采用三次样条插值数字化压缩e—p曲线

杨兆兵 刘 俊 夏继宗

(常州市规划设计院，江苏 常州 213003)

采用三次样条插值数字化压缩e—p曲线

杨兆兵 刘 俊 夏继宗

(常州市规划设计院，江苏 常州 213003)

采用对压缩曲线(e—p曲线)进行三次样条插值拟合，研究发现该方法在节点上拟合的相对误差是零，并根据实验数据对拟合曲线的精度进行验证，通过三次样条插值能获取任意压力下的孔隙比e，从而精确得到任意压力段对应的土层压缩模量Es。

压缩模量Es，压缩试验，三次样条插值，Matlab

0 引言

基础底面以下土层的压缩模量Es是求取地基变形的重要的参数之一，其值直接影响着地基计算沉降量的精确度。目前通用的求取压缩模量Es的方法是根据室内压缩试验，得到土样e—p曲线，在e—p曲线中取土层自重压力p1和土层自重压力与附加压力之和p2所对应的e1，e2，进而确定土层压缩模量。这种方法工作太繁琐且精度不高。为解决这一问题，许多学者提出了不同的依据数学分析的计算机绘图方法，用以替代手工绘图和目测判读。如梁勇然、孙洪涛[1]根据大量测试指标的统计分析发现，土样e—p曲线逼近幂函数与自然指数函数的复合模型。彭长学、杨光华假设软土e—p曲线为双曲线方程[2]，通过e0，Es来确定双曲线方程参数的简化方法，从而实现了e—p曲线数值化。这些研究成果为准确确定e—p曲线提供了理论方法，但后续研究仍需持续开展。本文利用三次样条插值方法，无需对土进行分类，只需知道土样的压缩试验数据点，就可以对土的e—p曲线进行数值化，其计算快速，且插值精度非常高，插值拟合曲线与e—p曲线非常吻合。

1 三次样条插值原理

三次样条插值是利用已知数据点(x1，y1)，…，(xn，yn)，运用分段三次多项式来推算其未知数据点(x，y)的一种数值计算方法，其具体原理如下:

设在区间[a，b]上，给定n+1个节点a=x1

1)在每个节点上满足s(xi)=f(xi)(i=0，1，…，n)；

2)在[a，b]上有连续的一阶，二阶导数；

3)在每个小区间[xi，xi+1](i=0，1，…，n-1)上都是三次多项式；

则称s(x)为f(x)在[a，b]上的三次样条插值函数[3]。

从定义知s(x)，在每个小区间[xi，xi+1]有4个未知数，那么n区间有4n个未知数，而s(x)满足的条件只有4n-2个，因此需要2个条件才能确定s(x)。如是补充弯矩边界条件：

s″(x1+0)=M1,s″(xn+1-0)=Mn+1

(1)

其三弯矩方程组的矩阵形式为：

(2)

对于弯矩边界条件，直接得：

M1=f″1,Mn+1=f″n+1

(3)

那么就可得到分段区间[xi,xi+1]上的三次样条插值函数：

(4)

2 三次样条插值函数的优越性检验

三次样条插值具有较好的稳定性和收敛性，还具有一阶光滑性和二阶光滑性。为了验证其优越性，分别采用三次多项式插值、四次多项式插值、三次样条插值对e—p压缩曲线进行拟合。实验数据及拟合精度如表1，表2及图1,图2所示。

表1 土样1[4]插值误差比较

表2 土样2[5]插值误差比较

利用上述数学模型对e—p曲线进行拟合，计算的结果如表1,表2所示。从表1，表2中可以看出，三次样条插值在拟合的精度上比三次多项式和四次多项式要高，达到了零误差精度；三次样条插值的稳定性比前两种拟合方法要好，两种土样都是同样的精度，更适合各种土样的拟合；三次样条插值无需对每组土样拟合不同的函数，再根据拟合函数拟合e—p曲线，只需要Matlab读取原始数值就可以拟合曲线。

从图1，图2可以明显看出，三次样条插值拟合曲线不但在节点上与实测点完全吻合，其在节点间的曲线也是非常符合e—p曲线形态的。而三次多项式和四次多项式拟合的曲线拟合效果是较差，与压缩曲线形态不符。因此，利用三次样条插值模型来拟合e—p曲线是可行的。

3 三次样条插值法插值检验

为检验三次样条插值法拟合e—p曲线效果，对拟合数据与相应压力值下试验结果进行对比分析，以验证该方法的精确度。验算数据为0.025 MPa，0.1 MPa，0.4 MPa，1.6 MPa所对应的土样空隙比。检验结果如表3所示。

表3 三次样条插值法误差比较

从表3及图3，图4可以看出，三次样条插值法拟合结果与试验数据之间的误差很小，且整体拟合曲线与土样压缩试验数据变化趋势相吻合。普通建(构)筑物基础沉降计算所需的压缩模量所对应的压力段一般在0 kPa～800 kPa范围内，所以这三次样条插值法得到的e—p值求解的压缩模量满足精度要求(最大相对误差0.94%)。

从以上比较分析可知，三次样条插值无需对土进行类别划分，也无需对大量的数据进行统计分类，只需土的分级压缩试验原始数据，就可以求出任意压力下的孔隙比，其精度达到计算沉降所需精度。

4 结语

1)实现分级压缩的e—p曲线的数字化。

2)三次样条插值比3次、4次多项式的拟合的精度要高，其相对误差是零。

3)三次样条插值的插值相对误差也是很小，其最大相对误差为0.94%。

4)利用Matlab编写三次样条插值，能方便快速的拟合e—p曲线。

[1] 梁勇然，孙洪涛.压缩曲线的幂指模型[A].首届全国岩土力学与工程青年工作者学术讨论会论文集[C].1992：114-115.

[2] 彭长学,杨光华.软土e—p曲线确定的简化方法及在非线性沉降计算中的应用[J].岩土力学,2008,29(6):1706-1710.

[3] 孙志忠，袁慰平，闻震初.数值分析[M].南京：东南大学出版社，2002：139-147.

[4] 王志亮，郑明新，李永池.求前期固结应力的数学模型研究及应用[J].岩土力学，2005，26(10)：1587-1590.

On adoption of digitalized compressione—pcurve cubic spline interpolation

YANG Zhao-bing LIU Jun XIA Ji-zong

(ChangzhouPlanningandDesignInstitute,Changzhou213003,China)

The paper adopts the cubic spline interpolation matching for the compressivee—pcurve, researches the relative error for the joint matching with the method is zero, proves the accuracy of the matching curve according to the experimental data, obtains the air space ratioeunder any pressure with the cubic spline interpolation, so as to conclude the according layer compression moduleEsat any pressure section.

compression moduleEs, compression test, cubic spline interpolation, Matlab

1009-6825(2014)35-0090-02

2014-10-08

杨兆兵(1984- )，男，工程师，注册土木工程师(岩土); 刘 俊(1986- )，男，助理工程师; 夏继宗(1986- )，男，硕士，工程师，注册土木工程师(岩土)

O241.3

A