对一道复习题的解题思路及其答案的探讨

戎松魁

《中小学数学》2014年第三期刊登了马永红老师的题为《怎能从“确定性”推知“可能性”》一文。该文对人教版六年级下册课本第六单元（整理与复习）中一道复习题（练习二十二的第6题，下简称“题6”）进行了分析，提出了不少有益的意见。然而马老师给出的答案仍然是错的，因此笔者认为有必要对此进行探讨。

一、复习题的解题思路及其答案展示

人教版六年级下册课本第113页上“题6”是这样的：甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如右表。如果两个队现在进行一场比赛，请预测一下哪个队获胜的可能性大？为什么？

与此课本配套的《教师教学用书》第165页上给出了两种不同的解题思路，并给出了两个不同的答案。为了叙述方便，本文中把两种解题思路分别称为“解题思路1”和“解题思路2”。

解题思路1：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下；从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等，都是二分之一。”

解题思路2：“仔细观察可以发现：在离比赛日最近的两场比赛中均是乙队获胜，说明最近乙队的状态好于甲队，由此可以预测：乙队获胜的可能性稍大一点。这种判断也有一定道理。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践，又补充了两种解题思路及答案，我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

解题思路3：“从已经结束的五场比赛的结果来看，两队各有二胜二负一平，因此，两队获胜的场次均占总场次的，两队平局的场次占总场次的”，由此得到答案是“甲、乙两队获胜的可能性相等，都是。”

解题思路4：“由于两队比赛，可能出现的结果共有三种：即甲胜乙负，甲负乙胜，甲乙平局，所以，每一种情况均占所有可能出现结果总数的，也就是两队获胜的可能性相等，都是，平局的可能性也是。”

马老师认为：“前面的四种不同的观点中，观点之四是正确的，即甲、乙两队获胜的可能性相等，都是，其余的三种观点都是错误的……”遗憾的是，马老师并没有详细说明前三种答案为什么是错误的，而且他认为正确的第四种答案其实也是错误的。

二、对各种解题思路及答案的探讨

1.在解题思路1中，以两队的战绩不相上下为依据，断定两队下一场比赛获胜的可能性都是二分之一，其错误是显然的。错误主要在于解题者没有考虑到比赛可能会有平局的结果。为了能够更简便地说明问题，我们用字母表示两队第六次比赛的三种结果：A表示事件“甲胜乙负”，B表示事件“甲负乙胜”，C表示事件“甲乙平局”，显然，A、B、C构成了一个完备事件组，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中认定P（A）=，P（B）=，由此导致P（C）=0，即第六场比赛一定不会出现“平局”的结果，这与事实不相符。从前五场比赛结果看，下一场比赛平局的可能性还是不小的。因此，即使下一场比赛中两队获胜的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，从前三场比赛结果分析，甲队明显强于乙队，虽然从五场比赛的结果分析，似乎甲、乙两队战绩“不相上下”，但这个所谓“不相上下”仅仅是从这五场比赛中分析出来的，并不能表示两队实力完全一样，两个足球队的水平很难达到“完全相同”，从这个观点出发，也难以得出“下一场比赛两队获胜的可能性都是二分之一”的结论。事实是：仅仅根据这样的五场比赛的结果就想把下一场比赛甲队（或乙队）获胜的可能性大小用一个确定的数（就是甲队或乙队获胜的概率）表示出来，可以说是一件不可能的事。

2.在解题思路2中，认为乙队在最近的两场比赛中获胜，状态好于甲队，因此下一场比赛乙队获胜的可能性会大一点。这种判断确实有一定道理。但是，如果我们换个角度进行分析：“因为甲、乙两队在五场比赛后的总分相同（足球比赛的积分规则：胜一场得3分，平局各得1分，输球不得分。若积分相等，则比较净胜球数），然而甲队比乙队净胜球多了一个，因此采用调整战略、战术等方法后，下一场甲队获胜的可能性会大一点”。或者认为“甲、乙两队实力‘不相上下，平局的可能性会大一点。”这样的预测也是有一定道理的。总之，从不同的角度分析前五场比赛结果，可以得到不同的预测结论。并非只有“乙队获胜可能性会大一点”一种结论。

