函数思想在解不等式中的应用

叶昌辉

〓〓对于解不等式讨论最多的是求最值问题、含参数不等式恒成立等问题，实际上求解含参数不等式里包括不少的求最值问题，有不少的数学教学工作者结合实例总结了多种求解方法与技巧.对于含参数的不等式恒成立，确定参数取值范围的这一类问题.这类问题涉及的知识面较广，综合性较强，同时数学语言比较抽象，利用等价转化、函数思想的数学思想方法，把所求问题转化为函数问题，再运用函数的性质求解，既能解决问题又能减少运算量.

〓〓因而，求含参数不等式的恒成立问题时，常根据不等式的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为一次函数问题、二次函数问题、求函数的最值问题.

〓〓一、利用一次函数性质解不等式

〓〓对于一些不等式，我们可以通过变形将其转化为一次函数，然后再运用一次函数的性质求解.一次函数fx=kx+bk≠0的性质fx＞0在［a,b］上恒成立?圳fa＞0fb＞0.

〓〓例：对一切p∈［-2,2］，不等式log22x+plog2x+1＞2log2x+p恒成立，求实数x的取值范围.

〓〓分析：若直接解关于x的不等式，再利用p∈［-2,2］求x的取值范围，显然相当复杂.但仔细观察后，发现通过恒等变后，再利用一次函数性质，问题将得解.

〓〓解：令f(p)=(log2x-1)p+(log2x-1)2，由题意知f(p)＞0，在p∈［-2,2］上恒成立，则有f(-2)=-2log■x-1+log■x-12＞0,f(2)=2log■x-1+log■x-12＞0,?圯log■x＞3或log■x＜-1，?圯x＞8或0＜x＜■,所以，x的取值范围为（0，■）∪(8,+∞).

〓〓本题容易因思维定势常把原不等式视为关于log■x的二次不等式，用分类讨论解答，过程相当繁杂.如果能注意观察log■x与p的关系，结合常量与变量的转化思想，把p变为主元，log■x变为参数，则原不等式可转化为关于p的一元一次不等式问题，通过函数思想，构造函数f(p)，把问题转化为常规问题，简单易解.

〓〓二、利用二次函数性质解不等式

〓〓例：已知不等式(m2+4m-5)x2-4(m+1)x+3>0对一切实数恒成立，求实数m的取值范围.

〓〓分析：以上不等式恒成立，首先考虑利用不等式恒为正的充要条件，并对二次项系数分类讨论.

〓〓解：（1）当m2+4m-5=0时，解得m=1或m=-5. 显然，m=1时，符合条件；m=-5不符合条件.

〓〓（2）当 m2+4m-5≠0时，由二次函数对一切实数恒为正数的充要条件，得

m2+4m-5>0,?驻=16m-12-12 m2+4m-5<0,解得1

〓〓在本题中往往会忽略二次系数为零的情况，直接当作一元二次不等式来求解，从而导致失解、漏解的情况出现，应引起重视.

〓〓三、利用函数最值解不等式

〓〓通过变形将其转化为求函数最值问题，我们常用的策略和方法有：分离参数法、变更主元法、分类讨论法、二次函数法、数形结合法、函数的单调性法等.

〓〓例：若对于x∈［2，2］，mx2-mx-6+m<0恒成立，求实数m的取值范围.

〓〓解析：若f(x)=mx2-mx-6+m<0，即m(x2-x+1)<6在x∈［2，2］时恒成立.又x∈［2，2］时，x2-x+1∈［■，7］，即x2-x+1>0，所以原不等式等价于m<■恒成立，即m<(■)min .又■≤■≤8， 所以(■)min=■，所以m<■. 所以m的取值范围为（-∞，■）.

〓〓在含参数的不等式恒成立的问题中，若能将所求参数与自变量分离出来,则可以借助于求函数的最值,解出参数的范围.

责任编辑〓罗〓峰