广义Hamilton系统的规范型及其计算

赵晓华, 阮永全

(浙江师范大学 数理与信息工程学院,浙江 金华 321004)

0 引 言

广义Hamilton系统的规范型理论是动力系统规范型理论的重要组成部分.规范型理论是研究动力系统在平衡点或周期解附近的动力学性质时最常用的方法之一，其核心思想就是在平衡点或周期解某一邻域内，通过近似恒同变换将原系统变换为一定意义下的便于分析的简化形式，简化的过程称为系统的规范化过程，简化的结果就是原系统的规范型及相应的近似恒同变换.广义Hamilton系统是经典辛流形上定义的偶数维Hamilton系统的一种推广系统，它的相空间是一个Poisson流形，可以是任意有限维甚至无穷维流形.广义Hamilton系统广泛存在于天体力学、生命科学、离子物理等领域中，在动力系统理论和应用研究中具有重要地位[1-2].

规范型(Normal Form)理论自19世纪末Poincaré和Dulac提出以来，一直受到非线性科学研究工作者的重视和青睐，被看作是定性和定量研究非线性系统的稳定性、寻找周期解和不变环面等不变流形、近似解计算等方面的有力工具.有关它的发展历史可以参见文献[3-6],关于它的最新研究进展可见文献[7-9].

关于一般向量场和经典Hamilton系统的规范型及其计算问题国内外已有很多研究成果，并在大量的实际问题或动力系统模型研究中得以应用[5-6,10-16].但是,针对广义Hamilton系统的规范型研究，国内外学术界的研究相当少[17]，应用的实际例子也未见报道.

对于广义Hamilton系统

▽H(x),

它的右端由两部分构成：结构矩阵J(x)；Hamilton函数H(x)的梯度向量.因此,在研究广义Hamilton系统的规范型时通常有如下3种思路:

1)对结构矩阵J(x)进行化简，也就是对Poisson结构进行化简，这也就是通常所说的Poisson结构线性化，达到对广义Hamilton系统的规范化；

2)保持结构矩阵J(x)不变，通过保结构变换对Hamilton函数H(x)进行化简，从而达到化简系统的目的；

3)同时对结构矩阵J(x)和Hamilton函数H(x)化简,但对Poisson 结构有一些特殊的要求,如解析性、光滑性等.

本文采用文献[13,16]中的方法，利用Lie变换和广义Hamilton系统相流保持Poisson结构不变的性质，将广义Hamilton系统的化简问题转化为用保结构变换化简Hamilton函数的问题，获得了相应的规范型定义和具体的计算方法.最后，为阐明本文所得理论结果的应用，研究了一类具有与Lie代数U(1,1)同构Lie-Poisson结构的三维广义Hamilton系统的规范型，得到了这个系统的二阶规范型及相应的保结构变换生成函数.

1 广义Hamilton系统与Lie变换

广义Hamilton系统是在Poisson流形上定义的动力系统.

设Mn是一个n维C∞光滑流形,在光滑函数空间C∞(Mn,R)上定义了一个括号运算{·,·},使每2个函数F,G∈C∞(M)确定C∞(M)中的第3个函数{F,G},并满足以下条件：

1)反对称性：{F,G}=-{G,F};

2)双线性：{αF+βG,K}=α{F,K}+β{G,K},其中,α,β为常数;

3)求导法则——Leibnitz法则：{F·G,K}=F·{G,K}+G·{F,K};

4)Jacobi恒等式：{F,{G,K}}+{G,{K,F}}+{K,{F,G}}=0.

则称对子(M,{·,·})为Poisson流形，括号结构{·,·}为其Poisson结构.

若Poisson流形M的局部坐标为(x1,x2,…,xn),则Poisson结构可以由一个反对称函数矩阵确定，这个矩阵叫作结构矩阵J(x).其元素由Jij(x)={xi,xj} 定义，常称其为结构元素.

根据Poisson括号定义中满足的4条性质,对C∞(M)中用局部坐标x表示的函数F,G,{F,G}的计算公式为

(1)

且n×n结构矩阵J(x)=(Jij(x))(x=(x1,x2,…,xn)T)的结构元素应该满足如下2条性质：

(2)

(3)

将Poisson流形(M,{·,·})上的光滑函数 H:M→R所确定的广义Hamilton向量场记为ξH，定义为：对一切F∈C∞(M),

ξH(F)={F,H}.(4)

称函数H为该向量场的Hamilton函数.

在M的局部坐标x下，广义Hamilton向量场ξH所对应的广义Hamilton系统可表示为

(5)

也可以表示为紧凑的向量形式

▽H(x).(6)

若记χH(M)为Poisson流形M上全体广义Hamilton向量场组成的集合，则下面的命题1表明:集合χH(M)在通常的向量场Lie括号[ξ,η]=ξη-ηξ下是封闭的，从而构成一个Lie代数.

命题1 假设M是一个Poisson流形,F,G∈C∞(M)是流形上的2个光滑函数，ξF,ξG是它们所对应的广义Hamilton向量场.那么Poisson括号确定的广义Hamilton向量场ξ{F,G}满足下面的关系:

ξ{F,G}=-[ξF,ξG]=[ξG,ξF].(7)

若Poisson流形M的Poisson结构具有常数秩，或者在M的某个具有常数秩的开子流形上，则结构矩阵在适当的坐标下具有非常简洁的形式.这就是著名的达布(Darboux)定理的结论.