3.在解题思路3中，根据在五场比赛中两队各有二胜二负一平而得到两队获胜的场次均占总场次的，从而得到甲、乙两队获胜的可能性都是，这个答案的错误是明显的，只要我们重温一下概率的统计定义即知其错误所在。概率的统计定义是这样的：“在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P（A）。”

由此可知，只进行五场比赛，是不能将甲队（乙队）获胜的频率当作甲队（乙队）获胜的概率的。需要特别指出的是，对于球赛来说，各场比赛并不是在“不变的条件下”进行的，连概率统计定义中的条件都不满足，因此不能用所谓的“事件发生的频率”来表示“事件发生可能性的大小”。

举个例来说，如果连续5次抛掷一个均匀的硬币，发现有3次正面向上，2次正面向下，显然我们不能认为正面向上的可能性是，向下的可能性是，从而预测第六次抛掷后出现正面的可能性会大一点。事实上，有好几位数学家曾进行过抛掷硬币这种“试验”，他们在抛掷成千上万次硬币后发现正面向上的频率接近，而且随着抛掷次数增加，频率越来越接近，从而得到“抛掷一个均匀的硬币，正面向上的概率是”的结论。当然，这个结论也很容易从概率的古典定义得到。这就是说，不管你是第几次抛掷一个均匀的硬币，正面向上的可能性都是。

4.在解题思路4中，考虑到比赛结果有A、B、C三种，每种情况均占所有可能出现结果总数的，从而认为A、B、C三个事件中每一个发生的可能性都是，这是缺乏根据的。因为要得到这个结论必须要满足“事件A、B、C发生的可能性相等”这一条件。马老师在文章的结尾处指出：“在求随机事件发生的可能性时……只能用指定事件所有结果的数量除以事件所有可能出现的数量。”但是用这种方法来确定事件发生可能性的大小必须满足“所有可能发生的事件总数是有限的，而且各个事件发生的可能性是相等的”这样的条件（古典概型应满足的条件），而对于足球赛而言，事件A、B、C的发生并不是等可能性的，因此不能应用马老师所说的方法计算出A、B、C发生的概率。这里得到“两队获胜的可能性相等，都是”的结论是错误的。

三、两点思考

1.像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

“题6”以足球比赛为题材，要学生预测比赛的结果。然而由于影响足球比赛胜负的因素很多，例如球队的实力、球队战略、战术的变化，参赛球员的变化等，甚至比赛地点是主场还是客场也会影响比赛结果。由此可见，即使是相同球队在同一地点的前后两场比赛，也不能认为是在相同条件下进行的比赛，在“题6”给出的这种条件下，不同的人从不同的角度进行分析，可能会得出不同的判断：甲队获胜的可能性大；乙队获胜的可能性大；平局的可能性大。这些判断看起来都“有一定道理”，但又觉得理由也不太充分。总之，比赛结果A、B、C都有可能发生，但是究竟哪一个事件发生的可能性大是难以断定的。凡是在预测中用一个确定的数（如本文中所说的、、等）来表示甲队（或乙队）获胜的可能性大小都是不准确的，也可以说是错误的。对小学生而言，要他们根据题中所提供的五场比赛的结果去预测第六场比赛哪个队获胜的可能性大，并说出理由，真有点勉为其难。这种习题出现在小学数学课本中弊多利少。

2.教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

“统计与概率”是在2001年《数学课程标准（实验稿）》公布后新增的小学数学教学内容，可能还有少数教师不是很熟悉，并没有觉察《教师教学用书》中存在的问题。当然，《教师教学用书》的作者应该在该书修订或再版前广泛征求教师的意见，及时修改有关错误或不妥之处，不断提高该书质量。而对于小学数学教师来说，可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究，以便更好地完成“统计与概率”的教学任务。

（杭州师范大学教育学院 311121）endprint

《中小学数学》2014年第三期刊登了马永红老师的题为《怎能从“确定性”推知“可能性”》一文。该文对人教版六年级下册课本第六单元（整理与复习）中一道复习题（练习二十二的第6题，下简称“题6”）进行了分析，提出了不少有益的意见。然而马老师给出的答案仍然是错的，因此笔者认为有必要对此进行探讨。

