数学中的执因索果与执果索因

张兴萍

在数学问题的分析和解答中，人们往往爱用执因索果或者执果索因的思维方法.前者是从条件出发，逐步推导出所需的结论，反映在解法上往往为综合法；后者则是从结论出发，逐步地追溯使结论成立的条件，反映在解法上就是分析法，也称之为逆推法.综合法的特点是从已知看可知逐步推向未知；而分析法的特点则是从未知看需知逐步靠拢已知.在实际解决问题的过程中往往是用执果索因的思维方法分析寻找解题思路，而用综合法表达解证过程.

例1：已知a、b是互不相等的正数且a+b=1，试证 + >4.

证法一：（执果索因思维方法）要证明 + >4，因为a>0、b>0，所以只要证明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要证明1>4a（1-a），就是要证明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要证明a≠ .条件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

证法二：（执因索果思维方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，当且仅当 = 即a=b时等号成立.∵a≠b，∴ + >4.

证法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可设a=cos α则b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知关于x的实系数方程x +x+m=0的两个根x 、x 满足|x -x |=3，求实数m的值.

分析：本题中方程x +x+m=0的两个根x 、x 到底是实数还是虚数并没有明确，但是x 、x ∈C则没有任何疑问.为此，如何运用条件|x -x |=3则是解本题的关键.x 、x ∈C且|x -x |=3，则9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：设s 、t 分别是等差数列{a }、{b }的前n项和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本题的关键是必须把 逐步转化为 的某种关系.若注意到{a }、{b }均为等差数列，则可以利用等差数列的性质来转化.比如：{a }是非常数等差数列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均为等差数列（记φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即为所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分别是等差数列{a }、{b }的前n项和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0为一个常数）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

当n≥2时，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴当n≥2时，f（n）= = =

（显然上式对n=1得比值为f（1）= ），∴f（n）= 即为所求.

备注：若两个等差数列{a }、{b }的前n项之和s 、t 的比值记为φ（n）= ，而记 =f（n），则f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，则x y =y z =z x .

分析：本题的条件式 = = ，和结论式x y =y z =z x 都是关于x、y、z的轮换对称式子，因此要证x y =y z =z x 成立，只要证明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一则同理可证.由于条件式 = = ，是一个比值式（该比值非0，否则x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0与x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有对数，不妨设这个比值为 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我们能够把结论式x y =y z 或y z =z x 都化为对数的形式问题就可能有解决的办法.

证明：要证明x y =y z 成立，只要证明log x y =log y z 成立，只要证明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令条件比值式= 则log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以证明y z =z x 成立.

∴若 = = ，则x y =y z =z x .

备注：一般地，若条件式是一个比值式，通常可以设这个比值式的比值为一个常数k或 ，由此可以把条件简化为关于常数k的代数式便于应用条件.endprint

在数学问题的分析和解答中，人们往往爱用执因索果或者执果索因的思维方法.前者是从条件出发，逐步推导出所需的结论，反映在解法上往往为综合法；后者则是从结论出发，逐步地追溯使结论成立的条件，反映在解法上就是分析法，也称之为逆推法.综合法的特点是从已知看可知逐步推向未知；而分析法的特点则是从未知看需知逐步靠拢已知.在实际解决问题的过程中往往是用执果索因的思维方法分析寻找解题思路，而用综合法表达解证过程.

例1：已知a、b是互不相等的正数且a+b=1，试证 + >4.

证法一：（执果索因思维方法）要证明 + >4，因为a>0、b>0，所以只要证明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要证明1>4a（1-a），就是要证明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要证明a≠ .条件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

证法二：（执因索果思维方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，当且仅当 = 即a=b时等号成立.∵a≠b，∴ + >4.

证法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可设a=cos α则b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知关于x的实系数方程x +x+m=0的两个根x 、x 满足|x -x |=3，求实数m的值.

分析：本题中方程x +x+m=0的两个根x 、x 到底是实数还是虚数并没有明确，但是x 、x ∈C则没有任何疑问.为此，如何运用条件|x -x |=3则是解本题的关键.x 、x ∈C且|x -x |=3，则9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：设s 、t 分别是等差数列{a }、{b }的前n项和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本题的关键是必须把 逐步转化为 的某种关系.若注意到{a }、{b }均为等差数列，则可以利用等差数列的性质来转化.比如：{a }是非常数等差数列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均为等差数列（记φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即为所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分别是等差数列{a }、{b }的前n项和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0为一个常数）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

当n≥2时，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴当n≥2时，f（n）= = =

（显然上式对n=1得比值为f（1）= ），∴f（n）= 即为所求.

备注：若两个等差数列{a }、{b }的前n项之和s 、t 的比值记为φ（n）= ，而记 =f（n），则f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，则x y =y z =z x .

分析：本题的条件式 = = ，和结论式x y =y z =z x 都是关于x、y、z的轮换对称式子，因此要证x y =y z =z x 成立，只要证明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一则同理可证.由于条件式 = = ，是一个比值式（该比值非0，否则x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0与x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有对数，不妨设这个比值为 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我们能够把结论式x y =y z 或y z =z x 都化为对数的形式问题就可能有解决的办法.

