“图形与几何”教学策略探析

沈勤

问题的缘起

错例研究是一种从学生的错误入手，展现学生的真实思维，找出“出错”的节点进行深入思辨，围绕错因与课堂教学行为之间的关系，从而有效改进教学策略的研究。在典型错例研究的过程中，一个错例引发了笔者对“图形与几何”教学的思考。

错题来源：2013年6月嘉兴市小学数学六年级下册期末检测卷中第四题“图形与计算”第3小题“算一算”。

问题一：计算阴影部分图形的周长。

问题二：计算阴影部分图形的面积。

笔者调查了两个班级，共计95名学生对该题的答题情况。

“计算阴影部分图形的周长”：共有41人错误，正确率仅为56.86%。

错误类型及数据分析（数据精确到小数点后两位）

错误类型 错误

人数 百分比

只计算了圆周长的一半，没有加上直径的长度。3.14×3÷2=4.71cm 4人 4.21%

计算了一个圆的周长。

3.14×3=9.42cm 5人 5.26%

用正方形的周长减圆周长。

3×4-3.14×3=2.58cm 9人 9.47%

计算正方形的部分图形的周长。

1.5×4=6cm 13人 13.68%

直径数据错误 7人 7.37%

其他错误 3人 3.15%

“计算阴影部分图形的面积”：共有35人错误，正确率仅为63.16%。

解题方法及数据分析（数据精确到小数点后两位）

解答方法 使用人数 百分比

方法一：

3×1.5÷2=4.5÷2=2.25cm? 22人 23.16%

方法二：1.5×1.5=2.25cm? 13人 13.68%

方法三：3×3÷4=2.25 cm? 10人 10.53%

方法四：

3.14×1.5×1.5÷4=1.76625cm? 1.5×1.5-1.76625=0.48375cm? 1.76625+0.48375=2.25 cm? 15人 15.79%

方法错误 35人 36.84%

分析与诊断

透过错例现象，经过思辨加工，笔者从中梳理归纳出以下几个问题产生的原因。

一、概念混淆——缺少对知识表征的感知活动

在计算阴影部分图形的周长这一问题上，将近10%的学生选择了用正方形的周长减去圆周长这一错误的方法。经过分析，其原因在于学生对图形知识表征采用的方式不恰当，有的学生习惯用机械记忆的方式“死记”解题方法。当学生看到这个图形时，马上与正方形中画内切圆这个图形产生错误的联系，把求面积的方法与求周长的方法混淆了。

在小学“图形与几何”的教学中，涉及了周长、面积和体积等概念。空间概念的形成具有一定的抽象性，对于以接触感性知识为主的小学生来说，往往容易混淆圆的周长和面积的概念，弄不清体积与表面积的区别。学生对图形知识表征的清晰度较差，习惯用经验来思考和描述概念，从而影响对知识的理解和应用。具体表现为学生认为通过剪拼后图形面积与周长都没有变化，建立了错误的知识表征，因而形成了错误的认识，认为用正方形的周长减圆周长就是阴影部分图形的周长。

二、套用公式——缺少思维品质的探索经历

学生在解决有关阴影部分周长与面积时，已形成了一定的思维定势。只会简单地套用公式，用圆面积公式、圆周长公式、半圆面积公式、半圆周长公式等来解答。

在我们平时的教学中，也常会碰到这样的问题：六年级上就有这样一道练习题目：小正方形的面积为20厘米2，求圆的面积。

学生总是试图先求出半径，再利用s=πr?这一公式得出圆的面积，多数学生并没有真正理解圆面积公式中的r?到底是指什么。在我们的教学中忽视了结合公式强调“圆的面积是r?的π倍”，其实圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系。面对图形的概念、公式等所谓的“死知识”，我们习以为常地认为应该把它们“教死”，学生就应该“学死”。殊不知，这样一来，学生掌握的永远都是机械的知识，解决问题时使用的永远都是单一套用的方法。学生缺少了探索公式时思维的灵活性、深刻度、广度、求异性。因此，图形稍有变化，学生就不知所措了。笔者认为让学生经历思维品质的探索过程是非常重要的。

