数学课就要“教数学”

孙福明

【摘要】 数学教学要抓数学的本质，坚持教逻辑、教思维、教推理、教规范，才能真正培养学生的数学素养。

【关键词】 数学教学；逻辑；思维；推理；规范

中图分类号：633.6文献标识码：A文章编号：1671-0568 （2014）19-0075-05

新课程给高中数学课堂带来了新气象，新的教育理念也给数学课堂带来了很多新的元素，一时间可谓“乱花渐欲迷人眼”，然而随着课程改革的深度推进，广大数学教师们透过一些“伪情境”、“假探究”、“虚活动”，也产生了越来越多的困惑：数学新课程究竟要追求什么？数学课堂教学的形式究竟要为什么本质服务？笔者认为，数学课就要“教数学”，不管课堂教学形式怎么变、元素怎么新，但培养学生讲逻辑、讲思维、讲推理、讲规范乃是数学教学追求的本质，也只有这样才能真正把提高学生的数学素养落到实处。现以不久前执教的 《椭圆的标准方程》 （苏教版）为例，谈谈在设计及教学过程中如何围绕教数学展开教学的。

一、 数学课要教逻辑

逻辑既是数学的基础，又是数学的本质特征之一，数学本身就是内在联系的逻辑整体。数学要教逻辑，必须培养学生按照一定的规则来进行思考、把握事物之间的因果关系的习惯。数学教学要从知识的内在联系着手，防止简单化、孤立化。优秀的引入设计是一节好课的重要环节之一，既能紧扣本节课的主题，不拖泥带水，又能有效勾连学生知识结构中的相关知识，自然不做作，合理不突兀，融情理之中与意料之外于一体。本节课的引入阶段，笔者主要是强调知识之间的本质、逻辑的联系，着重阐述研究方法的合理性与必要性。因此在下面这几个问题上做了长时间的思考：为什么要研究的椭圆的标准方程，能否从数学知识内在联系的角度认识研究该课题的迫切性？义务教育阶段的平面几何知识与高中阶段必修2的解析法思想如何更紧密地结合起来，因为它们的研究对象都是图形？既然是解析几何，那么怎么把数形结合的思想方法作为课堂教学的主旋律？

在反复地学习、思考之后，笔者采用螺旋递进的问题串的形式，从平面几何和解析几何处理图形问题的差异入手，引领学生逐层认识本节课的课题，同时一开场就凸显数形结合的思想。良好的问题既直指数学知识发生过程中的要害，又对学生思维发展起到推动作用。

第一层次预设目的：引进解析法的必要性及优越性。

（课堂实录节选）

师：（展示几何图形：直线l与圆C）提问：如何求圆心C到直线 l 的距离？

生1：用直尺测量。

师：很好，你用的是几何方法。你觉得测量结果准确吗？还有更准确的方法吗？

生2：刚才的方法不够准确。可以用点到直线的距离公式。

师：嗯，你提到点到直线的距离公式，该距离公式要具备什么条件才能使用？

生2：圆心坐标和直线方程。

师：我现在给出的条件中有这些量吗？还需要借助于什么工具才能求出这些量？

生2：平面直角坐标系。

师：很好，我想你刚才提圆心坐标和直线方程时，应该是默认已经建立了曲线和方程之间的对应关系，你看到圆和直线，马上就联想到它们的方程，进而用解析几何中的点到直线的距离公式求圆心到直线的距离。你解决问题的过程正好体现了解析几何的两个基本问题：建立曲线与方程的对应关系，进而用解析几何的知识解决几何问题。确实，用解析几何的方法求得的结果更准确。

