2014年高考广东理科数学模拟试题

涂天明+黄学波

一、选择题：本大题共８小题，每小题５分，共４０分，每小题只有一项符合题目要求．

１． 复数１－■在复平面内对应的点在（）

Ａ． 第一象限 Ｂ． 第二象限

Ｃ． 第三象限 Ｄ． 第四象限

２． 若集合Ａ＝（０，＋∞），Ｂ＝｛－１，１｝，则下列结论正确的是（）

Ａ． Ａ∩Ｂ＝｛－１｝ Ｂ． （ＣＲＡ）∪Ｂ＝（－∞，０）

Ｃ． Ａ∪Ｂ＝（０，＋∞） Ｄ．（ＣＲＡ）∩Ｂ＝｛－１｝

３． 下列函数中，在其定义域内是增函数的是（）

Ａ． ｙ＝－ｘ３，ｘ∈ＲＢ． ｙ＝（■）■

Ｃ． ｙ＝－ｘ２＋１，ｘ∈（－∞，０） Ｄ． ｙ＝－ｌｎｘ，ｘ∈（０，＋∞）

４． 在２００米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为３００，６００，则塔高为（）

Ａ． ■米 Ｂ． ■米

Ｃ． ■米 Ｄ． ■米

５． 给定定义：若一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，则称该几何体叫“完美几何体”，那么球、三棱锥、正方体、圆柱这四种几何体可以是“完美几何体”的有（）个

Ａ． １Ｂ． ２Ｃ． ３Ｄ． ４

６． 定义“?茚”表示一种两个正实数之间的运算，即ｍ?茚ｎ＝■＋ｍ＋ｎ，ｍ，ｎ是正实数，已知１?茚ｋ＝３，则函数ｆ（ｘ）＝ｋ?茚ｘ的值域是（）

Ａ． ［０，＋∞）Ｂ． ［１，＋∞）Ｃ． （０，＋∞）Ｄ． （１，＋∞）

７．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，若■＝ａ１■＋ａ■■，且Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线（且该直线不过原点），则Ｓ２０１４＝（）

Ａ． １００６Ｂ． １００７Ｃ． ２０１４Ｄ． ２０１５

８． 若圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ－１０＝０上至少有三个不同的点到直线ｌ∶ａｘ＋ｂｙ＝０的距离为２■，则直线ｌ的倾斜角的取值范围是

（）

Ａ． ［■，■］Ｂ． ［■，■］

Ｃ． ［■，■］ Ｄ． ［０，■］

非选择题部分（共１１０分）

二、填空题：本大题共６小题，每小题５分，共３０分．

必做题：

９． 已知随机变量?孜服从正态分布Ｎ（２，?滓２），且Ｐ（?灼＜０）＝０．２，则Ｐ（０＜?灼＜４）＝．

１０． 在（１＋ｘ）２０１２＋（１＋ｘ）２０１３＋（１＋ｘ）２０１４的展开式中，ｘ的系数为＿＿＿＿＿＿（用数字作答） ．

１１． 已知关于ｘ的不等式（ａｘ＋１）（ｘ＋２）＜０的解集是（－∞，－２）∪（１，＋∞），则ａ＝．

１２． 命题：“若空间两条直线ａ，ｂ分别垂直平面?琢，则ａ∥ｂ”，考生小王这样证明：

设ａ，ｂ与面?琢分别相交于Ａ、Ｂ，连结Ａ、Ｂ，

∵ａ⊥?琢， ｂ⊥?琢，ＡＢ?奂?琢 ……①

∴ａ⊥ＡＢ，ｂ⊥ＡＢ…………②

∴ａ∥ｂ ………………………③

这里的证明有两个推理，即：①?圯②和②?圯③． 老师评改认为小王的证明推理不正确，这两个推理中不正确的是．

１３．我省沿海某市经常遭遇洪涝灾害，为防洪防灾决定大面积植树造林，在如图所示区域｛（ｘ，ｙ）｜ｘ≥０，ｙ≥０｝内植树，第一棵树在Ａ１（０，１）点，第二棵树在Ｂ１（１，１）点，第三棵树在Ｃ１（１，０）点，第四棵树在Ｃ２（２，０）点，以此类推，接着按图中箭头方向，每隔一个单位种一颗树，那么，第２０１４棵树所在的点的坐标是．

选做题：

１４． （几何证明选做题）如上图，已知圆中两条弦ＡＢ与ＣＤ相交于点Ｆ，Ｅ是ＡＢ延长线上一点，且ＤＦ＝ＣＦ＝■，ＡＦ ∶ ＦＢ ∶ ＢＥ＝４ ∶ ２ ∶ １，若ＣＥ与圆相切，则线段ＣＥ的长为．