证明：要证明x y =y z 成立，只要证明log x y =log y z 成立，只要证明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令条件比值式= 则log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以证明y z =z x 成立.

∴若 = = ，则x y =y z =z x .

备注：一般地，若条件式是一个比值式，通常可以设这个比值式的比值为一个常数k或 ，由此可以把条件简化为关于常数k的代数式便于应用条件.endprint

在数学问题的分析和解答中，人们往往爱用执因索果或者执果索因的思维方法.前者是从条件出发，逐步推导出所需的结论，反映在解法上往往为综合法；后者则是从结论出发，逐步地追溯使结论成立的条件，反映在解法上就是分析法，也称之为逆推法.综合法的特点是从已知看可知逐步推向未知；而分析法的特点则是从未知看需知逐步靠拢已知.在实际解决问题的过程中往往是用执果索因的思维方法分析寻找解题思路，而用综合法表达解证过程.

例1：已知a、b是互不相等的正数且a+b=1，试证 + >4.

证法一：（执果索因思维方法）要证明 + >4，因为a>0、b>0，所以只要证明a+b>4ab.由于a+b=1，因此只要证明1>4a（1-a），就是要证明4a -4a+1>0即（2a-1） >0，也就是要证明a≠ .条件a>0，b>0，a≠b，a+b=1，易得a≠ 成立.

证法二：（执因索果思维方法）∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1，∴ + = + =2+（ + ）≥2+2 =4，当且仅当 = 即a=b时等号成立.∵a≠b，∴ + >4.

证法三：∵a>0，b>0，a≠b，a+b=1

∴可设a=cos α则b=sin α（0<α< 且α≠ ），

∴ + = + =sec α+csec α=（1+tan α）+（1+ctan α）=2+（tan α+ctan α）>=2+2 =4.

例2：已知关于x的实系数方程x +x+m=0的两个根x 、x 满足|x -x |=3，求实数m的值.

分析：本题中方程x +x+m=0的两个根x 、x 到底是实数还是虚数并没有明确，但是x 、x ∈C则没有任何疑问.为此，如何运用条件|x -x |=3则是解本题的关键.x 、x ∈C且|x -x |=3，则9=|x -x | =|（x -x ） |=|（x +x ） -4x x |=|（-1） -4m|，

∴m=-2或m= .

例3：设s 、t 分别是等差数列{a }、{b }的前n项和，并且 = ，求f（n）= .

分析：本题的关键是必须把 逐步转化为 的某种关系.若注意到{a }、{b }均为等差数列，则可以利用等差数列的性质来转化.比如：{a }是非常数等差数列？圳s =an +bn（ab≠0）.

解法一：∵{a }、{b }均为等差数列（记φ（n）= ）

∴ = = = = =

∴f（n）= = =φ（2n-1）= = 即为所求.

解法二：∵ = = （a≠0）并且s 、t 分别是等差数列{a }、{b }的前n项和，

∴s =7an +an，t =4an +27an（a≠0为一个常数）

∴a =s =8a，b =t =31a得f（1）= .

当n≥2时，a =s -s =7a[n -（n-1） ]+a[n-（n-1）]=14na-6a

同理b =t -t =ta[n -（n-1） ]+27a[n-（n-1）]=8na+23a

∴当n≥2时，f（n）= = =

（显然上式对n=1得比值为f（1）= ），∴f（n）= 即为所求.

备注：若两个等差数列{a }、{b }的前n项之和s 、t 的比值记为φ（n）= ，而记 =f（n），则f（n）=φ（2n-1）.

例4：已知x>1、y>1、z>1，a>0且a≠1，若 = = ，则x y =y z =z x .

分析：本题的条件式 = = ，和结论式x y =y z =z x 都是关于x、y、z的轮换对称式子，因此要证x y =y z =z x 成立，只要证明x y =y z 或y z =z x 之一成立，另一则同理可证.由于条件式 = = ，是一个比值式（该比值非0，否则x（y+z-x）=y（z+x-y）=z（x+y-z）=0得x+y+z=0与x>1、y>1、z>1矛盾），其分母均含有对数，不妨设这个比值为 即 = = = 得log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.于是，只要我们能够把结论式x y =y z 或y z =z x 都化为对数的形式问题就可能有解决的办法.

证明：要证明x y =y z 成立，只要证明log x y =log y z 成立，只要证明ylog x+xlog y=zlog y+ylog z成立就行了.

令条件比值式= 则log x=kx（y+z-x），log y=ky（z+x-y），log z=kz（x+y-z）.

而ylog x+xlog y=y kx（y+z-x）+x ky（z+x-y）=2kxyz

zlog y+ylog z=z ky（z+x-y）+y kz（x+y-z）=2kxyz

∴ylog x+xlog y=zlog y+ylog z即x y =y z 成立

同理可以证明y z =z x 成立.

∴若 = = ，则x y =y z =z x .

备注：一般地，若条件式是一个比值式，通常可以设这个比值式的比值为一个常数k或 ，由此可以把条件简化为关于常数k的代数式便于应用条件.endprint