利用多媒体，在刚才的图形中给出平面直角坐标系xOy，该坐标系下的圆及直线方程分别为：圆C:(x-1)2+(y-2)2=4，直线l:x-y-3=0

师：我再问你，这个过程体现了数学中的什么思想方法呢？

生2：数形结合的思想，先从形到数，通过坐标系的工具求出圆心坐标及直线方程，后从数到形，利用平面解析几何中的点到直线的距离公式求出圆心C到直线 l 的距离。

师：说得太到位了！华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。

（同时在黑板显眼位置板书罗庚华先生的话，因为整节课都是围绕数形结合思想展开的，所以要把这几句话写下来，既是强调，也是提示学生在后面解决问题时以此为指导思想。）

第二层预设目的：利用数形结合的思想，由数到形说明研究椭圆方程的必然性。

师：我现在把上述坐标系连同曲线放进某个“特殊”空间——该空间有这样一种特殊功能，就是把该坐标平面上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半。设原来的圆C和直线 l 经过这个空间作用后所得曲线分别为C'， l'，求C'， l'的方程，并说明它们分别是什么曲线。

（学生思考、运算一段时间）

生3：我求出它们的方程了，C':(x-1)2+4(y-1)2=4，l':x-2y-3=0

师：那么你知道它们是什么曲线吗？

生3：l'是直线，不知道C'是什么曲线。

师：你是根据什么判断的呢？

生3：因为 l'的方程是二元一次方程，满足直线方程的特征，所以 l'是直线。

师：很好！该同学已经熟练建立了直线与二元一次方程之间的对应关系，由方程特征判断曲线类型，数形结合的思想掌握得相当到位呀！我很佩服！

那么我接着问你，你能否根据C'方程特征来判断曲线C'是什么类型的曲线呢？（明确的问题指向中，蕴含数形结合的思想！）

（学生普遍感到困难）

师：大家可能觉得困难，那么我们一起来判断一下曲线C'是还是圆吗？为什么？

生3：C'肯定不是圆了，因为它对应的方程不满足圆的方程的特征。

师：很好，C'的方程特征不满足我们前面已经学过的曲线方程特征。那么大家想不想知道这种特征的方程所表示的曲线是什么呢？

生（齐声）：想！

（教师演示几何画板）

师：从几何画板演示看，C'对应的曲线似乎是椭圆。既然直线和圆可以通过对应的方程特征来判断，而且利用方程可以方便地解决一些问题，那么自然地，我们应该提出问题：能否根据方程的特征判断椭圆呢？这就是本节课我们要探究的问题：椭圆的方程特征是什么样的？

（教师板书课题）

上面的设计利用问题解决的模式，从几何中的问题出发，由形到数，从几何的方法到代数的方法，代数方法的优越性得到凸显。利用变换，求出变换后的曲线对应的方程，让学生自然而然想到要利用曲线的方程特征来判断曲线类型，进而产生探求椭圆标准方程的迫切性！整个设计顺应数学之间内在的、本质的、必然的联系，同时提升了学生的思维水平，凸显了数形结合的思想方法在培养学生思维能力过程中的重要性。

二、数学课要教思维方式

培养和发展学生的数学思维能力是发展智力、全面培养数学能力的主要途径，也是数学教育的基本目标之一。问题解决的方法、数形结合的思想方法等是培养学生思维方式的重要载体，尤其是问题解决的过程，对培养学生灵活而深刻、敏锐而机智的思维品质有着非常大的锤炼作用，对培养学生的创造性思维能力是大有裨益的。

1. 整节课的设计体现学习圆锥曲线方法的典型性和示范性。

数学的教学不应满足于特殊情况的结果，而是通过类比等方法寻求解决问题的一般办法，探索、研究各种对象的一般规律。本节课内容的重点固然是推导椭圆的标准方程，但倘若仅仅满足于告知学生椭圆标准方程的特征并让学生记忆，显然是不够的，也没有充分发挥本课题的重要价值，这个重要价值就是研究过程方法的示范性。“椭圆的标准方程”是解析法的进一步运用，与推导圆的方程相比，椭圆方程的推导过程更具有典型性，完整展示了解析法求动点轨迹方程的一般步骤；另一方面，研究椭圆标准方程的推导过程具有典型的问题解决的模式，它为后面研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式，提供了思想和方法的保障。因此在教学过程中，笔者有意识地渗透方法论的思想，把研究过程的示范性作为一条线索贯穿整节课，这个线索就是一个问题解决的模式，即围绕“为什么要求椭圆的标准方程——如何求椭圆的标准方程——椭圆方程的简单运用”这样一个典型的问题解决模式，体现椭圆在圆锥曲线同构性中的示范性。