一、复习题的解题思路及其答案展示

人教版六年级下册课本第113页上“题6”是这样的：甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如右表。如果两个队现在进行一场比赛，请预测一下哪个队获胜的可能性大？为什么？

与此课本配套的《教师教学用书》第165页上给出了两种不同的解题思路，并给出了两个不同的答案。为了叙述方便，本文中把两种解题思路分别称为“解题思路1”和“解题思路2”。

解题思路1：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下；从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等，都是二分之一。”

解题思路2：“仔细观察可以发现：在离比赛日最近的两场比赛中均是乙队获胜，说明最近乙队的状态好于甲队，由此可以预测：乙队获胜的可能性稍大一点。这种判断也有一定道理。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践，又补充了两种解题思路及答案，我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

解题思路3：“从已经结束的五场比赛的结果来看，两队各有二胜二负一平，因此，两队获胜的场次均占总场次的，两队平局的场次占总场次的”，由此得到答案是“甲、乙两队获胜的可能性相等，都是。”

解题思路4：“由于两队比赛，可能出现的结果共有三种：即甲胜乙负，甲负乙胜，甲乙平局，所以，每一种情况均占所有可能出现结果总数的，也就是两队获胜的可能性相等，都是，平局的可能性也是。”

马老师认为：“前面的四种不同的观点中，观点之四是正确的，即甲、乙两队获胜的可能性相等，都是，其余的三种观点都是错误的……”遗憾的是，马老师并没有详细说明前三种答案为什么是错误的，而且他认为正确的第四种答案其实也是错误的。

二、对各种解题思路及答案的探讨

1.在解题思路1中，以两队的战绩不相上下为依据，断定两队下一场比赛获胜的可能性都是二分之一，其错误是显然的。错误主要在于解题者没有考虑到比赛可能会有平局的结果。为了能够更简便地说明问题，我们用字母表示两队第六次比赛的三种结果：A表示事件“甲胜乙负”，B表示事件“甲负乙胜”，C表示事件“甲乙平局”，显然，A、B、C构成了一个完备事件组，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中认定P（A）=，P（B）=，由此导致P（C）=0，即第六场比赛一定不会出现“平局”的结果，这与事实不相符。从前五场比赛结果看，下一场比赛平局的可能性还是不小的。因此，即使下一场比赛中两队获胜的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，从前三场比赛结果分析，甲队明显强于乙队，虽然从五场比赛的结果分析，似乎甲、乙两队战绩“不相上下”，但这个所谓“不相上下”仅仅是从这五场比赛中分析出来的，并不能表示两队实力完全一样，两个足球队的水平很难达到“完全相同”，从这个观点出发，也难以得出“下一场比赛两队获胜的可能性都是二分之一”的结论。事实是：仅仅根据这样的五场比赛的结果就想把下一场比赛甲队（或乙队）获胜的可能性大小用一个确定的数（就是甲队或乙队获胜的概率）表示出来，可以说是一件不可能的事。

2.在解题思路2中，认为乙队在最近的两场比赛中获胜，状态好于甲队，因此下一场比赛乙队获胜的可能性会大一点。这种判断确实有一定道理。但是，如果我们换个角度进行分析：“因为甲、乙两队在五场比赛后的总分相同（足球比赛的积分规则：胜一场得3分，平局各得1分，输球不得分。若积分相等，则比较净胜球数），然而甲队比乙队净胜球多了一个，因此采用调整战略、战术等方法后，下一场甲队获胜的可能性会大一点”。或者认为“甲、乙两队实力‘不相上下，平局的可能性会大一点。”这样的预测也是有一定道理的。总之，从不同的角度分析前五场比赛结果，可以得到不同的预测结论。并非只有“乙队获胜可能性会大一点”一种结论。

3.在解题思路3中，根据在五场比赛中两队各有二胜二负一平而得到两队获胜的场次均占总场次的，从而得到甲、乙两队获胜的可能性都是，这个答案的错误是明显的，只要我们重温一下概率的统计定义即知其错误所在。概率的统计定义是这样的：“在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P（A）。”