定理1(Darboux定理) 设(M,{,})是n维Poisson流形，若在x0∈M的一个邻域上，Poisson结构矩阵J(x)的秩处处为常数2k≤n,则存在x0附近的典则局部坐标(p,q,z)=(p1,p2,…,pk,q1,q2,…,qk,z1,z2,…,zs),2k+s=n,使得Poisson括号在这组坐标下具有如下形式:

(8)

显然,当定理1中的s=0时,括号结构就对应于经典的标准Poisson结构,而相应定义的Hamilton系统就是辛流形上的经典Hamilton系统.

定义1 设函数C(x)∈C∞(M)不恒等于常数，且对任意函数F∈C∞(M)满足

{C,F}=0,(9)

则称函数C(x)为(广义)Poisson括号的一个Casimir函数.

关于Casimir函数存在性的详细证明可参见文献[2].显然，对于经典Poisson括号是不存在Casimir函数的，因为经典Poisson 括号满足非退化条件.对于取定的Poisson流形结构,根据定义立刻可以推出结论：Poisson流形如果存在非平凡的Casimir函数,那么它必是这个Poisson流形上任何一个广义Hamilton系统的运动不变量.

Poisson流形具有特殊的叶层结构,它的每一个叶层都是由Casimir函数的水平集来确定的.因为具有这种特殊的叶层结构，所以在研究广义Hamilton系统的动力学性质时，可以将系统限制到每一个叶层上，使得系统的相空间维数降低，便于我们研究系统的动力学性质.

对于光滑微分同胚映射φ:M→M,若保持Poisson括号结构形式不变，即

{F∘φ,G∘φ}={F,G}∘φ, ∀F,G∈C∞(M),(10)

则称变换φ为广义典则变换(也称保结构变换).

在局部坐标x=(x1,x2,…,xn)T下,不难验证微分同胚映射φ:M→M是保结构变换的充要条件为

(11)

(12)

式(12)对t求导可得

(13)

(14)

(15)

式(15)中,括号{·,·}是式(1)中定义的广义Poisson括号.

2 规范型及其计算

下面总假设式(1)中定义的Poisson括号是Lie-Poisson括号,即在x局部坐标下,结构矩阵J(x)的元素均为x的齐次线性函数，

(16)

(17)

式(17)中,Hk(x)是x的k次齐次多项式函数.若Wk是一个k次齐次多项式函数,则根据式(15),由它产生的保结构变换x=exp(1ξWk)y就将式(17)中的Hamilton函数H化为

(18)

(19)

{H1,Wk}(y)=-Hk(y).(20)

为了讨论方程(19)和(20)的齐次多项式解的求解,定义伴随算子

adkH1={H1,·}:Fk(M)→Fk(M).(21)

式(21)中,Fk(M)表示Poisson流形M上定义的k 次齐次多项式函数线性空间.显然，算子adkH1完全由H1决定,并且是一个线性算子.

(22)

可以证明：如果广义Hamilton向量场ξH1的半单和幂零部分也是广义Hamilton向量场,分别为ξH1s和ξH1n,即H1=H1s+H1n,那么下面的半单幂零分解等式成立：

(23)

假设半单算子adkH1s(也是算子adkH1)的全体不同特征值的集合记为Λk,则任意k次齐次多项式Hk均可分解为

(24)

式(24)中,Hk,α是半单算子adkH1s的特征值α所对应的多项式特征函数,即满足

adkH1s(Hk,α)=αHk,α.(25)

类似于文献[13,16]中的方法可证，对∀α∈Λk{0},若定义Wk,α为

(26)

且取k次齐次多项式函数Wk为

(27)

则

(28)

因此,方程(19)变为

(29)

换句话说,由这样的Hamilton函数Wk定义的变换exp(ξWk),可以将Hamilton函数H中k次齐次多项式中的Hk,α(α≠0)项全部消去.余下的项Hk,0都在算子adkH1s的核空间Ker(adkH1s)中.

综上所述,可以得到以下定理：

(30)

3 应用实例

为了说明上一节规范型计算的方法，考虑具有与Lie代数U(1,1)[18]同构的Lie-Poisson结构的三维Poisson流形R3上的广义Hamilton系统的规范型.

按照文献[18],在R3的坐标x=(x1,x2,x3)T下,与Lie代数U(1,1)同构的Lie-Poisson结构的矩阵为

(31)

H(x)=H1(x)+H2(x)+H3(x)+….(32)

式(32)中:Hi(x)(i≥1)为i次齐次多项式;H1(x)=a1x1+a2x2+a3x3.

在以上记号下,H确定的三维广义Hamilton向量场ξH所对应的广义Hamilton系统为

▽H(x).(33)

其线性向量场ξH1为

▽H1(x),(34)

即

(35)

通过如上的定义可以得到ξH1=Ax.通过简单计算可知,矩阵A的特征值为

(36)

(37)

从而可得到算子ad2H1={H1,·}相对于这组基的变换矩阵

(38)

当a1≠0时，容易求得矩阵B的特征值和对应特征函数为：

(39)

式(39)中,常数cs(s=1,2,…,6)定义为

(40)

由于此时变换ad2H1本身就是半单的,所以可利用式(29)得到系统(33)的Hamilton函数的二阶规范型

(41)

注意,h5刚好就是Poisson结构(31)的Casimir函数,从而由Casimir函数的定义知Hamilton函数H最终的二阶规范型进一步简化为

(42)

对于a3≠0和a1=a3=0,a2≠0的情况，重复前面的过程可以得出相应的λi,hi,ci,从而得出相应的规范型和生成函数.更高阶的规范型的计算按照以上方法同理可求.

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