2. 如何建立平面直角坐标系的设计突出观察发现、运算求解、反思与建构等思维过程。如何建立平面直角坐标系是本节课很有教育价值的环节之一，因为这个环节其实涉及到后面推导方程运算的简繁，也涉及到最后得到的方程结果是否最简单，能否最简洁体现该曲线对应的方程特征等。它蕴含了直观感知 （椭圆的对称美）、观察发现 （如何利用椭圆的对称美）、运算求解、反思与建构等思维过程。这样的思维过程是需要也值得花时间的。教师在本环节花费的时间较长，启发的环节较多，其目的在于让学生有更多的时间尝试、品味，激发更多学生的思维参与，激活学生的主体思维，在辨析、比较、讨论等互动活动中，深化学生的思维，不断提高学生的数学思维能力。

教师在教学中还可以增加了不同的建系方式对最后方程形式的评估，有意引导学生建立如图所示的其他坐标系。通过不同坐标系的建立、比较，让学生在感性认识的基础上，深入进行理性思考，进行比较、判断、选择。同时让学生在计算中不断反思坐标系建立的优劣、不断调整化简的思路，其实也是体现计算也是一种推理的思想。在倡导有效课堂教学的理念下，课堂教学既要培养学生的思维发散能力，也要优化学生的思维品质，在发散中深入理性地思考，提高问题及思考问题的质量。教师只有把知识作为过程，作为载体，才能着力培养学生探究能力、思维品质，如果把简单的告知作为教学的最大任务，把知识作为静态的结论传授给学生，显然不利于学生数学素养的提高。

三、数学课要教推理

数学讲究的是严谨，严谨的要求之一就是数学的表达要确切，如结论的正确性需要靠逻辑的演绎证明，严密的推理正是学生思维的体操，是学生思维活动中的对思维要求最高的活动形式之一，严谨有理、落笔有据的推理既会加深对数学对象本质的认识，也同样会触动并完善学生自身的认知结构，学生长期耳濡目染地接受严密推理的熏陶，思维品质才能不断提升，上新台阶，也才能不断培养学生的理性精神。正如爱因斯坦所说：“推理的这种可赞叹的胜利，使人类的理智获得了为取得以后成就所必需的信心。”本节课在化简推导椭圆方程过程中，出现了可能导致不等价的运算“平方”，进而会引起曲线与方程的纯粹性与完备性的话题，新课标对这个话题采取回避的态度，苏教版教材中亦没有提及，但从数学课程的性质来说，这个话题决不能含糊带过，因此关于椭圆方程的纯粹性与完备性问题需要通过演绎推理来完成，笔者是这样设计的：

师：（展示PPT）我们一起回顾刚才推导椭圆方程的过程，这个过程包含了很多的化简技术手段，这个化简过程等价吗？或者说最后所求的方程就是开始时的等式吗？

(x+c)2+y2+ (x-c)2+y2=2a

移项并平方：

(x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2①

((x+c)2+y2)2=[2a-(x-c)2+y2]2②

整理：

a(x-c)2+y2=a2-cx③

再平方：

[a(x-c)2+y2]2=(a2-cx)2 ④

再整理：

(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) （下略）

生4：第一次平方前后不等价，即等式①与等式②不等价，下面这个等式平方后也可以得到等式②：

(x+c)2+y2=[2a-(x-c)2+y2]⑤

师：发现得好！真是火眼金睛呀！

生5 （迫不及待举手）：老师，等式⑤不可能成立，我是用几何方法判断的，这个等式其实就是PF1-PF2=2a，但利用三角形中边的不等关系，可以得到PF1-PF2≤2c＜2a，所以PF1-PF2=2a不可能成立。

