一类多线性分数次积分交换子在广义 Morrey 空间上的有界性

周 疆，张超楠

(新疆大学数学与系统科学学院,新疆 乌鲁木齐 830046)

1 引言及主要结果

设m,n∈, 0<α

(1)

作为经典Riesz位势的多线性推广, 式(1)所定义的算子已被广泛地研究, 可参看文献 [1-6] 及所引文献.

一个局部可积函数b属于 BMO(n)空间, 如果

对于β>0, 齐次Lipschitz 函数空间 Lipβ(n) 定义为

(2)

其中：m∈,b=(b1,…,bm)为一族局部可积函数, 且

(3)

定理1 设ωj:n×+→+的正则函数,m∈,且若是Lp1×…×Lpm→Lp有界的,bj∈Lipβ(n),则是Lp1,ω1×…×Lpm,ωm→Lp,ω有界的, 即存在常数C, 使得

2 基本引理

首先, 介绍一些将要用到的定义和引理.

定义1[10]设正则函数ω:n×+→+, 1

其中:B(x,r)表示以点x为中心且边长为r的球体, 则称函数f属于广义 Morrey 空间.

因此广义的 Morrey 空间是经典 Morrey 空间和 Lebesgue 空间的推广.

以下引理在本文证明中是必要的.

引理1[8]设Q*⊆Q,b(x)∈Lloc(n), 则存在常数C, 使得

|bQ-bQ*|≤C‖b‖Lipβ(n)|Q|β/n.

引理2[8]对于 0<β<1,1≤p<∞, 有

3 定理的证明

Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ+Ⅳ.

C(‖b1‖Lipβ+‖b2‖Lipβ)‖f1‖Lp1,ω1‖f2‖Lp2,ω2

对于Ⅱ, 进行分解得:

|Ⅱ|≤|(b1(x)-m2B(b1))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+

|(b2(x)-m2B(b2))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+|Iα,2((b1(y)-m2B(b1))f1χ(2B)c,f2χ2B)(x)|+

|Iα,2(f1χ(2B)c,(b2(y)-m2B(b2))f2χ2B)(x)|:=Ⅱ1+Ⅱ2+Ⅱ3+Ⅱ4.

对于Ⅱ1,x∈B,y1∈(2B)c,y2∈2B, 有|(x-y1,x-y2)|～|x-y1|+|x-y2|～|x-y1|, 根据 Hölder 不等式, 得

类似于Ⅱ1的估计, 对于Ⅱ2, 有

对于Ⅱ3, 由引理1,引理2及Hölder 不等式, 得

类似于Ⅱ3的估计, 对于Ⅱ4, 有

综合以上的估计, 有

同样, 对于Ⅲ, 有

下面证明对Ⅳ也有同样的估计, 首先对Ⅳ 进行如下分解:

|Ⅳ|≤|(b1(x)-m2B(b1))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+

|(b2(x)-m2B(b2))Iα,2(f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+|Iα,2((b1(y)-m2B(b1))f1χ(2B)c,f2χ(2B)c)(x)|+

|Iα,2(f1χ(2B)c,(b2(y)-m2B(b2))f2χ(2B)c)(x)|:=Ⅳ1+Ⅳ2+Ⅳ3+Ⅳ4.

对于Ⅳ1,x∈B,y1∈(2B)c,y2∈(2B)c, 有 |x-y1|～|x-y2|, 根据Hölder 不等式, 得

同理可得:

类似的证明方法, 也有

以及

结合上面对Ⅳ1,Ⅳ2,Ⅳ3,Ⅳ4的估计, 有

综上所述, 得

定理证明完毕.

参考文献:

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[8]Paluszyński M. Characterization of the Besov spaces via the commutator operators of Coifman, Rochberg and Weiss [J]. Indiana Univ Math J, 1995, 44(1):1-17.

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