对数广义误差分布极值的收敛速度*

黄建文， 羊 豪， 庹中友

(遵义师范学院 数学与计算科学学院，贵州 遵义 563002)

对数广义误差分布作为对数正态分布的自然推广而被国内学者提出[1]. 对数广义误差分布在概率与统计的理论与应用中有着极其重要的作用. 此外，在对数正态分布的应用领域，对数广义误差分布可以作为一个更好的模型替代它.

此处考虑了同服从对数广义误差分布独立随机变量序列最大值的收敛速度，得到了最大值分布趋近于它的极限分布的逐点收敛速度. 主要结果可以用来估计由最大值的极限分布替代精确分布时产生的误差大小和数据分析等. 对于某些在统计领域应用广泛的重要的特殊分布的收敛速度的研究，读者可以参考文献[2]-[7].

对数广义误差分布(logGED)的概率密度函数定义如下：对于v>0和x∈R，有

1 辅助引理

文献[1]研究了logGED的Mills类型不等式以及Mills类型率，结论如下：

引理1 设F(x)表示logGED的分布函数，其中v>0,

(i) 对于v>1和x>1，有

(ii) 对于固定的(或不变的)v>0，当x→+∞时，有

(1)

文献[1]研究了logGED的尾部分布表示，见引理2.

引理2 设F(x)表示logGED的分布函数， 其中v>1. 对于充分大的x，有

其中

(2)

并且

同时，文献[1]研究了同服从logGED独立随机变量序列最大值的极限分布以及相应的赋范常数，结论如下：

引理3 设{Xn，n≥1}是同服从对数广义误差分布(logGED)的独立随机变量序列. 令Mn=max(X1，X2，…，Xn)，则

(3)

其中

并且

根据文献[8]中命题1.1(a)和命题1.17，选择赋范常数αn和βn，使得βn是方程(4)的解

(4)

并且

(5)

为了得到主要结果，需要来自于Leadbetter等[9]中的定理2.4.2.

2 主要结果

定理1 在引理3的条件下， 令Δn(x)=P(Mn≤un)-exp{-e-x}， 则当n→∞时， 最大值 Mn的收敛速度为

同理可得

从而

从而

(6)

又因为

(7)

参考文献：

[1] LIAO X， PENG Z X, NADARAJAH S. Tail Behavior and Limit Distribution of Maximum of Logarithmic General Error Distribution[R]. United Kingdom：Manchester University， 2012

[2] LIAO X, PENG Z X. Convergence Rates of Limit Distribution of Maxima of Lognormal Samples[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications， 2012(395)：643-653

[3] PENG Z X， LIN F M, NADARAJAH S. Convergence Rate of Extremes for the General Error Distribution[J]. Journal of Applied Probability ， 2010(47)：668-679

[4] LIN F M， ZHANG X H， PENG Z X，et al. On the Rate of Convergence of STSD Extremes[J]. Communications in Statistics-Theory and Methods， 2011， 40(10)：1795-1806

[5] CHEN S Q， HUANG J W. Rates of Convergence of Extreme for Asymmetric Normal Distribution[J]. Statistics and Probability Letters， 2014(84)：158-168

[6] 刘豹， 付颖.短尾对称分布的逐点收敛速度[J]. 重庆工商大学学报：自然科学版， 2012， 29(6)：1-3

[7] 黄建文，陈守全，李文兴. 广义logistic分布的收敛速度[J]. 四川大学学报：自然科学版， 2014， 51(1)：47-52

[8] RESNICK S I. Extreme value， Regular Variation， and Point Processes[M]. New York：Springer， 1987

[9] LEADBETTER M R， LINDGREN G， ROOTZEN H. Extremes and Related Properties of Random Sequences and Processes[M]. New York：Springer， 1983