三、解法烦琐——缺少对内在本质的深度把握

计算阴影部分图形的面积这一问题，有近40%的学生按照已经积累的活动经验和已有的思想方法来进行解答。阴影部分的面积等于半圆的面积减去空白部分的面积，可是空白部分是不规则图形，无法求出其面积，因此有15%的学生用烦琐的方法四解答，当然不排除还有用更加复杂的解题思路来求出阴影部分面积的。这是一道难度系数并不高的图形问题，题目不难为何错误率却这么高，其原因就在于学生习惯于机械模仿，解题时缺乏“识图”能力、“转化”意识，缺少对几何图形内在本质的深度理解和正确把握。

四、知识脱节——缺失系统连贯的经验建构

对于计算阴影部分图形的面积无从下手的学生，笔者与其进行了交谈。出现问题的主要原因是阴影部分并不是圆的，还多了一小部分，而且这一小部分又是一个不规则图形，于是学生就被“困”住了。当笔者把添好辅助线的图形再给学生时，学生马上喊道：“我会做了，太简单了，我怎么没有想到呢？”

平面几何中添辅助线，需要具备对图形的切拼构造能力和图形的对称、旋转和平移的几何变换能力，而这种能力的形成需要学生日常在知识的学习过程中逐步积累，无法一蹴而就。

对策和措施

加深对“图形与几何”知识的理解、掌握，需要我们寻求“图形与几何”教学的有效策略。在图形与几何教学中，我们要重视知识表征，关注公式理解，聚焦图形本质，探寻解决策略，从而有效形成“图形与几何”问题的解决策略。endprint

策略一：重视感知，让几何图形的表象“明”起来

在认识图形和图形特征的探索过程中，学生必然要从事多种活动，这也是小学“图形与几何”学习的一个重要特征。这些活动，既包括学生的观察活动，也包括学生的操作活动，如撕、剪、拼、折、画，还包括学生的想象活动。因此，教师在进行图形与几何的教学时，应引导学生进行多种感知活动，从而理解几何图形的特征，使几何图形的表象和几何概念明确起来。

教学案例1：人教版五下“长方体和正方体的认识”一课。

1.注重观察，加深“表象积累”

教材没有给出长方体的定义，而是通过对课本中各图形的观察来认识长方体。让学生回忆生活中常见的长方体物体，并通过观察实物、模型等方式让学生了解长方体鱼缸、纸盒等物体的表征，同时借助看、摸、比等方法，区别不同的立体图形，从而认识长方体、正方体的特征，并在脑海中形成正确的表象，清晰的概念。

2.注重操作，强化“概念深知”

正方体、长方体的展开图可以加强学生对正方体和长方体的认识。通过小组合作的形式让学生剪纸盒，在主动地操作、交流中，体验长方体展开图形状的多样性和组成的确定性。还可以结合课件进行演示，使学生对图形的认识，概念的理解更加深入。

3.注重画图，深化“特征理解”

画图能使抽象的物体具体化。课堂上，可以让学生拿实物，先在头脑中想一想立体图形的样子，继而画一画展开图；也可以根据展开图来画立体图形；还可以提供长方体的任意两个相邻面，让学生想象长方体形状，并画出来，标出长、宽、高。将具体的实物与抽象的几何图形建立桥梁，能够深化学生对几何图形特征的理解。

教学周长、面积时，也要这样的感知活动，才能让几何图形的表象“明”起来。这也最好地诠释了“我听见了，我忘记了；我看见了，就记住了；我去做了，就理解了。”从而加深概念的理解与掌握。

策略二：经历过程，让几何图形的公式“活”起来

掌握基本图形的周长、面积和体积的计算公式，仍然是“图形与几何”教学内容的重要方面，但教学不能将主要精力放在简单套用公式进行计算上。在学生的日常练习中，经常会碰到已知梯形的“上下底之和”和“高”而不会求梯形的面积；已知r?是多少而不会求圆的面积的情况。机械的公式计算练习，让学生逐渐形成了一看到题目就先去寻找公式中的各个要素的思维定势：求梯形的面积，就要分别知道上底、下底和高；求圆的面积，就要知道半径。学生没有经历几何图形的公式的探索过程，对计算公式只知其然而不知其所以然。

