拓扑空间中ω-极限集的几个性质*

2014-08-08金渝光

重庆工商大学学报（自然科学版） 2014年5期

谢洁，金渝光

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331)

ω-极限点的概念是由周期点的概念推广而得到的，是动力系统中的重要概念.在区间自映射的ω-极限集的研究，以及圆周自映射ω-极限集的研究中已经对度量空间中ω-极限集的一些性质进行了详细的证明.此处通过对一般拓扑空间中闭集的研究，并且运用数学分析中的一些知识得到了拓扑空间上ω-极限集的一个性质，也就是定理1中得到的结果.对于拓扑空间加以一定的条件，可以得到轨道orbf(x)为非空有界闭的连通集，也就是定理2的结果.通过对度量空间中ω-极限集的研究可以得到拓扑空间中ω-极限集的一个性质，定理3给出了证明.

1 预备知识

定义1[1]设X为拓扑空间，G为时间拓扑半群，如果F：X×G→X连续且满足对任意x∈X，以及任意t，s∈G，有

(1)F(x，0)=x.

(2)F(x，t+s)=F(F(x，t)，s).

则称F为X上的拓扑动力系统.

定义2[2]设(X，f)，(Y，g)都是动力系统，如果存在同胚h：X→Y使得对任何x∈X，h∘f=g∘h，则称f与g拓扑共轭；若f，g都是满射，h为连续满射，则称f与g拓扑半共轭.

定义3[3]y∈X为x的ω-极限点，如果存在正整数的子序列{ni}，使当ni→∞，fni(x)→y，x的所有ω-极限点的集合叫做x的ω-极限集，记做ω(x，f).

定理1[5]设X为拓扑空间，则下列条件等价：

1)X不连通.

2) 存在X中两个非空闭集A，B使X=A∪B，A∩B=∅.

证明

定理2[6]闭包是包含这个集合的最小闭集.

证明见参考文献[7].

定理3[7]ω(x，f)是X的闭子集.

证明

命题1 设ni为正整数的子序列，则对任何n>0，存在r，0≤r

证明

对每个ni，存在整数pi≥0以及0≤ri

命题2 设A是拓扑空间X中的点集，x∈X，那么下列事件等价.

2)x的每个领域o(x)中有A的点.

3) 有点列xn⊂A，使得∀o(x)，有N，当n>N时，xn∈o(x).

证明

命题3 在拓扑空间中x的点集A为闭集⟺A中任何收敛点列极限属于A.

证明

充分性.对任意x∈d(A)，由命题2，存在{xn}⊂A，xn≠x，xn→x(n→∞)，而x∈A，所以d(A)⊂A，A为闭集.

2 主要结论

定理4 设X为序列紧致的T2空间，Y为拓扑空间，f：X→X，g：Y→Y均为连续映射，h：X→Y是介于f与g之间的拓扑半共轭，则对任意y∈Y，任意x∈h-1(y)，有h(ω(x，f))=ω(y，g).

证明

对∀t∈h(ω(x，f))，∃z∈ω(x，f)，使得h(z)=t，因z∈ω(x，f)，则存在正整数序列ni→+∞(i→+∞)，使得fni(x)→z，又因为h为拓扑半共轭，有h∘fni(x)=gni∘h(x)=gni(y)→h(z)(i→+∞)，t∈ω(y，g)，所以h(ω(x，f))⊂ω(y，g).

反过来，若有t∈ω(y，g)，则存在正整数序列ni→+∞，使得gni(y)→t，有h∘fni(x)→t.因为X为序列紧致的T2空间，{fni(x)}有收敛子序列{fnij(x)}收敛到X中的点u，由命题3知u∈ω(x，f)，h∘fnij(x)=gnij(y)→h(u)，由极限的唯一性知t=h(u)，ω(y，g)∈h(ω(x，f))，综上所述，有h(ω(x，f))=ω(y，g).

定理5 设X是一个可度量化的拓扑空间，设其度量为d，若f：X→X是一个连续映射，则轨道orbf(x)的ω-极限集为非空有界闭的连通集.

证明