的实践及应用。

2.2 数学建模促进科学地用数学

数学建模是通过调查、收集数据、资料，观察和研究其固有的特征和内在的规律，抓住问题的主要矛盾，运用数学的思想、方法和手段对实际问题进行抽象和合理假设、创造性地建立起反映实际问题的数量关系，即数学模型，然后运用数学方法辅以计算机等设备对模型加以求解，再返回到实际中去解释、分析实际问题，并根据实际问题的反馈结果对数学模型进行验证、修改、并逐步完善，为人们解决实际问题提供科学依据和手段。因此数学模型是数学与客观实际问题联系起来的纽带，是沟通现实世界与数学世界的桥梁，是解决实际问题的强力工具。然而在实践中能够直接运用数学知识去解决实际问题的情况还是很少的，而且对于如何使用数学语言来描述所面临的实际问题也往往不是轻而易举的，而使用数学知识解决实际问题的第一步就是要从实际问题的看起来杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系，即数学模型，数学模型的组建过程不仅要进行演绎推理而且还要对复杂的现实情况进行归纳、总结和提炼，这是一个归纳、总结和演绎推理相结合的过程。这就要求我们必须改变传统数学教学只重视推理的教学模式，突出对数学结论的理解与应用，精简一些深奥的数学理论，简化复杂的抽象推理，强调对数学结果的说明、直观解释和应用举例等。逐步训练学生不仅掌握了数学知识而且学会“用数学”，学会用数学的知识与方法解决实际问题，因此，在高等数学教学中渗透建模思想的训练是十分必要的。

学生在掌握一些理论知识（如微积分初步、线性代数、概率初步等），并具备一定的运用所掌握的知识解决实际问题的能力，可将数学建模引入高等数学教学。结合学生理论知识水平、知识结构，适合给出与现实生活密切相关的实际问题进行建模，将实际问题数学化、模型化，就能极大地提高学生学习数学的兴趣。如在函数部分引入“复利、助学贷款、住房贷款”等生活中的实例构建模型；微积分部分引入“商品存储费用优化、批量进货的周转周期、磁盘最大存储量、Logistic人口模型”……这些实际问题学生都能使用相应的数学知识求解。同时，在学生掌握了一定计算基础、会借助计算机搜寻大量的相关资料，还能使用计算机运算、验证所建立的模型。通过数学建模教学的训练，可以使学生树立明确的数量观念，提高逻辑思维能力，有助于培养认真细致、一丝不苟的作风，形成精益求精的风格，提高运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识，激发学生学习数学的积极性、主动性。在高等数学教学中渗透数学建模的思想，我们要注意高等数学从数学知识上是由浅入深、循序渐进的特点，在教学过程中要因材施教，合理安排，以教学为主，建模过程为辅，以确保完成教学任务；教学过程以介绍建模思想、方法为主，提高建模能力为辅，循序渐进、由浅入深、由易到难的引入数学模型，所选的建模实例不宜过于复杂。这就易于在潜移默化之中提高学生的数学实践能力，这在学生的能力培养方面又达到了事半功倍的效果。检验模型结果是否合理。如果不合理，就需要对模型的假设进行修正。另一方面，还需要学生对模型的建立和求解过程进行回顾，设法对求解方案进行改进，寻找更优化的解法。显然这对于培养和训练学生思维的批判性具有十分重要的作用。

还要指出，数学建模和数学实验的区别与联系。两者都要借助计算机，但数学实验侧重于在计算机的帮助下学习数学知识，而数学建模是引导学生会利用数学知识和计算机手段来解决实际问题。一个是引导怎样学，一个是引导怎样用，两者的目的不同。在内容及选材上，两者都是以问题为驱动而不是以概念、定理、公式为驱动。数学实验不仅可以从理论问题出发，还可以由实际问题出发，探讨的理论问题或实际问题一般是比较经典的，有普遍意义的，使学生能以解决问题为线索总结规律，学到知识；而数学建模侧重于问题的实用性而不是普遍性，解决问题本身就是目的。数学实验可以作为数学建模的预备课，使学生可以更好、更快地掌握数学建模的基本方法和技能。