教学案例2：人教版六年级上“圆的面积”一课。

1.比较，感受“变化本质”

课前让学生准备5个大小不一的圆，为学生“主动地进行观察、实验、猜想、验证”提供充分的准备。学生通过观察，引发面积变化的比较，激发学生的思考，在交流中初步发现引起圆面积变化的因素——直径和半径。

2.猜想，聚焦“核心知识”

笔者在课堂教学中设计了这样一个环节：课件出示一个正方形，再以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画一个圆，请学生观察：正方形的边长与圆有什么关系？猜想：圆的面积大约是正方形面积的几倍？你是怎样想的？

从学生熟悉的“数方格”初步验证猜想，借助圆内接正方形，圆外切正方形得出圆的面积是正方形面积的3倍多一些，让学生理解到圆的面积与r?有着更为直接的倍数关系。

3.验证，体现“过程理解”

验证环节，以小组为单位，通过转化成已学过的图形来推导圆面积公式。因为有了课堂反馈时多样化的策略，虽然各小组选择的方法不一，但都验证了圆面积的结果都一致，通过比较沟通了各种方法之间的内在联系，让学生真正经历了凸显思维品质的圆面积计算公式的推导过程。

在练习中，笔者发现学生都能够正确地利用公式求圆的面积，这说明学生对圆的面积公式有了真正意义上的掌握，r?是一个正方形的面积，圆的面积也就是正方形面积的π倍。如果没有对圆面积与r?关系的深入知识本质的理解，学生在处理相关问题时会花费更多的精力与时间。笔者认为只有在图形公式教学中深入思维品质的探索过程，才能让几何图形的公式在运用时更加灵活。

策略三：巧妙设计，让几何图形的本质“凸”起来

有心理学工作者曾对小学三、四、五年级学生识别几何图形的情况作过调查，以直角三角形为例，正确识别标准图形的占被测人数的76.7%，而正确识别其变式图形的只占35%。教学中经常会发现一些基本图形稍作变化，学生就会不认识。因此在“图形与几何”的教学中教师要有意识地将转化和优化的思想渗透到课堂中，让几何图形的本质凸显起来。

1.加强“识图意识”的练习

不会识图，认识不了图形，就解决不了问题。因此，在教学中要利用标准图形，适当地变换方位，重新组合，促进学生对新图形的认识。通过变式图形与标准图形的比较，培养学生的识图能力。

例1：下面是面积相等的四个正方形，四个图中阴影部分面积是否也相等？为什么？

图形进行了变换，但阴影部分的面积还是等于正方形的面积减去圆的面积这一本质。通过精心设计题组，在分解、组合平面图形中进行图形的不断变换，以提高学生的识图能力。

2.加强“转化意识”的练习

转化是图形与几何教学的核心本质。在解决比较复杂的图形问题时，通过转化手段，把原来的图形转化成我们熟悉的“标准”图形，转化成能解决或比较容易解决的问题，起到化繁为简、化难为易的作用，从而顺利地解决问题。

例2：如果平行四边形的面积是80平方厘米，求阴影部分的面积。

只有在平时的教学中经常设计这样练习，才能有效落实转化意识，提高学生的转化能力。

3.加强“思想方法”的练习

课程教材研究所研究员章建跃先生在“通性通法”中指出，“通性”就是概念所反映的数学基本性质，“通法”就是概念所蕴含的思想方法。在“图形与几何”的解题教学中，要注重蕴含的数学思想方法，才能追求图形教学的“长期利益”。endprint

例3：一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽15厘米，高10厘米，当水箱如下A图放置，水深8厘米；当如B图放置时，水的高度是多少厘米？

很多学生都弄不明白长方体水箱的体积、横放时水的体积、竖放时水的体积三者之间的关系与联系。这时教师应重点引导学生“水箱横放和竖放，什么变了，什么不变”这一核心问题加以辨析。分辨出哪些是关键因素，哪些是无关因素，如何根据关键因素和不变关系确定解决问题的思路。这样的教学，着眼于“如何想”，重视题中所蕴含的数学思想方法。

