一类燃烧非牛顿流强解的存在唯一性

谢嘉宁，袁洪君

(1.东北财经大学数学与数量经济学院，辽宁 大连 116025；2.吉林大学数学学院，吉林 长春 130012)

一类燃烧非牛顿流强解的存在唯一性

谢嘉宁1，袁洪君2

(1.东北财经大学数学与数量经济学院，辽宁 大连 116025；2.吉林大学数学学院，吉林 长春 130012)

讨论了一类带有真空的燃烧非牛顿流的初边值问题，克服了非线性、奇异性以及真空出现等困难，得到了其局部强解的存在唯一性.

非牛顿流；燃烧；存在唯一性；真空

1 主要结果

本文着重探索燃烧非牛顿流体力学的数学理论.根据质量守恒定律，动量守恒定律和未反应流体的质量平衡规律，其数学模型

(1.1)

具有初边值条件

(1.2)

研究一般牛顿流体的文献已很多，对于可压缩燃烧牛顿流体的研究也取得了丰硕的成果.在无真空情形下，文献[1]研究一维不连续边值的模型得到了全局弱解.文献[2-3]也涉及了这个模型的测度解问题.文献[4]研究了一维自吸引粘性放射反应模型，得到了全局古典解的存在唯一性等.近来对于有真空的燃烧牛顿流体情形，Donatella Donatelli在文献[5]中，讨论了全局弱解的存在性.而对于研究燃烧非牛顿流体的文献还不是很多.

在本文中，我们通过更精细的估计，克服了方程组由双曲和抛物两类方程组成的强耦合性、由动量守恒方程带来的奇异性和非线性以及真空带来的困难，给出了局部强解的存在唯一性.我们的主要结果如下：

(1.3)

在I上几乎处处成立.则存在一个时间T*∈(0，∞)，问题(1.1)—(1.2)在ΩT*上存在唯一的解(ρ，u，z)，并具有下列性质：

(1.4)

由于证明需要，我们给出如下引理：

其中d(Ω)表示Ω的长度.

2 近似解的构造及一致估计

为了得到定理1.1，我们考虑关于初值的正则化问题：

(2.1)

我们直接构造(1.1)—(1.2)的近似解，具体过程如下：

先定义u0=0，z0=0，代入下列方程中，我们可以得到一串光滑函数列(ρk，uk，zk)，它们是下列初边值问题的解：

(2.2)

(2.3)

(2.4)

(2.5)

其中

πk≡A(zk)(ρk)γ，A(s)>0，s∈R，γ>1，

(2.6)

的光滑解.

对于已知的光滑函数uk-1，方程(2.2)分别存在唯一的解ρk，且由特征线法和Sobolev不等式得出

(2.7)

对所有的t∈(0,T).

为了方便证明我们建立辅助函数

引理2.1

(2.8)

(2.9)

(2.10)

对所有的k(1≤k≤K)，其中正常数C仅依赖于M0.

引理的证明可参照文献[6].

引理2.2

(2.11)

(2.12)

对所有的k(1≤k≤K)，其中正常数C仅依赖于M0.

证明 对(2.2)式两边同乘以ρk，并在(0，1)上积分，我们可以得到

(2.13)

(2.14)

由(2.13)和(2.14)式可以得到

(2.15)

对(2.4)式，同理由Gronwall不等式可以得到证明结果.

综合引理1.1和1.2，有

(2.16)

其中C是正常数，仅依赖于γ，M0.

因此，由上述推导，对所有的1≤k≤K，下列一致估计成立：

(2.17)

C*是正常数仅依赖于γ，M0.

由近似方程(2.2)，(2.4)得到：

(2.18)

(2.19)

综合上述情况，我们可以得到：

(2.20)

3 近似解的收敛性

有了一致估计(2.17)和(2.20)，就可以证明近似解序列(ρk，uk，zk)的极限存在.为此，我们定义：

(3.1)

由(2.2)，(2.3)，(2.4)式，参照文献[6]可得：

(3.2)

(3.3)

(3.4)

其中：

综上所述，关于t在(0，t)∈(0,T1)上积分，利用Gronwall不等式可以得到

因而，我们选定η，然后再选不定期足够小的T*，使得4C(T*+δ)<1，T*

(3.5)

其中C为一常数，仅依赖于M0.

由(2.7)式，可有ρk(x,t)>0，对所有的t∈(0,T*).因此，由(3.5)式可得下列收敛性：

当k→∞时，

(3.6)

ρk→ρε于L∞(0，T*；L2(I))强收敛，

(3.7)

zk→zε于L∞(0，T*；L2(I))强收敛.