１５． （坐标系与参数方程选讲选做题）若动点Ｐ（ｘ，ｙ）在曲线ｘ＝－２＋ｃｏｓ?兹，ｙ＝ｓｉｎ?兹（?兹为参数，?兹∈Ｒ）上，则■的取值范围是．

三、解答题：本大题共 ６小题，共８０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

１６． （本题满分１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（■－ｘ），ｘ∈Ｒ．

（Ｉ）求ｆ（■）的值；

（ＩＩ）求ｆ（ｘ）的最小值及对应的ｘ的集合；

（ＩＩＩ）若ｆ（?兹）＝■且?兹∈（■，２?仔），求ｔａｎ２?兹的值．

１７．（本题满分１２分）某学校随机抽取部分新生调查其上学途中所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是［０，１００］，样本数据分组为［０，２０），［２０，４０），［４０，６０），［６０，８０），［８０，１００］．

（Ⅰ）求直方图中ｘ的值；

（Ⅱ）如果上学所需时间不少于１小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校６００名新生中有多少名学生可以申请住宿；

（Ⅲ）从学校的新生中任选４名学生，这４名学生中上学所需时间少于２０分钟的人数记为Ｘ，求Ｘ的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于２０分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于２０分钟的概率）

１８． （本题满分１４分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｌｎｘ（ａ∈Ｒ）．

（Ⅰ）当ａ＝１时，求函数的单调区间即相应的单调性；

（Ⅱ）探索函数ｆ（ｘ）是否存在极值，若存在求出该极值，否则说明理由．

１９．（本题满分１４分）如图，菱形ＡＢＣＤ与矩形ＢＤＥＦ所在平面互相垂直，∠ＢＡＤ＝■．

（Ⅰ）求证：ＦＣ∥平面ＡＥＤ；

（Ⅱ）若ＢＦ＝ｋ·ＢＤ，当二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ为直二面角时，求ｋ的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求直线ＢＣ与平面ＡＥＦ所成的角?兹的正弦值．

２０．（本题满分１４分）如图，在平面直角坐标系ｘＯｙ中，椭圆■＋ｙ２＝１的左、右焦点分别为Ｆ１（－ｃ，０），Ｆ２（ｃ，０）． 设Ａ，Ｂ是椭圆上位于ｘ轴上方的两点，且直线ＡＦ１与直线ＢＦ２平行，ＡＦ２与ＢＦ１交于点Ｐ．

（Ⅰ）若ＡＦ１－ＢＦ２＝■，求直线ＡＦ１的方程；

（Ⅱ）求证：ＰＦ１＋ＰＦ２是定值．

２１．（本题满分１４分）对于数列｛ｘｎ｝，如果存在一个正整数ｍ，使得对任意的ｎ（ｎ∈Ｎ?鄢）都有ｘｎ＋ｍ＝ｘｎ成立，那么就把这样一类数列｛ｘｎ｝称作周期为ｍ的周期数列，的最小值称作数列｛ｘｎ｝的最小正周期，以下简称周期．例如当ｘｎ＝２０１４时｛ｘｎ｝是周期为１的周期数列，当ｙｎ＝ｃｏｓ（■ｎ）时｛ｙｎ｝是周期为４的周期数列．

（Ⅰ）设数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋２＝?姿· ａｎ＋１－ａｎ（ｎ∈Ｎ?鄢），ａ１＝ａ，ａ２＝ｂ（ａ≠ｂ），且数列｛ａｎ｝是周期为３的周期数列，求常数?姿的值．

（Ⅱ）设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且４Ｓｎ＝（ａｎ＋１）２．

①若ａｎ＞０，试判断数列｛ａｎ｝是否为周期数列，并说明理由；

②若ａｎａｎ＋１＜０，试判断数列｛ａｎ｝是否为周期数列，并说明理由．

（Ⅲ）设数列｛ａｎ｝满足ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ（ｎ∈Ｎ?鄢），ａ１＝１，ａ２＝２，ｂｎ＝ａｎ＋１，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，试问是否存在ｐ，ｑ，使对任意的ｎ∈Ｎ?鄢都有ｐ≤■≤ｑ成立，若存在，求出ｐ，ｑ的取值范围；不存在，说明理由．

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２０１４年高考广东理科数学模拟试题参考答案

一、选择题：

１． 【解析】∵１－■＝１＋ｉ，在复平面内对应的点坐标为（１，１），在第一象限，选Ａ．

２． 【解析】∵Ａ＝（０，＋∞），∴ＣＲＡ＝（－∞，０），又Ｂ＝｛－１，１｝，故（ＣＲＡ）∩Ｂ＝｛－１｝，选Ｄ．

３． 【解析】由函数单调性定义及二次函数的单调区间易知选Ｃ．

４． 【解析】依题意山顶离塔顶、塔底的距离分别为■米、４００米，设塔高为ｘ米，由余弦定理知ｘ２＝■＋１６００００－２×■×４００×ｃｏｓ３０°＝■，即ｘ＝■米，故选Ａ．

５．【解析】球的三视图全是圆；如图正方体截出的三棱锥三视图全是等腰直角三角形；正方体三视图都是正方形，共有三个，故选Ｃ．

６． 【解析】先由１?茚ｋ＝３解得ｋ＝１，所以ｆ（ｘ）＝ｋ?茚ｘ＝■＋ｘ＋１，当ｘ∈（０，＋∞）时，ｆ（ｘ）＝ｋ?茚ｘ＝■＋ｘ＋１＞１，故选Ｄ．

７． 【解析】依题意Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，故■＝?姿■，即■＝■■＋■■，即ａ１＋ａ２０１４＝１，故Ｓ２０１４＝■（ａ１＋ａ２０１４）＝１００７，选Ｂ．

