威布尔分布尺度参数的最佳双边检验*

姜 培 华

(安徽工程大学 数理学院， 安徽 芜湖 241000)

数理统计的基本问题之一是统计推断，而统计假设检验是统计推断的重要内容.在正态总体的情形下有多种经典的参数估计和检验方法，文献[1-2]已有叙述.但在实际问题中常会遇到总体服从非正态情形下的统计推断问题，如伽玛分布(包括指数分布)、F分布、瑞利分布和威布尔分布等，对于前三种分布的研究可见文献[3-6]；文献[7]中研究了威布尔分布参数的最高后验概率密度区间估计；对非正态总体参数的估计尤其是最短区间估计的研究也较多，如文献[2-5]和[7-9].假设检验中存在两类错误，即弃真和受伪的错误，传统检验方法拒绝域临界点的选取都是以尾部概率相等为基准，这种方法得到的拒绝域使得犯第二类错误的概率累积值并非最小.这种意义下对于概率密度非对称的双边检验问题，传统方法得到的拒绝域也不是最佳的.因此在一般情形下研究总体参数的最佳双边检验尤为重要.此处首先给出威布尔分布尺度参数的一般检验方法，在此基础上研究其最佳双边检验问题.

1 参数的双边检验

定义1 设总体X服从参数为α，β的伽玛分布Γ(α，β)， 若其密度函数为

引理1 设总体X服从威布尔分布W(η，m)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的样本， 则有

(2) 当2z为非负整数时，有Ix(2z)=Ix([2z])+[Ix([2z]+1)-Ix([2z])](2z-[2z])，其中[2z]为2z的整数部分.

定理1 设总体X服从威布尔分布W(η，m)(形状参数m已知)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的样本， 在显著水平α下检验假设H0：η=η0；H1：η≠η0的双边检验的等尾拒绝域为

2 最佳双边检验

由于卡方分布密度函数的非对称性，因此用传统方法对威布尔分布的尺度参数η进行检验时所得的拒绝域不是最优的.现在的目的是寻找最优的拒绝域，考虑在控制第一类错误概率的前提下尽量使得第二类错误的概率累积值越小，有下述定理.

定理2 设总体X服从威布尔分布W(η，m)(形状参数m已知)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的样本，在显著水平α下检验假设H0：η=η0；H1：η≠η0存在惟一的最佳双边检验拒绝域

F(b，n，1)-F(a，n，1)=1-α

(1)

的实数a和b都决定H0的一个接受域

当η的真值为某个不等于η0的值时，检验犯第二类错误的概率为

为了得到选取临界值的标准，考虑犯第二类错误的概率累积

为使检验最优，自然希望对临界点a和b的取法能够使得I(a，b)达到最小，因此该问题就转化为下述条件极值问题(2)(3)

(2)

st.F(b，n，1)-F(a，n，1)=1-α

(3)

由式(3)知对于给定的a都唯一对应着一个b=b(a)满足约束条件，对式(3)两端关于a求导可得

f(b(a)，n，1)b′(a)-f(a，n，1)=0

从而解出

(4)

(5)

将式(4)代入式(5)整理可得

(6)

令bK=s和aK=t则式(6)可等价转化为

(7)

(8)

(9)

所决定.

综上，最佳拒绝域的存在性和唯一性得证，故定理2成立.

3 实 例

已知某种电子元件的使用寿命X服从参数为η，m=2的威布尔分布W(η，2)，现在从中抽取10个元件进行寿命测试，获得数据如下(单位：小时):

1 150 1 150 1 060 1 050 1 100 1 080 1 250 1 340 1 300 1 200

求在显著水平α=0.05下，检验假设H0：η=η0；H1：η≠η0的传统双边检验拒绝域和最佳双边检验拒绝域.

解1) 已知元件寿命X服从威布尔分布W(η，2)，由定理1的结论知尺度参数η的双边检验的等尾拒绝域为

2) 由于密度函数f(y，n，1)的不对称性，按传统方法求得的拒绝域不是最佳的，其最佳拒绝域的形式应为W*={(-∞，a)∪(b，+∞)}.利用定理2和引理2可知(a，b)应满足

利用Matlab软件进行求解，得唯一的驻点(a*，b*)=(4.292 1，16.303 6)，从而可得最佳拒绝域W*={(-∞，4.292 1)∪(16.303 6，+∞)}.

比较发现最佳接受域较传统接受域缩短0.273 5，且最佳接受域较传统接受域整体向左偏移，这是因为考虑犯第二类错误的累积概率最小，即授伪的累积概率最小，因此最佳接受域应该较传统的接受域缩短；另外由于Γ(10，1)是个非对称的右偏密度函数，因此最佳接受域应该较传统接受域左偏.另外利用Minitab软件可求得最佳拒绝域两侧的尾部概率分别为

P(Y≤a*=4.292 1)=0.012 757 9≈0.255 158α

P(Y≥b*=16.303 6)=0.037 243≈0.744 86α

由此看出,由于伽玛分布密度函数的非对称性，所以最佳拒绝域尾部概率并非相等，而传统拒绝域都是以尾部概率相等为基准；因此最佳拒绝域较传统拒绝域有较大改善，值得采用.

参考文献：

[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京：高等教育出版社，2004

[2] 王建华，张来成.正态总体方差的最短区间估计与最佳双边检验[J].数学的实践与认识，2003，33(2)：58-67

[3] 姜培华.伽玛分布参数的最优区间估计和最佳双边检验[J].安庆师范学院学报：自然科学版，2010，16(2)：34-37

[4] 姜培华.两正态总体方差比的最优区间估计和最佳双边检验[J].菏泽学院学报，2011，33(2)：1-6

[5] 王学敏，朱家砚，胡友杰. 瑞利分布参数的最短区间估计[J].长春大学学报，2008，18(1)：27-30

[6] 姜培华.瑞利分布参数的最佳双边检验[J].长春大学学报，2012，22(8)：972-974

[7] 李中恢.威布尔分布参数的最高后验概率密度区间估计算法[J].浙江大学学报：理学版，2010，37(5)：515-518

[8] 蒋福坤，刘正春.指数分布参数的最短区间估计[J].数理统计与管理，2004，23(3)：43-45

[9] 孙慧玲.取定统计量下最优置信区间的估计[J].统计与决策，2009(7)：6-9