用博弈论知识分析"石头剪刀布"游戏

石盟盟

摘要：本文是用数学知识（博弈论）去分析"石头剪刀布"游戏，得出两个结果：(1)第一次出招时可以随意出剪刀、石头或者布获胜的概率都为1/3；(2)在假设游戏参与者一般不可能连续两次出相同招式的情况下，给出游戏参与者怎么做才能更大概率的获胜这一方法。本文充分体现了数学知识在生活中的应用。

关键词：博弈论;零和博弈;混合战略中图分类号：G648文献标识码：B文章编号：1672-1578（2014）12-0294-01平时，大家有时会玩"石头剪子布"的游戏。 游戏规则是用握紧的拳头表示石头，用伸直的中指和食指表示剪刀，用张开的手掌表示布。最后胜负的规则为：石头胜剪刀；剪刀胜布；布胜石头。如果双方出相同的手势，表示平局。以下我们用博弈论的知识分析 "石头剪刀布"游戏的技巧。

事实上，我们没有办法猜出对手第一招怎么出，否则就不叫游戏了。在这种情形下第一招应该怎么出，下面表（一）我们给出"石头剪刀布"游戏的战略式描述。

1.模型建立及求解

表1"石头剪刀布"游戏的战略式描述

参与人2

参与人1石头剪刀布石头0，01，-1-1,1剪刀-1,10,01,-1布1,-1-1,10,0无论是参与人1还是参与人2都会以某一概率出石头，出剪刀或者出布，因此此战略为混合战略，又易见此为零和博弈。

下面定理1我们将给出混合战略Nash均衡的规划求解法：

定理1[1]：对于所给的零和博弈，若博弈的值v大于0，那么博弈的Nash均衡是下面对偶线性规划问题的解

和

其中，Nash均衡支付

Nash均衡战略

上述定理1只适用于v>0的情形，而对于v≤0的情形，可以作一些修改。

命题1[2]:如果支付矩阵的每个元素都大于0，那么博弈的值大于0，即v>0。

命题2[1]:如果支付矩阵是由的每个元素都加上一个常数C得到，即，那么支付矩阵U和U*所对应的零和博弈的Nash均衡战略相同，博弈的值相差C。

上面博弈的支付矩阵为

在这个矩阵中由于。我们构造支付矩阵，其中。令C=1，则我们构造的支付矩阵为

根据上面的定理1，我们用规划求解法求解Nash均衡，构造规划问题如下：

和

通过求解对偶问题，得到，参与人1的支付，参与人2的支付。因此参与人1的混合战略，参与人2的混合战略原博弈的值。所以，博弈存在一个混合战略的Nash均衡。

3.结论

由上可见在出第一招时，参与人1，参与人2以1/3概率出石头，剪刀或布即可，不用考虑太多。

我们的博弈技巧在于第二招。和局的情况下双方第一招出的肯定是相同的。假设双方都出石头，按照一般人不会连出同一招的假定，留给对手可出的第二招有布和剪刀，易见我们只要出剪刀便可保证不败，如果对手第二招也出剪刀，按照一般人不连出同一招的假定，则留给对手第三招可以出的有石头和布，因此第三招我们出布便可保证不败。如此循环下去，我们赢的概率将非常大。参考文献：

[1]《博弈论教程》，罗云峰主编，清华大学出版社；（第53到55页）

[2] 《博弈论及其应用》，肖条军著，上海三联书店；（第45页到第55页）