８． 【解析】圆ｘ２＋ｙ２－４ｘ－４ｙ－１０＝０整理为（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＝（３■）２，∴圆心坐标为（２，２），半径为３■，要求圆上至少有三个不同的点到直线ｌ∶ａｘ＋ｂｙ＝０的距离为２■，则圆心到直线的距离应小于等于■，

∴■≤■，∴（■）２＋４（■）＋１≤０ ，∴－２－■≤（■）≤－２＋■，ｋ＝－（■），∴ ２－■≤ｋ≤２＋■，直线ｌ的倾斜角的取值范围是［■，■］，选Ｂ．

二、填空题：

９．【答案】０．６．

【解析】如图，正态分布的密度函数示意图所示，函数关于直线ｘ＝２对称，所以Ｐ（?灼＜２）＝０．５，并且Ｐ（?灼＜０）＝０．２．

Ｐ（０＜?灼＜４）＝２（１－Ｐ（?灼＜０））＝２（１－０．２）＝０．６．

１０．【答案】６０３９．

【解析】依题意，由二项式定理知（１＋ｘ）２０１２＋（１＋ｘ）２０１３＋（１＋ｘ）２０１４的展开式中ｘ的系数为２０１２＋２０１３＋２０１４＝６０３９．故填６０３９．

１１．【答案】－１．

【解析】依题意， 关于ｘ的不等式（ａｘ＋１）（ｘ＋２）＜０的解集是（－∞，－２）∪（１，＋∞），所以ａ＜０，（ａｘ＋１）（ｘ＋２）＜０即（ｘ＋■）（ｘ＋２）＞０，即－ａ＝１，所以ａ＝－１，故填－１．

１２．【答案】②?圯③．

【解析】用直线与平面垂直的定义知由①?圯②推理正确，由②?圯③推理不正确，因为不能确定空间两条直线ａ，ｂ是否共面，因此直线ａ，ｂ有可能异面．故填②?圯③．

１３．【答案】（１０，４４）．

【解析】依题意，点Ｃ４３（４４，０）是第１９３５个点（４４２－１＝１９３５），点Ｂ４４（４５，４５）是第１９８１（１９３５＋４６＝１９８１）个点，Ａ４４（０，４５）是第２０２４（４５２－１＝２０２４）点，所以第２０１４棵树所在的点应该是Ａ４４（０，４４）向右平移１０个单位，即坐标为（１０，４４）．故填（１０，４４）．

１４．【答案】■．

【解析】根据相交弦定理ＡＦ·ＦＢ＝ＣＦ·ＦＤ，又因为ＤＦ＝ＣＦ＝■，ＡＦ∶ＦＢ∶ＢＥ＝４∶２∶１，所以ＡＥ＝■，ＢＥ＝■，再由切割线定理ＣＥ２＝ＥＢ·ＥＡ＝■×■＝■，故ＣＥ＝■． 故填■．

１５．【答案】［－■，■］．

【解析】依题意，动点Ｐ（ｘ，ｙ）的轨迹是以（－２，０）为圆心，以１为半径的圆，而■的几何意义是圆上的点与原点连线的斜率，结合图形知，直线ｙ＝ｋｘ与圆（ｘ＋２）２＋ｙ２＝１相切时，ｋｍａｘ＝ｔａｎ３０°＝■，ｋｍｉｎ＝ｔａｎ１５０°＝－■．故填［－■，■］．

三、解答题：本大题共５小题，共７２分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

１６．【命题立意】本题为原创题，考查考生三角函数的最值、特殊角的三角函数值、诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的正切公式以及基本的变换技巧，定位为容易题．

【解析】（Ｉ）∵ ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（■－ｘ），……１分

∴ ｆ（■）＝ｃｏｓ■＋ｓｉｎ（■－■）＝ｃｏｓ■＋ｓｉｎ■＝■＋■＝■． ……３分

（ＩＩ）∵ ｆ（ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｓｉｎ（■－ｘ）＝ｃｏｓｘ＋ｃｏｓｘ＝２ｃｏｓｘ，……５分

∴ｆ（ｘ）有最小值为２，这时ｘ的集合为｛ｘ│ｘ＝（２ｋ＋１）?仔，ｋ∈Ｚ｝．……７分

（ＩＩＩ）由 （ＩＩ） 知 ｆ（ｘ）＝２ｃｏｓｘ，∴ｆ（?兹）＝■即２ｃｏｓ?兹＝■，所以ｃｏｓ?兹＝■……８分

又?兹∈（■，２?仔），∴ ｓｉｎ?兹＝－■，∴ ｔａｎ?兹＝■＝■＝－■， ……１０分

∴ ｔａｎ２?兹＝■＝■＝■＝■．……１２分

１７．【命题立意】本题为改编题，源自北京市海淀区的一道模拟试题，考查考生的数字特征的处理、频率分布直方图的读图能力、离散型随机变量的数学期望公式运用，和用样本估计总体的思想理解的深刻度，定位为基本题．