由此可知，只进行五场比赛，是不能将甲队（乙队）获胜的频率当作甲队（乙队）获胜的概率的。需要特别指出的是，对于球赛来说，各场比赛并不是在“不变的条件下”进行的，连概率统计定义中的条件都不满足，因此不能用所谓的“事件发生的频率”来表示“事件发生可能性的大小”。

举个例来说，如果连续5次抛掷一个均匀的硬币，发现有3次正面向上，2次正面向下，显然我们不能认为正面向上的可能性是，向下的可能性是，从而预测第六次抛掷后出现正面的可能性会大一点。事实上，有好几位数学家曾进行过抛掷硬币这种“试验”，他们在抛掷成千上万次硬币后发现正面向上的频率接近，而且随着抛掷次数增加，频率越来越接近，从而得到“抛掷一个均匀的硬币，正面向上的概率是”的结论。当然，这个结论也很容易从概率的古典定义得到。这就是说，不管你是第几次抛掷一个均匀的硬币，正面向上的可能性都是。

4.在解题思路4中，考虑到比赛结果有A、B、C三种，每种情况均占所有可能出现结果总数的，从而认为A、B、C三个事件中每一个发生的可能性都是，这是缺乏根据的。因为要得到这个结论必须要满足“事件A、B、C发生的可能性相等”这一条件。马老师在文章的结尾处指出：“在求随机事件发生的可能性时……只能用指定事件所有结果的数量除以事件所有可能出现的数量。”但是用这种方法来确定事件发生可能性的大小必须满足“所有可能发生的事件总数是有限的，而且各个事件发生的可能性是相等的”这样的条件（古典概型应满足的条件），而对于足球赛而言，事件A、B、C的发生并不是等可能性的，因此不能应用马老师所说的方法计算出A、B、C发生的概率。这里得到“两队获胜的可能性相等，都是”的结论是错误的。

三、两点思考

1.像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

“题6”以足球比赛为题材，要学生预测比赛的结果。然而由于影响足球比赛胜负的因素很多，例如球队的实力、球队战略、战术的变化，参赛球员的变化等，甚至比赛地点是主场还是客场也会影响比赛结果。由此可见，即使是相同球队在同一地点的前后两场比赛，也不能认为是在相同条件下进行的比赛，在“题6”给出的这种条件下，不同的人从不同的角度进行分析，可能会得出不同的判断：甲队获胜的可能性大；乙队获胜的可能性大；平局的可能性大。这些判断看起来都“有一定道理”，但又觉得理由也不太充分。总之，比赛结果A、B、C都有可能发生，但是究竟哪一个事件发生的可能性大是难以断定的。凡是在预测中用一个确定的数（如本文中所说的、、等）来表示甲队（或乙队）获胜的可能性大小都是不准确的，也可以说是错误的。对小学生而言，要他们根据题中所提供的五场比赛的结果去预测第六场比赛哪个队获胜的可能性大，并说出理由，真有点勉为其难。这种习题出现在小学数学课本中弊多利少。

2.教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

“统计与概率”是在2001年《数学课程标准（实验稿）》公布后新增的小学数学教学内容，可能还有少数教师不是很熟悉，并没有觉察《教师教学用书》中存在的问题。当然，《教师教学用书》的作者应该在该书修订或再版前广泛征求教师的意见，及时修改有关错误或不妥之处，不断提高该书质量。而对于小学数学教师来说，可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究，以便更好地完成“统计与概率”的教学任务。

（杭州师范大学教育学院 311121）endprint

《中小学数学》2014年第三期刊登了马永红老师的题为《怎能从“确定性”推知“可能性”》一文。该文对人教版六年级下册课本第六单元（整理与复习）中一道复习题（练习二十二的第6题，下简称“题6”）进行了分析，提出了不少有益的意见。然而马老师给出的答案仍然是错的，因此笔者认为有必要对此进行探讨。

