由特殊到一般的探究

● (陕西师范大学数学与信息科学学院 陕西西安 710062)

本文呈现一类三角求值问题的推广探究过程，除体现特殊与一般的数学思想外，还渗透有数形结合、分类讨论、函数与方程等多种数学思想，是进行数学思想方法教学的一个良好载体．

1 特殊问题的解决

有一类熟知的三角求值问题：已知三角形中2个内角的函数值，求第3个内角的函数值．如

分析先弄清题目的条件和结论，然后沟通条件与结论的联系，得出解法．

(1)题目有3个条件：

条件1在△ABC中．由此可知0

(2)题目的结论是求cosC的值．

(3)沟通题目的条件与结论的联系．由cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)，得

cosC=sinAsinB-cosAcosB.(1)

可见，只需由sinA,cosB求出cosA，sinB,便可求出cosC的值．给出以下2种解法：

从而

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

(2)

将式(2)移项，2边平方，整理得关于cosC的二次方程

解得

图1

说明如图1所示，cosC的2个解分别可在△AB1C,△AB2C中求得，由余弦定理可验证其正确．

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

(3)

图2

说明如图2所示，例2也可以在△ABC中用余弦定理求解，在此不再赘述．

从上述求解过程可以看到，由sinA到cosA有2个可能的取值，但这2个值能不能都取到还需要进一步讨论．更一般地，当sinA=m，cosB=n时，cosC是不是有解？有几个解？具体数值是什么？就更加需要抽象的讨论了，这是一个很有探究价值的问题．

2 一般情况的探究

例3在△ABC中，sinA=m，cosB=n(0

下面给出的2种思路都是数形结合并分类讨论，但思路1重在几何，思路2重在代数．

思路1数形结合讨论已知条件中的角．

(1)思路分析.

关键点1确定cosA．

由于A为三角形的内角，对每一个m∈(0,1]，有m=sinA=sin(π-A)，故内角A最多有2个取值，记为A1,A2(如图3，其中B1=B2)，满足

关键点2保证A,B能在同一个三角形内．

由A+B+C=π知，A,B在同一个三角形内的充要条件是0

下面只需讨论A1+B,A2+B与π(平角)的关系，便可确定Ai(其中i=1，2)与B是否在同一个三角形内，以及有几个Ai(其中i=1，2)与B在同一个三角形内．

(2)讨论A1=A2的情况．

图3 图4

(3)讨论A1≠A2的情况．

情况3若A2+B<π，则0

情况4若0

情况5若π≤A1+B，则π≤A1+B

(4)相关结论．

分别把情况1和情况4合并，把情况2和情况5合并，可得：

结论3当A1

思路2代数方法讨论二次方程中的正根．

(1)思路分析．

第1步：构造一个二次方程，求出它的2个实根．

sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,

(4)

(5)

把式(5)，式(6)代入式(4)，得关于t的二次方程

(7)

(8)

所以方程(7)恒有实根(包括等根)，解得

(9)

其中t1≤t2.接下来只需讨论t1,t2有无正根,正根能取到几个，并把正根代入式(5)便可求出cosC．

第2步：对t1,t2取正值的情况分类讨论．

基本思路是对二次方程(7)中t1,t2的表达式作二级分类：先把t1,t2分为相等的根和不等的根，然后再分为正根与非正根，结合题目所给的m,n(可以先讨论m后讨论n)进行讨论，其逻辑结构如下：

(2)讨论t1=t2的情况．

(3)讨论t1≠t2的情况．

若t1≠t2，则由式(8)或式(9)知m≠1，得00，或t1≤0

这时，方程(7)只有1个正根t2>0，对应方程(4)的cosC只有1个解．把式(9)代入式(5)可求得

(4)相关结论．

分别把情况1和情况4合并，把情况2和情况5合并，可得：

图5 图6 图7

如果把已知条件{(m,n)|0

由上面的一般性结论，还可以编拟出各种题目用于不同的场合(略).