【解析】（Ⅰ）由直方图可得：

２０×ｘ＋０．０２５×２０＋０．００６５×２０＋０．００３×２×２０＝１．

所以ｘ＝０．０１２５ ．……２分

（Ⅱ）新生上学所需时间不少于１小时的频率为：

０．００３×２×２０＝０．１２，……４分

因为６００×０．１２＝７２，

所以估计６００名新生中有７２名学生可以申请住宿． ……６分

（Ⅲ）解法一：Ｘ的可能取值为０，１，２，３，４，……７分

由直方图可知，每位学生上学所需时间少于２０分钟的概率为■，

Ｐ（Ｘ＝０）＝（■）４＝■， Ｐ（Ｘ＝１）＝ ?蒿１４（■）（■）４＝■，

Ｐ（Ｘ＝２）＝?蒿２４（■）２（■）２＝■，Ｐ（Ｘ＝３）＝ ?蒿３４（■）３（■）＝■，Ｐ（Ｘ＝４）＝（■）４＝■．……１０分

所以ｘ的分布列为：

……１１分

ＥＸ＝０×■＋１×■＋２×■＋３×■＋４×■＝１．

所以Ｘ的数学期望为１．……１２分

解法二：依题意Ｘ服从二项分布Ｂ（４，■），……１０分

所以Ｘ的数学期望ＥＸ＝４×■＝１． ……１２分

１８．【命题立意】本题为原创题，考查考生用导数研究函数的单调性、极值掌握情况，体现函数思想、分类讨论思想，定位为中等题．

【解析】依题意函数ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞），∵ ｆ（ｘ）＝ｘ－ａｌｎｘ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝１－■． …２分

（Ⅰ）当ａ＝２时，ｆ（ｘ）＝ｘ－ｌｎｘ，ｆ′（ｘ）＝１－■＝■（ｘ＞０），

………３分

∴ ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０ ，０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０， ………５分

即函数ｆ（ｘ）的单调减区间为（０，１），函数ｆ（ｘ）的单调增区间为（１，＋∞） ． ……６分

（Ⅱ）由ｆ ′（ｘ）＝１－■＝■，ｘ＞０可知：

①当ａ≤０时，ｆ ′（ｘ）＞０，函数ｆ（ｘ）为（０，＋∞）上的增函数，函数ｆ（ｘ）无极值；…９分

②当ａ＞０时，由ｆ ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ａ； ………１０分

∵ ｘ∈（０，ａ）时，ｆ ′（ｘ）＜０，ｘ∈（ａ，＋∞）时，ｆ ′（ｘ）＞０ ． ………１２分

∴ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处取得极小值，且极小值为ｆ（ａ）＝ａ－ａｌｎａ，无极大值． ………１３分

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综上：当ａ≤０时，函数ｆ（ｘ）无极值； 当ａ＞０时，函数

ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处取得极小值ａ－ａｌｎａ，无极大值． ………１４分

１９．【命题立意】本题为原创题，考查了空间几何体的形状，空间线面、面面的位置关系及二面角、线面角的概念及计算，要求考生有一定的空间想象能力、推理论证能力，定位为中等题．

【解析】（Ⅰ）矩形ＢＤＥＦ中，ＦＢ∥ＥＤ，………１分

ＦＢ?埭平面ＡＥＤ，ＥＤ?奂平面ＡＥＤ，ＦＢ∥平面ＡＥＤ，…２分

同理ＢＣ∥平面ＡＥＤ，………３分

又∵ＦＢ∩ＢＣ＝Ｂ，∴平面ＦＢＣ∥平面ＥＤＡ．………４分

故ＦＣ∥平面ＡＥＤ………５分

（Ⅱ）取ＥＦ，ＢＤ的中点Ｍ，Ｎ．由于ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，

所以ＡＭ⊥ＥＦ，ＣＭ⊥ＥＦ，∠ＡＭＣ就是二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的平面角………８分

当二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ为直二面角时，ＭＮ＝ＡＮ＝■ＢＤ，即ｋ＝■．…１０分

（Ⅲ）解法１（几何方法）：由（Ⅱ）ＣＭ⊥平面ＡＥＦ，欲求直线ＢＣ与平面ＡＥＦ所成的角，先求ＢＣ与ＭＣ所成的角． ………１２分

连结ＢＭ，设ＢＣ＝２．则在△ＭＢＣ中，ＣＭ＝■ＭＮ＝■·■＝■，ＭＢ＝２，用余弦定理知ｃｏｓ∠ＭＣＢ＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?兹＝■．…１４分

（Ⅲ）解法２（向量方法）：以Ｄ为原点，ＤＣ为ｙ轴、ＤＥ为ｚ轴建立如图的直角坐标系，设ＡＤ＝２，则Ｍ（■，■，■），

Ｃ（０，２，０），平面ＡＥＦ的法向量■＝■＝（－■，■，－■）， ………１２分

■＝■＝（■，－１，０）．ｃｏｓ＜■，■＞＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?兹＝■． …１４分