中南大学开展数学实验与数学建模课程的教学，是以周末的文化素质课的形式及署假开设培训班的形式进行的。面向全体学生，鼓励学生积极选修，不占用正常的教学时间，但与高等数学课程同时开设，每学都开设两次，选修灵活，弥补了第二课堂缺少数学实践环节的不足，改变了以前高等数学教学长期以来课堂理论教学的单一局面，突破了传统教学模式，得到了学生们的普遍欢迎，提高了他们的学习兴趣，不仅推动了数学理论课教学质量的提高，而且在学生创造力的培养和素质教育方面起到了重要的作用。此外，数学实验与数学建模课程的开设，还为选拔部分优秀学生参加数学建模竞赛进行了人才储备，确保我校在湖南省、全国、国际各类数学建模比赛取得佳绩。

3 基于现代教育技术的信息化教学模式

现代教育技术是以计算机为核心的信息技术在教育、教学领域中的应用，是教育技术在信息社会发展的新特征，其主要特征是多媒体技术和网络技术在教育、教学中的广泛应用。现代教育技术的应用是要为学习者提供一个有利于观察、思考、比较的信息化教学环境，开发有助于创新性、创造性教学的软件资源，培养具有创新意识的新型教师队伍，广泛开展教学试验，探索并构建创新性、创造性教育的新模式，把学生培养成“大胆的质疑、积极的求异、敏锐的观察、丰富的想象、个性化的知识结构、创新的品质”的人。勿庸置疑，现代教育技术是教育改革和发展的制高点和突破口，是教育创新的必经之途。

现代教育技术在教学中的应用，优化了教学模式。我校通过近十几年的开发建设，所实现的现代化教学模式体现在以下几个方面：（1）将多媒体技术有机的渗透到数学课堂教学中，完善了教师的教学方式、节省了教学时间、提高教学效率，将教师从繁重的教学活动中解放出来，利用更多的时间去进行学生的创新能力培养，这是教学模式的技术层次的改革。（2）计算机及多媒体技术在教学中运用的价值不仅在于技能的层面，其更重要的、更深层的价值在于促进人的精神意识层面发展。在学生的学习过程中，培养学生的学习目的意识、提高学生学习动机的兴趣热情，激活并训练学生的探索能力。其主要表现为：有效地实现数形结合、形象地描述抽象的概念；具象地表达、演示不易表述清楚的数学定理；对于稍纵即逝的数学演示现象进行慢镜头回放处理；对于大量的、看似杂乱的数学知识进行梳理、串连，围绕同一知识点将问题展开，避免学生头脑杂乱无章；组织一定的教育模式，培养学生的创造性、引发学生的兴趣等。（3）在课外，通过多媒体的教育网络环境的构建，最大限度地发挥第二课堂的作用，调动学生的主动性、积极性。在这种教学模式下，为学生提供图文音像并茂的、丰富多彩的交互式人机界面，为学生提供符合人类联想思维与联想记忆特点的、按超文本结构组织的大规模知识库与信息库，因而激发了学生的学习兴趣，并为学生实现探索式、发现式学习创造有利条件。在这种教学模式下，真正实现让学生主动建构知识、自己获取知识、自我更新、甚至创造新知识的理想目标。此外，通过多媒体技术还可以加强数学实验教学，为培养学生的创造能力提供技术支撑。

4 结束语

创新能力包括创新学习能力和创新实践能力两个方面。通过高等数学创新型教学模式改革与探索，改变了传统的教学模式，围绕“以学生为本”的教学理念，通过人性化、个性化的课程设计，以问题驱动，运用启发式、研究式教学，将学生吸引进课堂，积极参与教与学，大胆探索实践，创新思维，科学地运用数学知识解决实际问题。

【参考文献】

[1]刘智运.对高校培养创新型人才的思考[J].中国地质大学学报：社会科学版，2007，7（2）：96-99.

[2]韩建华.我国普通高校创新型人才培养中存在的问题和对策[J].江西师范大学学报：哲学社会科学版，2007，40（5）：126-129.

[3]马知恩.深化教学改革，加强师资队伍建设，培养高素质创新型人才[J].中国大学教学，2011，3：13-17.

[4]方晓峰，李应岐，曾静.从高等数学教学谈学生创新能力的培养[J].高等数学，2010增刊，26（1）：57-61.

[5]宋桂荣.普通高等院校高等数学课程教学改革研究[J].考试周刊，2011，81：15-16.

[6]段丹青，杨卫平，谭敏.“兴趣、探究、互动、创新”教学模式研究[J].中国科技信息，2008，12：216-217.

[7]马知恩.工科高等数学课程教学改革50年[J].中国大学教学，2008，1：11-16.

[8]魏淑慧.研究式教学与学生创新思维能力额培养[J].山东师范大学学报，2008，53（5）：68-72.

[责任编辑：汤静]