一、复习题的解题思路及其答案展示

人教版六年级下册课本第113页上“题6”是这样的：甲、乙两个足球队之间近期的5场比赛成绩如右表。如果两个队现在进行一场比赛，请预测一下哪个队获胜的可能性大？为什么？

与此课本配套的《教师教学用书》第165页上给出了两种不同的解题思路，并给出了两个不同的答案。为了叙述方便，本文中把两种解题思路分别称为“解题思路1”和“解题思路2”。

解题思路1：“从两队的历史战绩来看，各是两胜一平两负，不相上下；从这一点来判断，两队获胜的可能性都是二分之一。”

由此得到的答案是“两队获胜的可能性相等，都是二分之一。”

解题思路2：“仔细观察可以发现：在离比赛日最近的两场比赛中均是乙队获胜，说明最近乙队的状态好于甲队，由此可以预测：乙队获胜的可能性稍大一点。这种判断也有一定道理。”

由此得到的答案是“乙队获胜的可能性稍大一点。”

马老师根据部分教师的教学实践，又补充了两种解题思路及答案，我们不妨把它们称为“解题思路3”和“解题思路4”。

解题思路3：“从已经结束的五场比赛的结果来看，两队各有二胜二负一平，因此，两队获胜的场次均占总场次的，两队平局的场次占总场次的”，由此得到答案是“甲、乙两队获胜的可能性相等，都是。”

解题思路4：“由于两队比赛，可能出现的结果共有三种：即甲胜乙负，甲负乙胜，甲乙平局，所以，每一种情况均占所有可能出现结果总数的，也就是两队获胜的可能性相等，都是，平局的可能性也是。”

马老师认为：“前面的四种不同的观点中，观点之四是正确的，即甲、乙两队获胜的可能性相等，都是，其余的三种观点都是错误的……”遗憾的是，马老师并没有详细说明前三种答案为什么是错误的，而且他认为正确的第四种答案其实也是错误的。

二、对各种解题思路及答案的探讨

1.在解题思路1中，以两队的战绩不相上下为依据，断定两队下一场比赛获胜的可能性都是二分之一，其错误是显然的。错误主要在于解题者没有考虑到比赛可能会有平局的结果。为了能够更简便地说明问题，我们用字母表示两队第六次比赛的三种结果：A表示事件“甲胜乙负”，B表示事件“甲负乙胜”，C表示事件“甲乙平局”，显然，A、B、C构成了一个完备事件组，因此有P（A）+ P（B）+ P（C）=1，而答案中认定P（A）=，P（B）=，由此导致P（C）=0，即第六场比赛一定不会出现“平局”的结果，这与事实不相符。从前五场比赛结果看，下一场比赛平局的可能性还是不小的。因此，即使下一场比赛中两队获胜的可能性相同，也不可能都是二分之一。其次，从前三场比赛结果分析，甲队明显强于乙队，虽然从五场比赛的结果分析，似乎甲、乙两队战绩“不相上下”，但这个所谓“不相上下”仅仅是从这五场比赛中分析出来的，并不能表示两队实力完全一样，两个足球队的水平很难达到“完全相同”，从这个观点出发，也难以得出“下一场比赛两队获胜的可能性都是二分之一”的结论。事实是：仅仅根据这样的五场比赛的结果就想把下一场比赛甲队（或乙队）获胜的可能性大小用一个确定的数（就是甲队或乙队获胜的概率）表示出来，可以说是一件不可能的事。

2.在解题思路2中，认为乙队在最近的两场比赛中获胜，状态好于甲队，因此下一场比赛乙队获胜的可能性会大一点。这种判断确实有一定道理。但是，如果我们换个角度进行分析：“因为甲、乙两队在五场比赛后的总分相同（足球比赛的积分规则：胜一场得3分，平局各得1分，输球不得分。若积分相等，则比较净胜球数），然而甲队比乙队净胜球多了一个，因此采用调整战略、战术等方法后，下一场甲队获胜的可能性会大一点”。或者认为“甲、乙两队实力‘不相上下，平局的可能性会大一点。”这样的预测也是有一定道理的。总之，从不同的角度分析前五场比赛结果，可以得到不同的预测结论。并非只有“乙队获胜可能性会大一点”一种结论。