２０． 【命题立意】本题为改编题，在一道江苏省高考题的基础上重组改编而成，考生更容易上手，运算量有所减轻，主要考查考生直线的方程、直线与椭圆的位置关系，用方程研究图形的解题策略，体现函数思想、数形结合思想，第（Ⅰ））小题定位为中等题，第（Ⅱ）小题定位为难题．

【解析】解：（Ⅰ） ∵椭圆的方程为■＋ｙ２＝１，∴其焦点坐标分别为Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），又∵ＡＦ１∥ＢＦ２，设■１、ＢＦ２的方程分别为ｍｙ＝ｘ＋１，ｍｙ＝ｘ－１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１＞０，ｙ２＞０．依题意知■＋ｙ１２＝１，ｍｙ１＝ｘ１＋１?圯（ｍ２＋２）ｙ１２－２ｍｙ１－１＝０?圯ｙ１＝■． ………２分

∴ ＡＦ１＝■＝■＝■×■＝■． ①

同理，ＢＦ２＝■． ②

由①②，得ＡＦ１－ＢＦ２＝■．解■＝■得ｍ２＝２． ………５分

∵注意到ｍ＞０，∴ｍ＝■， ∴直线ＡＦ１的斜率为■＝■，又∵Ｆ１（－１，０），∴直线ＡＦ１的方程为ｙ＋１＝■ｘ，即ｘ－■ｙ－■＝０． ………７分

（Ⅱ）证明：∵ＡＦ１∥ＢＦ２，∴■＝■，即■＋１＝■＋１?圯■＝■． 而ＰＢ＋ＰＦ１＝ＢＦ１，∴ＰＦ１＝■ＢＦ１． …９分

∵点Ｂ在椭圆上知，由椭圆的定义ＢＦ１＋ＢＦ２＝２■，∴ＰＦ１＝■（２■－ＢＦ２）．

同理，ＢＦ２＝■（２■－ＡＦ１）．………１１分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝■（２■－ＢＦ２）＋■（２■－■１）＝２■－■．

由①②，得■１＋ＢＦ２＝■，■１·ＢＦ２＝■， ……１３分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝２■－■＝■■，∴ＰＦ１＋ＰＦ２是定值． ……１４分

２１． 【命题立意】本题为改编题，在上海市杨浦中学的一道模拟试题的基础上引入逻辑创新元素改编而成，考查考生等差数列、等比数列的概念及基本运算，数列的递推关系，考生的创新能力，体现函数思想、分类讨论思想，定位为难题，

【解析】（Ⅰ）由数列｛ａｎ｝是周期为３的周期数列，ａｎ＋３＝ａｎ，

依题意ａｎ＋２＝?姿ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝?姿ａｎ＋２－ａｎ＋１，……２分

联立得（?姿＋１）（ａｎ＋２－ａｎ＋１）＝０对ｎ∈Ｎ?鄢恒成立，∴?姿＋１＝０，即?姿＝－１． …………………３分

（Ⅱ）当ｎ＝１时，Ｓ１＝ａ１，又４Ｓ１＝（ａ１＋１）２得ａ１＝１． …………４分

当ｎ≥２时，４ａｎ＝４Ｓｎ－４Ｓｎ－１＝（ａｎ＋１）２－（ａｎ－１＋１）２?圯（ａｎ－１）２＝（ａｎ－１＋１）２，

即ａｎ－ａｎ－１＝２或ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２）． …………………………５分

①由ａｎ＞０有ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２），则｛ａｎ｝为等差数列，即ａｎ＝２ｎ－１，

由于对任意的ｎ都有ａｎ＋ｍ≠ａｎ，所以｛ａｎ｝不是周期数列

……………６分

②由ａｎａｎ＋１＜０有ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２），数列｛ａｎ｝为公比－１为等比数列，即ａｎ＝（－１）ｎ－１，即ａｎ＋２＝ａｎ对任意ｎ∈Ｎ?鄢都成立，

即当ａｎａｎ＋１＜０时｛ａｎ｝是周期为２的周期数列． …………８分

（Ⅲ）假设存在ｐ，ｑ，满足题设．

于是ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝－ａｎ＋２－ａｎ＋１?圯ａｎ＋３＝ａｎ，又ｂｎ＝ａｎ＋１则ｂｎ＋３＝ｂｎ，

所以｛ｂｎ｝是周期为３的周期数列，所以｛ｂｎ｝的前３项分别为２，３，－２，………１０分

则Ｓｎ＝ｎ（ｎ＝３ｋ），ｎ＋１（ｎ＝３ｋ－２）ｎ＋３（ｎ＝３ｋ－１），ｋ∈Ｎ?鄢………………１２分

当ｎ＝３ｋ时，■＝１；

当ｎ＝３ｋ－２时，■＝１＋■?圯１＜■≤２；

当ｎ＝３ｋ－１时，■＝１＋■?圯１＜■≤■．

综上１≤■≤■，……………１３分

为使ｐ≤■≤ｑ恒成立，只要ｐ≤１，ｑ≥■即可，

综上，假设存在ｐ，ｑ，满足题设ｐ≤１，ｑ≥■．………………１４分

（本试题由南雄市第一中学数学组涂天明、黄学波老师拟制）

责任编校 徐国坚

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综上：当ａ≤０时，函数ｆ（ｘ）无极值； 当ａ＞０时，函数

ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处取得极小值ａ－ａｌｎａ，无极大值． ………１４分

１９．【命题立意】本题为原创题，考查了空间几何体的形状，空间线面、面面的位置关系及二面角、线面角的概念及计算，要求考生有一定的空间想象能力、推理论证能力，定位为中等题．

【解析】（Ⅰ）矩形ＢＤＥＦ中，ＦＢ∥ＥＤ，………１分

ＦＢ?埭平面ＡＥＤ，ＥＤ?奂平面ＡＥＤ，ＦＢ∥平面ＡＥＤ，…２分

同理ＢＣ∥平面ＡＥＤ，………３分

又∵ＦＢ∩ＢＣ＝Ｂ，∴平面ＦＢＣ∥平面ＥＤＡ．………４分

故ＦＣ∥平面ＡＥＤ………５分

（Ⅱ）取ＥＦ，ＢＤ的中点Ｍ，Ｎ．由于ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，

所以ＡＭ⊥ＥＦ，ＣＭ⊥ＥＦ，∠ＡＭＣ就是二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的平面角………８分

当二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ为直二面角时，ＭＮ＝ＡＮ＝■ＢＤ，即ｋ＝■．…１０分

（Ⅲ）解法１（几何方法）：由（Ⅱ）ＣＭ⊥平面ＡＥＦ，欲求直线ＢＣ与平面ＡＥＦ所成的角，先求ＢＣ与ＭＣ所成的角． ………１２分

连结ＢＭ，设ＢＣ＝２．则在△ＭＢＣ中，ＣＭ＝■ＭＮ＝■·■＝■，ＭＢ＝２，用余弦定理知ｃｏｓ∠ＭＣＢ＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?兹＝■．…１４分

（Ⅲ）解法２（向量方法）：以Ｄ为原点，ＤＣ为ｙ轴、ＤＥ为ｚ轴建立如图的直角坐标系，设ＡＤ＝２，则Ｍ（■，■，■），

Ｃ（０，２，０），平面ＡＥＦ的法向量■＝■＝（－■，■，－■）， ………１２分

■＝■＝（■，－１，０）．ｃｏｓ＜■，■＞＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?兹＝■． …１４分

２０． 【命题立意】本题为改编题，在一道江苏省高考题的基础上重组改编而成，考生更容易上手，运算量有所减轻，主要考查考生直线的方程、直线与椭圆的位置关系，用方程研究图形的解题策略，体现函数思想、数形结合思想，第（Ⅰ））小题定位为中等题，第（Ⅱ）小题定位为难题．

【解析】解：（Ⅰ） ∵椭圆的方程为■＋ｙ２＝１，∴其焦点坐标分别为Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），又∵ＡＦ１∥ＢＦ２，设■１、ＢＦ２的方程分别为ｍｙ＝ｘ＋１，ｍｙ＝ｘ－１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１＞０，ｙ２＞０．依题意知■＋ｙ１２＝１，ｍｙ１＝ｘ１＋１?圯（ｍ２＋２）ｙ１２－２ｍｙ１－１＝０?圯ｙ１＝■． ………２分

∴ ＡＦ１＝■＝■＝■×■＝■． ①

同理，ＢＦ２＝■． ②

由①②，得ＡＦ１－ＢＦ２＝■．解■＝■得ｍ２＝２． ………５分

∵注意到ｍ＞０，∴ｍ＝■， ∴直线ＡＦ１的斜率为■＝■，又∵Ｆ１（－１，０），∴直线ＡＦ１的方程为ｙ＋１＝■ｘ，即ｘ－■ｙ－■＝０． ………７分

（Ⅱ）证明：∵ＡＦ１∥ＢＦ２，∴■＝■，即■＋１＝■＋１?圯■＝■． 而ＰＢ＋ＰＦ１＝ＢＦ１，∴ＰＦ１＝■ＢＦ１． …９分

∵点Ｂ在椭圆上知，由椭圆的定义ＢＦ１＋ＢＦ２＝２■，∴ＰＦ１＝■（２■－ＢＦ２）．

同理，ＢＦ２＝■（２■－ＡＦ１）．………１１分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝■（２■－ＢＦ２）＋■（２■－■１）＝２■－■．

由①②，得■１＋ＢＦ２＝■，■１·ＢＦ２＝■， ……１３分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝２■－■＝■■，∴ＰＦ１＋ＰＦ２是定值． ……１４分

２１． 【命题立意】本题为改编题，在上海市杨浦中学的一道模拟试题的基础上引入逻辑创新元素改编而成，考查考生等差数列、等比数列的概念及基本运算，数列的递推关系，考生的创新能力，体现函数思想、分类讨论思想，定位为难题，