(3.8)

由于逼近问题的初值(ρ0，u0，z0)不依赖于k，则(ρ0，u0，z0)仍然处处满足边值问题(2.6).且由范数的下半连续性可得，(ρε，uε，zε)也满足下列一致估计：

(3.9)

4 无真空解的存在性

有了(3.6)，(3.7)，(3.8)三类收敛性，我们很容易验证(ρε，uε，zε)为方程

(4.1)

具有初边值条件

的解(方法参考文献[6]).

为了得到初边值问题解的存在性，我们还需要证明解(ρε，uε，zε)满足性质(1.4).

(4.2)

其次，证明

对于上式右端第二项，可写为

因此

现在要想得到本节的主要结论，还需要关于ε取极限.

由于在我们所得的一致估计中的控制常数均不依赖于ε，则由一致估计(3.9)可得，存在{(ρε，uε，θε)}的一个子列{(ρεj，uεj，zεj)}，不妨仍记为{(ρε，uε，zε)}，当ε→0时，有下列收敛性：

ρε→ρ于L∞(0,T*；L2(I))强收敛，

(4.3)

(4.4)

zε→z于L∞(0,T*；L2(I))强收敛.

(4.5)

且(ρ，u，z)也满足一致估计：

(4.6)

引理3.1的详细证明参见文献[6].

(4.7)

的唯一解，并几乎处处满足方程(4.7).

因此有了(4.3)，(4.4)，(4.5)三种收敛性，且(ρ，u，z)满足一致估计，那么我们就可以用与之前相同的方法，证明(ρ，u，z)问题的解，并且满足性质1.4.因而，无真空时解的存在性得证.

5 真空情形解的存在性

(5.1)

根据相容性条件和经典的椭圆抛物方程理论，我们可以得到如下收敛性：存在δ的子列{δj}(不妨记为它本身).当δ→0时有

并且u0满足定理1.2的相容性条件.则对任意的δ>0，由之前的证明可知

因此，与之前的证明类似，我们可以证明问题(1.1)—(1.2)解的存在性，而关于(ρ，u，z)连续性的证明与无真空情形证明是一样的，在此不再赘述.于是定理1.1存在性得证.

6 解的唯一性

(6.1)

(6.2)

(6.3)

综合上式，最后我们有

(6.4)

其中：

由Gronwall不等式可得

因而，定理1.1的唯一性证毕.于是定理1.1得证.

[1] GUI-QIANG CHEN，DAVID HOFF，KONSTANTINA TRIVISA.Global solutions to a model for exothermically reacting compressible flows with large discontinuous initial data[J].Arch Rational Mech Anal，2003，166：321-358.

[2] BUCK J D.The mathematics of combustion[M].Frontriers in Applied Mathematics，2 Society of Industrial and Applied Mathematics，Philadelphia PA：SIAM，1985：22-201.

[3] WILLIAMS F A.Combustion theory[M].New Jersey：Addison-Wesley，1965：19-136.

[4] UMEHARA M，ATUSI TANI.Global solution to the one-dimensional equations for a self-gravitating ivscous radiative and reactive gas[J].J Differential Equations，2007，234：439-463.

[5] DONATELLA DONATELLI，KONSTNTINA TRIVISA.A multidimensional model for the combustion of compressible fluids[J].Arch Rational Mech Anal，2007，185：397-408.

[6] XU X，YUAN H.Existence and uniqueness of solutions for a class of non-Newtonian fluids with singularity and vacuum[J].J Differential Equations，2008，245：2871-2916.

[7] GALDI G P.An introduction to the mathematical theory of the Navier-Stokes equations[M].New York：Springer-Verlag，1994：25-134.

[8] LADYZHENSKAYA O A.The Boundary value problems of mathematical physics[M].New York：Spring-Verlang，1985：36-122.

(责任编辑：陶 理)

Existence and unique of the strong solution for a class of combustion non-Newtonian fluids

XIE Jia-ning1，YUAN Hong-jun2

(1.School of Mathematics and Quantitative Economics，Dongbei University of Finance and Economics，Dalian 116025，China；2.Institute of Mathematics，Jilin University，Changchun 130012，China)

This paper deals with a class of reactive gas flow for non-Newtonian fluids in one-dimensional initial value and obtain the local existence and uniqueness of solutions by overcoming the difficulties of nonlinear，singularity，vacuum and so on.

non-Newtonian；reactive gas flow；existence；vacuum

1000-1832(2014)04-0015-07

10.11672/dbsdzk2014-04-003

2014-05-24

国家自然科学基金资助项目(11226326，11301060，71201019)；东北财经大学青年科研人才培育项目(DUFE2014Q66).

谢嘉宁(1984—)，女，博士研究生，主要从事非线性偏微分方程研究；通讯作者：袁洪君(1966—)，男，教授，博士研究生导师，主要从事非线性偏微分方程研究.

O 175.2 [学科代码] 110·47

A