生6：老师，我用代数方法也可以判断，因为｜x｜≤a，｜y｜≤b，从而｜x-c｜≤a-c＜a，｜y｜≤b＜a，所以 (x-c)2+y2＜a2+a2=2a＜2a，故等式⑤不可能成立！

师：两位同学说得太好了！他们分别用形和数的知识证明了等式⑤不可能成立，这一方面表明大家对数学结合的思想有深刻认识和自觉运用的意识，另一方面也说明我们学习数学过程中，要学会用推理证明的方式证明我们的观点。接下来，同学们能用类似的思想方法解决第二次平方会产生的问题吗？即等式③与等式④等价吗？

生7：我仿照同学4的想法，发现下面等式a(x-c)2+y2=-(a2-cx) ⑥，平方时也会得到等式④。

生8：我用有界性来判断这个等式不可能成立：由-+-=1(a＞b＞0)知，-a≤x≤a，从而cx≤cx≤a2，a2-cx＞0，故等式两边符号相异，等式不可能不成立！

师：很好！同学8利用不等式知识证明等式⑥不可能成立，有没有同学用几何方法来证明呢？

生9：因为左边的无理式可以表示两点间的距离，设法使得右边也与距离产生联系，所以把这个等式变形为(x-c)2+y2=-(a--x)，即(x-c)2+y2=-(x--)⑦

然后在坐标系中作出直线l:x=-

如果点P在直线 l 的左侧，此时x＜-，方程⑦右边＜0，方程⑦不可能成立；

如果点P在直线 l 的右侧，如图，作PQ⊥l，Q为垂足，则PQ=x--，则该等式的几何意义为PF2=-PQ，因为PF2＞PQ，0＜-＜1，所以方程⑦无解，即这样的点P根本不存在。

师：很好，这位同学利用构造的方法完成了几何思路的证明。完成了上面这个过程，结合前面的推导过程，我们才可以说满足条件的点P的坐标都是该方程的解，同时以该方程的解(x，y)为坐标点都在椭圆上，从而最终才能正确完成本节课的任务，那就是我们可以放心大胆地说焦点在x轴上的椭圆的标准方程是-+-=1(a＞b＞0)。数与形达到了完美的结合！（既是呼应引入，也是强化数学思想的主旋律！）

推理论证既是数学的基本思考方式，也是学习数学的基本功。教师在教学中需要有意识地对学生进行指导和训练。

四、数学课要教学生规范表达

课程标准明确提出，要培养和发展学生的数学表达和交流能力。学生在课堂中主体表现之一就是有更多的表达个体思维结果的机会。由于学生的认知是个不断成熟的过程，学生对数学概念的认识也是个由粗糙到精致的不断发展的过程，因此学生刚开始对数学的认识表述可能是自觉的、语言是生活化的，这就需要教师启发、培养学生用数学化语言交流的习惯。同时在不断纠正学生准确使用数学语言的过程中，也是在帮助学生思维精确化。

表达也是师生、生生之间交流的需要，学生在交流的过程中，可以更好地理解和使用数学语言和符号，教师有效地组织，可以强化和优化学生的思维，同时通过思考他人的想法和策略来丰富和扩展自己的知识和思维。交流其实就是同学间相互交换思维方式，借鉴同学的长处弥补自己的不足。教师在课堂上组织名副其实的互动和交流，鼓励讨论和各种观点的真诚交锋，使学生对所学知识有自己的认识和思考，这是发展思维的最好途径。

总之，数学教学要真正把培养学生数学素养落到实处，就必须坚持教逻辑、教思维、教推理、教规范，通过教逻辑提高学生学好数学的基本素养，通过教思维来发展学生的智力，全面提高学生的能力，通过教数学推理培养学生说理、批判、置疑、求真求实的理性思维和理性精神，通过教规范使学生具有表达清晰、思考有条理等理性思维方式。