【解析】（Ⅰ）由数列｛ａｎ｝是周期为３的周期数列，ａｎ＋３＝ａｎ，

依题意ａｎ＋２＝?姿ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝?姿ａｎ＋２－ａｎ＋１，……２分

联立得（?姿＋１）（ａｎ＋２－ａｎ＋１）＝０对ｎ∈Ｎ?鄢恒成立，∴?姿＋１＝０，即?姿＝－１． …………………３分

（Ⅱ）当ｎ＝１时，Ｓ１＝ａ１，又４Ｓ１＝（ａ１＋１）２得ａ１＝１． …………４分

当ｎ≥２时，４ａｎ＝４Ｓｎ－４Ｓｎ－１＝（ａｎ＋１）２－（ａｎ－１＋１）２?圯（ａｎ－１）２＝（ａｎ－１＋１）２，

即ａｎ－ａｎ－１＝２或ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２）． …………………………５分

①由ａｎ＞０有ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２），则｛ａｎ｝为等差数列，即ａｎ＝２ｎ－１，

由于对任意的ｎ都有ａｎ＋ｍ≠ａｎ，所以｛ａｎ｝不是周期数列

……………６分

②由ａｎａｎ＋１＜０有ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２），数列｛ａｎ｝为公比－１为等比数列，即ａｎ＝（－１）ｎ－１，即ａｎ＋２＝ａｎ对任意ｎ∈Ｎ?鄢都成立，

即当ａｎａｎ＋１＜０时｛ａｎ｝是周期为２的周期数列． …………８分

（Ⅲ）假设存在ｐ，ｑ，满足题设．

于是ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝－ａｎ＋２－ａｎ＋１?圯ａｎ＋３＝ａｎ，又ｂｎ＝ａｎ＋１则ｂｎ＋３＝ｂｎ，

所以｛ｂｎ｝是周期为３的周期数列，所以｛ｂｎ｝的前３项分别为２，３，－２，………１０分

则Ｓｎ＝ｎ（ｎ＝３ｋ），ｎ＋１（ｎ＝３ｋ－２）ｎ＋３（ｎ＝３ｋ－１），ｋ∈Ｎ?鄢………………１２分

当ｎ＝３ｋ时，■＝１；

当ｎ＝３ｋ－２时，■＝１＋■?圯１＜■≤２；

当ｎ＝３ｋ－１时，■＝１＋■?圯１＜■≤■．

综上１≤■≤■，……………１３分

为使ｐ≤■≤ｑ恒成立，只要ｐ≤１，ｑ≥■即可，

综上，假设存在ｐ，ｑ，满足题设ｐ≤１，ｑ≥■．………………１４分

（本试题由南雄市第一中学数学组涂天明、黄学波老师拟制）

责任编校 徐国坚

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综上：当ａ≤０时，函数ｆ（ｘ）无极值； 当ａ＞０时，函数

ｆ（ｘ）在ｘ＝ａ处取得极小值ａ－ａｌｎａ，无极大值． ………１４分

１９．【命题立意】本题为原创题，考查了空间几何体的形状，空间线面、面面的位置关系及二面角、线面角的概念及计算，要求考生有一定的空间想象能力、推理论证能力，定位为中等题．

【解析】（Ⅰ）矩形ＢＤＥＦ中，ＦＢ∥ＥＤ，………１分

ＦＢ?埭平面ＡＥＤ，ＥＤ?奂平面ＡＥＤ，ＦＢ∥平面ＡＥＤ，…２分

同理ＢＣ∥平面ＡＥＤ，………３分

又∵ＦＢ∩ＢＣ＝Ｂ，∴平面ＦＢＣ∥平面ＥＤＡ．………４分

故ＦＣ∥平面ＡＥＤ………５分

（Ⅱ）取ＥＦ，ＢＤ的中点Ｍ，Ｎ．由于ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，

所以ＡＭ⊥ＥＦ，ＣＭ⊥ＥＦ，∠ＡＭＣ就是二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ的平面角………８分

当二面角Ａ－ＥＦ－Ｃ为直二面角时，ＭＮ＝ＡＮ＝■ＢＤ，即ｋ＝■．…１０分

（Ⅲ）解法１（几何方法）：由（Ⅱ）ＣＭ⊥平面ＡＥＦ，欲求直线ＢＣ与平面ＡＥＦ所成的角，先求ＢＣ与ＭＣ所成的角． ………１２分

连结ＢＭ，设ＢＣ＝２．则在△ＭＢＣ中，ＣＭ＝■ＭＮ＝■·■＝■，ＭＢ＝２，用余弦定理知ｃｏｓ∠ＭＣＢ＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?兹＝■．…１４分

（Ⅲ）解法２（向量方法）：以Ｄ为原点，ＤＣ为ｙ轴、ＤＥ为ｚ轴建立如图的直角坐标系，设ＡＤ＝２，则Ｍ（■，■，■），

Ｃ（０，２，０），平面ＡＥＦ的法向量■＝■＝（－■，■，－■）， ………１２分

■＝■＝（■，－１，０）．ｃｏｓ＜■，■＞＝■＝－■．

∴ ｓｉｎ?兹＝■． …１４分

２０． 【命题立意】本题为改编题，在一道江苏省高考题的基础上重组改编而成，考生更容易上手，运算量有所减轻，主要考查考生直线的方程、直线与椭圆的位置关系，用方程研究图形的解题策略，体现函数思想、数形结合思想，第（Ⅰ））小题定位为中等题，第（Ⅱ）小题定位为难题．