策略四：整体建构，让几何图形问题的解决策略“厚”起来

对学生进行几何图形的分割与拼组能力的培养，是整体建构几何知识的有效手段，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。

1.答案开放中厚实思维

在认识图形的特征后，教师可设计一些非标准图形分割与拼组的练习。通过这样的训练，让学生更好地把握图形的特征。特别是图形的分割联系能为学生后续学习添加辅助线打下基础。

例4：从A点出发画出两条直线，把右图分割成一个四边形和两个三角形。

这样的练习学生需要掌握四边形和三角形的基本特征，培养学生整体把握、综合分析、联系图形之间的关系的能力。在答案的不唯一中，提升学生的思维，培养几何图形的分割与拼组能力和添辅助线的意识。

2.在解题多样中丰厚方法

解决图形与几何问题时，对同一个图形运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形与几何的属性进行思考。

例6：下图是由一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成的图形，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

方法一.从整个图形中减去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.阴影三角形旋转到空白三角形位置，正方形面积就是阴影部分面积。

3×3=9（厘米2）

方法三.添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通过“你能用多少种方法求出阴影部分的面积？”这个问题，引导学生运用“割”“补”“移”的方法来解决问题。特别是“添辅助线”的方法，辅助线是图形与图形之间搭起的“桥梁”，有利于学生发现图形与图形之间、问题与条件之间的关系，从而找到解题思路。在平时的教学中教师要对“割”“补”“移”“添辅助线”等方法进行整体把握，从不同的角度对点与点、点与线、线与线以及面与面的关系进行刻画，让学生的解题方法“丰厚”起来。

总之，教师在图形与几何教学时，应全面把握教材的体系，认真研读教材，做到既为“眼前利益”着想，又为“长远利益”考虑。根据学生的认知规律，充分利用各种条件，采用多种教学手段，引导学生通过多种感官对物体、模型、图形进行感知，促使学生更好地理解几何图形的本质属性，形成图形的表象和清晰的几何概念，让几何图形在学生心中真正“活”起来，让学生对图形与几何知识的学习更加自信。

（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）endprint

例3：一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽15厘米，高10厘米，当水箱如下A图放置，水深8厘米；当如B图放置时，水的高度是多少厘米？

很多学生都弄不明白长方体水箱的体积、横放时水的体积、竖放时水的体积三者之间的关系与联系。这时教师应重点引导学生“水箱横放和竖放，什么变了，什么不变”这一核心问题加以辨析。分辨出哪些是关键因素，哪些是无关因素，如何根据关键因素和不变关系确定解决问题的思路。这样的教学，着眼于“如何想”，重视题中所蕴含的数学思想方法。

策略四：整体建构，让几何图形问题的解决策略“厚”起来

对学生进行几何图形的分割与拼组能力的培养，是整体建构几何知识的有效手段，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。

1.答案开放中厚实思维

在认识图形的特征后，教师可设计一些非标准图形分割与拼组的练习。通过这样的训练，让学生更好地把握图形的特征。特别是图形的分割联系能为学生后续学习添加辅助线打下基础。

例4：从A点出发画出两条直线，把右图分割成一个四边形和两个三角形。

这样的练习学生需要掌握四边形和三角形的基本特征，培养学生整体把握、综合分析、联系图形之间的关系的能力。在答案的不唯一中，提升学生的思维，培养几何图形的分割与拼组能力和添辅助线的意识。

2.在解题多样中丰厚方法

解决图形与几何问题时，对同一个图形运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形与几何的属性进行思考。

例6：下图是由一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成的图形，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

方法一.从整个图形中减去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.阴影三角形旋转到空白三角形位置，正方形面积就是阴影部分面积。

3×3=9（厘米2）

方法三.添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通过“你能用多少种方法求出阴影部分的面积？”这个问题，引导学生运用“割”“补”“移”的方法来解决问题。特别是“添辅助线”的方法，辅助线是图形与图形之间搭起的“桥梁”，有利于学生发现图形与图形之间、问题与条件之间的关系，从而找到解题思路。在平时的教学中教师要对“割”“补”“移”“添辅助线”等方法进行整体把握，从不同的角度对点与点、点与线、线与线以及面与面的关系进行刻画，让学生的解题方法“丰厚”起来。

