利用因式分解解决问题

李圣春

因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式，如果从运算角度上考虑，也就是把一个和在保持大小不变的条件下，写成一个乘积的形式。在解决问题时，如能灵活巧妙地利用因式分解，往往能起到化繁为简，方便快捷的效果。

例1.某商场销售三种不同的的运动鞋。十·一假期，为增加销售量，现在对三种运动鞋实行降价让利活动。已知甲种运动鞋每双售价a元，让利10%；乙种运动鞋每双售价2a元，让利15%；丙种运动鞋每双售价3a元，让利30%。如果各销售一双，则三种运动鞋共让利多少元？

【分析】要求三种运动鞋商场共让利多少，只要求出甲、乙、丙三种运动鞋让利的和即可。考虑到都含有百分号，运算不方便，所以，可以将相同的因数提取，利用因式分解来简化计算。

解：W=a×10%+2a×15%+3×35%

=a（10%+30%+90%）

=a×130%= a（元）

答：三种运动鞋商场共让利 a元.

例2.某公园计划砌一个圆形如图（1）的喷水池，后来有人建议改成如图（2）的形状且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种用的材料多？

【分析】比较两种方案，哪一种用的材料多？也就是比较哪个周长更长。假设第一个方案的大圆直径是d，那么方案一的两个大圆的总周长是2dπ，设三个小圆的直径分别为a、b、c，则a+b+c=d，再利用提公因式法因式分解，很简单就解决了问题。

解：C1=2dπ C2=（aπ+bπ+cπ）+dπ=（a+b+c）π+dπ= 2dπ

所以C1= C2

答：两种方案需要的材料一样多.

归纳：某些问题，如果列出代数式中，含有公因式，而且提取公因式后，另一因式能够凑整，用提取公因式计算较简单。

例3：老李师傅在制作零件时，要在半径为Rcm的圆形钢板上钻四个相同的半径为rcm的圆孔，老李师傅测量出R=7.8cm，r=1.1cm时，请你帮他计算一下圆形钢板的剩余面积。（结果保留π）

【分析】剩余部分的面积，即为大圆的面积减4个小圆的面积。因为数字为小数，计算起来不方便。先因式分解，后计算，就简单多了。

解：根据题意，S=πR?-4πr?

当R=7.8，r=1.1时

S=π（R?-4 r?）=π（R+2r）（R-2r）=π（7.8+2×1.1）（ 7.8-2×1.1）

=π10×5.6=56π（cm2）

答：剩余部分的面积为56πcm2.

例4.小明制作了一个房子模型，如图所示，要把其中的这一面墙涂上颜色（小正方形窗户除外），那么涂色的面积是多少？

【分析】涂色的面积应该是三角形的面积加正方形的面积再减去小正方形的面积.可利用平方差公式对部分式子进行因式分解，从而简化计算。

解：S涂色=

=

= 答：涂色的面积是143.

归纳：如果由实际问题得到的代数式，满足平方差公式的结构特点，而且分解后，两个数的和或两个数的差运算较简单，通常应用平方差公式。

例5.如左图，开发商要在原来小区（正方形）的基础上进行征地扩建，且使扩建后的小区平面仍旧是正方形。如果土地的成本价1500元/m2，开发商在整个小区的土地成本投资应是多少万元？

【分析】根据题意可知，土地的总面积=原居民区面积+新建住房区面积，可发现整个式子是一个完全平方式，可利用因式分解简化计算过程。

解：S=642+36×64×2+362=（64+36）2=1002=10000

所以土地的投资成本为：10000×1500=1500（万元）

答：土地成本投资应是1500万元.

例6.某公园有一块长为51.2m的

正方形绿地，为了便于游人通行，决定修

两条互相垂直的小路，如下图小路宽1.2m，

问剩余绿地的面积是多少？

【分析】用整块绿地的面积减去小路的面积，就是剩余绿地的面积。因为数字含有小数，计算较繁。如用完全平方公式因式分解，就简单多了。

解： S=51.22-（2×1.2×51.2-1.22）=51.22-2×1.2×51.2+1.22

=（51.2-1.2）2=502=2500

答：剩余绿地的面积为2500m2.