【解析】解：（Ⅰ） ∵椭圆的方程为■＋ｙ２＝１，∴其焦点坐标分别为Ｆ１（－１，０），Ｆ２（１，０），又∵ＡＦ１∥ＢＦ２，设■１、ＢＦ２的方程分别为ｍｙ＝ｘ＋１，ｍｙ＝ｘ－１，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），ｙ１＞０，ｙ２＞０．依题意知■＋ｙ１２＝１，ｍｙ１＝ｘ１＋１?圯（ｍ２＋２）ｙ１２－２ｍｙ１－１＝０?圯ｙ１＝■． ………２分

∴ ＡＦ１＝■＝■＝■×■＝■． ①

同理，ＢＦ２＝■． ②

由①②，得ＡＦ１－ＢＦ２＝■．解■＝■得ｍ２＝２． ………５分

∵注意到ｍ＞０，∴ｍ＝■， ∴直线ＡＦ１的斜率为■＝■，又∵Ｆ１（－１，０），∴直线ＡＦ１的方程为ｙ＋１＝■ｘ，即ｘ－■ｙ－■＝０． ………７分

（Ⅱ）证明：∵ＡＦ１∥ＢＦ２，∴■＝■，即■＋１＝■＋１?圯■＝■． 而ＰＢ＋ＰＦ１＝ＢＦ１，∴ＰＦ１＝■ＢＦ１． …９分

∵点Ｂ在椭圆上知，由椭圆的定义ＢＦ１＋ＢＦ２＝２■，∴ＰＦ１＝■（２■－ＢＦ２）．

同理，ＢＦ２＝■（２■－ＡＦ１）．………１１分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝■（２■－ＢＦ２）＋■（２■－■１）＝２■－■．

由①②，得■１＋ＢＦ２＝■，■１·ＢＦ２＝■， ……１３分

∴ ＰＦ１＋ＰＦ２＝２■－■＝■■，∴ＰＦ１＋ＰＦ２是定值． ……１４分

２１． 【命题立意】本题为改编题，在上海市杨浦中学的一道模拟试题的基础上引入逻辑创新元素改编而成，考查考生等差数列、等比数列的概念及基本运算，数列的递推关系，考生的创新能力，体现函数思想、分类讨论思想，定位为难题，

【解析】（Ⅰ）由数列｛ａｎ｝是周期为３的周期数列，ａｎ＋３＝ａｎ，

依题意ａｎ＋２＝?姿ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝?姿ａｎ＋２－ａｎ＋１，……２分

联立得（?姿＋１）（ａｎ＋２－ａｎ＋１）＝０对ｎ∈Ｎ?鄢恒成立，∴?姿＋１＝０，即?姿＝－１． …………………３分

（Ⅱ）当ｎ＝１时，Ｓ１＝ａ１，又４Ｓ１＝（ａ１＋１）２得ａ１＝１． …………４分

当ｎ≥２时，４ａｎ＝４Ｓｎ－４Ｓｎ－１＝（ａｎ＋１）２－（ａｎ－１＋１）２?圯（ａｎ－１）２＝（ａｎ－１＋１）２，

即ａｎ－ａｎ－１＝２或ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２）． …………………………５分

①由ａｎ＞０有ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ≥２），则｛ａｎ｝为等差数列，即ａｎ＝２ｎ－１，

由于对任意的ｎ都有ａｎ＋ｍ≠ａｎ，所以｛ａｎ｝不是周期数列

……………６分

②由ａｎａｎ＋１＜０有ａｎ＝－ａｎ－１（ｎ≥２），数列｛ａｎ｝为公比－１为等比数列，即ａｎ＝（－１）ｎ－１，即ａｎ＋２＝ａｎ对任意ｎ∈Ｎ?鄢都成立，

即当ａｎａｎ＋１＜０时｛ａｎ｝是周期为２的周期数列． …………８分

（Ⅲ）假设存在ｐ，ｑ，满足题设．

于是ａｎ＋２＝－ａｎ＋１－ａｎ，ａｎ＋３＝－ａｎ＋２－ａｎ＋１?圯ａｎ＋３＝ａｎ，又ｂｎ＝ａｎ＋１则ｂｎ＋３＝ｂｎ，

所以｛ｂｎ｝是周期为３的周期数列，所以｛ｂｎ｝的前３项分别为２，３，－２，………１０分

则Ｓｎ＝ｎ（ｎ＝３ｋ），ｎ＋１（ｎ＝３ｋ－２）ｎ＋３（ｎ＝３ｋ－１），ｋ∈Ｎ?鄢………………１２分

当ｎ＝３ｋ时，■＝１；

当ｎ＝３ｋ－２时，■＝１＋■?圯１＜■≤２；

当ｎ＝３ｋ－１时，■＝１＋■?圯１＜■≤■．

综上１≤■≤■，……………１３分

为使ｐ≤■≤ｑ恒成立，只要ｐ≤１，ｑ≥■即可，

综上，假设存在ｐ，ｑ，满足题设ｐ≤１，ｑ≥■．………………１４分

（本试题由南雄市第一中学数学组涂天明、黄学波老师拟制）

责任编校 徐国坚

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