3.在解题思路3中，根据在五场比赛中两队各有二胜二负一平而得到两队获胜的场次均占总场次的，从而得到甲、乙两队获胜的可能性都是，这个答案的错误是明显的，只要我们重温一下概率的统计定义即知其错误所在。概率的统计定义是这样的：“在不变的条件下，重复进行n次试验，事件A发生的频率稳定地在某一常数P附近摆动。且一般说来，n越大，摆动幅度越小，则称常数P为事件A的概率，记作P（A）。”

由此可知，只进行五场比赛，是不能将甲队（乙队）获胜的频率当作甲队（乙队）获胜的概率的。需要特别指出的是，对于球赛来说，各场比赛并不是在“不变的条件下”进行的，连概率统计定义中的条件都不满足，因此不能用所谓的“事件发生的频率”来表示“事件发生可能性的大小”。

举个例来说，如果连续5次抛掷一个均匀的硬币，发现有3次正面向上，2次正面向下，显然我们不能认为正面向上的可能性是，向下的可能性是，从而预测第六次抛掷后出现正面的可能性会大一点。事实上，有好几位数学家曾进行过抛掷硬币这种“试验”，他们在抛掷成千上万次硬币后发现正面向上的频率接近，而且随着抛掷次数增加，频率越来越接近，从而得到“抛掷一个均匀的硬币，正面向上的概率是”的结论。当然，这个结论也很容易从概率的古典定义得到。这就是说，不管你是第几次抛掷一个均匀的硬币，正面向上的可能性都是。

4.在解题思路4中，考虑到比赛结果有A、B、C三种，每种情况均占所有可能出现结果总数的，从而认为A、B、C三个事件中每一个发生的可能性都是，这是缺乏根据的。因为要得到这个结论必须要满足“事件A、B、C发生的可能性相等”这一条件。马老师在文章的结尾处指出：“在求随机事件发生的可能性时……只能用指定事件所有结果的数量除以事件所有可能出现的数量。”但是用这种方法来确定事件发生可能性的大小必须满足“所有可能发生的事件总数是有限的，而且各个事件发生的可能性是相等的”这样的条件（古典概型应满足的条件），而对于足球赛而言，事件A、B、C的发生并不是等可能性的，因此不能应用马老师所说的方法计算出A、B、C发生的概率。这里得到“两队获胜的可能性相等，都是”的结论是错误的。

三、两点思考

1.像“题6”这样的习题出现在小学数学课本中是不合适的。

“题6”以足球比赛为题材，要学生预测比赛的结果。然而由于影响足球比赛胜负的因素很多，例如球队的实力、球队战略、战术的变化，参赛球员的变化等，甚至比赛地点是主场还是客场也会影响比赛结果。由此可见，即使是相同球队在同一地点的前后两场比赛，也不能认为是在相同条件下进行的比赛，在“题6”给出的这种条件下，不同的人从不同的角度进行分析，可能会得出不同的判断：甲队获胜的可能性大；乙队获胜的可能性大；平局的可能性大。这些判断看起来都“有一定道理”，但又觉得理由也不太充分。总之，比赛结果A、B、C都有可能发生，但是究竟哪一个事件发生的可能性大是难以断定的。凡是在预测中用一个确定的数（如本文中所说的、、等）来表示甲队（或乙队）获胜的可能性大小都是不准确的，也可以说是错误的。对小学生而言，要他们根据题中所提供的五场比赛的结果去预测第六场比赛哪个队获胜的可能性大，并说出理由，真有点勉为其难。这种习题出现在小学数学课本中弊多利少。

2.教师可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究。

“统计与概率”是在2001年《数学课程标准（实验稿）》公布后新增的小学数学教学内容，可能还有少数教师不是很熟悉，并没有觉察《教师教学用书》中存在的问题。当然，《教师教学用书》的作者应该在该书修订或再版前广泛征求教师的意见，及时修改有关错误或不妥之处，不断提高该书质量。而对于小学数学教师来说，可以对“统计与概率”的相关内容进行更深入的研究，以便更好地完成“统计与概率”的教学任务。

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