总之，教师在图形与几何教学时，应全面把握教材的体系，认真研读教材，做到既为“眼前利益”着想，又为“长远利益”考虑。根据学生的认知规律，充分利用各种条件，采用多种教学手段，引导学生通过多种感官对物体、模型、图形进行感知，促使学生更好地理解几何图形的本质属性，形成图形的表象和清晰的几何概念，让几何图形在学生心中真正“活”起来，让学生对图形与几何知识的学习更加自信。

（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）endprint

例3：一个密封的长方体水箱，长20厘米，宽15厘米，高10厘米，当水箱如下A图放置，水深8厘米；当如B图放置时，水的高度是多少厘米？

很多学生都弄不明白长方体水箱的体积、横放时水的体积、竖放时水的体积三者之间的关系与联系。这时教师应重点引导学生“水箱横放和竖放，什么变了，什么不变”这一核心问题加以辨析。分辨出哪些是关键因素，哪些是无关因素，如何根据关键因素和不变关系确定解决问题的思路。这样的教学，着眼于“如何想”，重视题中所蕴含的数学思想方法。

策略四：整体建构，让几何图形问题的解决策略“厚”起来

对学生进行几何图形的分割与拼组能力的培养，是整体建构几何知识的有效手段，也是空间想象能力深化的标志。在教学中，我们应该有意识地加强这方面的训练，使学生在图形处理过程中真正认识图形，理解图形，使空间图形在学生面前不再僵化、呆板，从而使几何图形的解决策略丰厚起来。

1.答案开放中厚实思维

在认识图形的特征后，教师可设计一些非标准图形分割与拼组的练习。通过这样的训练，让学生更好地把握图形的特征。特别是图形的分割联系能为学生后续学习添加辅助线打下基础。

例4：从A点出发画出两条直线，把右图分割成一个四边形和两个三角形。

这样的练习学生需要掌握四边形和三角形的基本特征，培养学生整体把握、综合分析、联系图形之间的关系的能力。在答案的不唯一中，提升学生的思维，培养几何图形的分割与拼组能力和添辅助线的意识。

2.在解题多样中丰厚方法

解决图形与几何问题时，对同一个图形运用不同的解决方法，能够从不同的角度对图形与几何的属性进行思考。

例6：下图是由一个长6厘米、宽3厘米的长方形和一个边长为3厘米的正方形组成的图形，你能用多少种方法求出阴影部分的面积？

方法一.从整个图形中减去空白三角形。

6×3+3×3-（3+3）×6÷2=9（厘米2）

方法二.阴影三角形旋转到空白三角形位置，正方形面积就是阴影部分面积。

3×3=9（厘米2）

方法三.添辅助线，从三角形中减去一个长方形。

6×6÷2-3×（6-3）=9（厘米2）

通过“你能用多少种方法求出阴影部分的面积？”这个问题，引导学生运用“割”“补”“移”的方法来解决问题。特别是“添辅助线”的方法，辅助线是图形与图形之间搭起的“桥梁”，有利于学生发现图形与图形之间、问题与条件之间的关系，从而找到解题思路。在平时的教学中教师要对“割”“补”“移”“添辅助线”等方法进行整体把握，从不同的角度对点与点、点与线、线与线以及面与面的关系进行刻画，让学生的解题方法“丰厚”起来。

总之，教师在图形与几何教学时，应全面把握教材的体系，认真研读教材，做到既为“眼前利益”着想，又为“长远利益”考虑。根据学生的认知规律，充分利用各种条件，采用多种教学手段，引导学生通过多种感官对物体、模型、图形进行感知，促使学生更好地理解几何图形的本质属性，形成图形的表象和清晰的几何概念，让几何图形在学生心中真正“活”起来，让学生对图形与几何知识的学习更加自信。

（浙江省平湖市乍浦天妃小学 314201）endprint