基于最小体积约束的非负矩阵分解模型的高光谱解混算法探究

余肖玲，黄光鑫

(成都理工大学 管理科学学院，四川 成都 610059)

0 引 言

在测量光谱图像的过程中，受自然条件和环境等因素的影响，大多数地面的真实测量数据几乎不可能获得，从而导致图像中的端元无法自动获取.对于这种无法从图像中提取端元的情况，若能实现对高光谱遥感数据进行数据驱动下的盲分解，则非监督的混合像元分解就显得重要.非监督的混合像元分解，能做到的就是在完全不了解端元信息的情况下，直接以遥感图像本身为目标，根据混合像元的光谱模型及约束条件等信息，把混合像元分解为端元光谱矩阵及其在像元中所占的比例矩阵，即系数矩阵或丰度矩阵［1］.在现有资料研究中，混合像元模型主要包括2 类:线性光谱混合模型和非线性光谱混合模型.近年来，随着对光谱混合特性的进一步研究，线性光谱混合模型越来越引起更多学者的重视［2－9］.对此，本研究首先对线性光谱混合模型进行描述，然后在线性混合模型的基础上，再对混合像元分解算法进行讨论.

1 线性光谱混合模型

线性光谱混合模型［10］的表达式为，

式中，x 为m(m 为影像波段数)维混合像元光谱，是遥感影像图已获得的实际测量值，A 为m ×p(p 为端元数目)的端元矩阵，其中每一列代表一个端元的光谱向量，向量s 为像元中各端元的丰度，ε 为m 维模型误差或高斯随机噪声.

若把遥感图像中的全部像元均考虑在内，式(1)可写为，

式中，X ∈Rm×n，其列向量表示各个像元的光谱;S∈Rp×n构成系数矩阵或丰度矩阵.

在线性光谱混合模型中，系数矩阵S 需满足2个限制条件［6］，即:1)非负性.

2)丰度和为1.

2 非负矩阵分解模型

约束非负矩阵分解(Constrained Nonnegative Matrix Factorization，CNMF)算法通过加入非负限制可将一个非负矩阵分解(Nonnegative Matrix Factorization，NMF)分为2 个非负矩阵A 和S 的乘积，

X = A × S

其中，A 为m × p 阶矩阵，S 为p × n 阶矩阵，p ∈min(m，n).

目标函数式为，

由式(5)可知，NMF 算法理论上就是一个最优化问题，其目的就是目标函数在基于欧氏距离的要求下寻找到最小值，并满足A 和S 满足非负性的约束［3］.式(5)中，σ 和τ 是规则化参数，σ‖A‖2/2 和τ‖S‖2/2 为引入的平滑性约束，目的是调节逼近误差和平衡约束的消长关系.在寻求最小值的过程中，A 和S 遵循的迭代准则为，

在式(6)的指引下，式(5)是单调非增的.当A和S 值稳定时，目标函数值不再发生变化.在高光谱解混中，可以有意识地把X 设想成m 维混合像元光谱，利用上述迭代规则寻求满足非负性的端元矩阵和丰度矩阵.需要注意的是，为了满足式(4)的成立，每一步迭代后仍需对S 按，

做归一化处理［5］.

3 基于最小体积约束的非负矩阵分解方法

基于最小体积约束的非负矩阵分解方法(Nonnegative Matrix Factorization Method Based on Minimum Volume Constraint，MVC-NMF)在最小二乘和凸面几何结合的基础上，把体积约束附加到NMF 中，其相应的目标函数式为，

用来计算单体体积的惩罚项.φ ∈R.

把交替最小平方法引入到上述优化问题中，就可以利用，

把初始问题分解为2 个小问题.在计算过程中，保持矩阵A 和S 任何一个不变来交替更新另一个，并采用梯度投影学习规则强化每个小问题中的矩阵非负限制.若出现不满足约束限制的负值，则在保持非负变量不变的同时，利用函数max(0，x)将负值设定为0，则有，

将目标函数f(A，S)对矩阵S 求偏导数，

Sf(A，S)= AT(AS－X)，

令，

则目标函数对矩阵A 的偏导数为，

由此，MVC-NMF 算法的具体步骤为:

①输入混合光谱数据矩阵X ∈Rm×n(m 为波段数，n 为像元数);

②用虚拟维度［9］的方法估计端元数P;

③从X 中任意选取P 列充当初始源矩阵A ∈Rm×P;

④生成初始系数矩阵S ∈RP×n，并根据式(7)对S 进行归一化处理;

⑤设定最大迭代次数MaxIter;

⑥根据式(10)分别更新A 和S 并根据式(7)对矩阵S 再做归一化处理;

⑦设置最大迭代次数MaxIter;

⑧若MaxIter 已达到最大值或目标值不再收敛，则算法结束;否则重复步骤⑥.

4 实 验

为了检验MVC-NMF 算法对混合像元分解的性能，在实验中，采用USGS 光谱库中的五条光谱来构建模拟数据，添加噪声所用的信噪比为30 dB，光谱曲线如图1 所示，同时，还将本算法与平滑LO 模约束的MVC-NMF(MVC-NMF with Smoothed LO norm Constraint，SC-MVC-NMF)算法的实验结果进行对比.

1)端元数不同时的实验对比.为了对比在不同端元数目情况下2 种算法的结果，实验中给模拟图像添加了30 dB 的高斯噪声且采用的最大迭代次数为60 次.MVC-NMF 算法和SC-MVC-NMF 算法均采用VCA+FCLS 进行初始化.将端元数设定为5、6、7时，2 种算法提取结果的运行时间及相似性测度的结果如表1 所示.

图1 构建模拟图像的5 条光谱

表1 端元数不同时的实验对比

由表1 可知，在端元数目不同的情况下，MVCNMF 算法的精度略低于SC-MVC-NMF 算法，但其运行时间明显较快.

2)噪声的稳健性对比.为了对比2 种算法的抗噪性，利用上述5 条光谱构建模拟图像，并在模拟数据中分别添加SNR =10、20、30、40 dB 的高斯噪声且设定最大迭代次数为60.MVC-NMF 算法和SCMVC-NMF 算法均利用VCA +FCLS 进行初始化.在不同的信噪比下，MVC-NMF 和SC-MVC-NMF 算法获取的端元光谱、丰度矩阵的相似性测度如表2 所示.

表2 噪声的稳健性对比

从表2 可以看出，在信噪比减小的情况下，2 种算法的结果都逐渐变差，尽管SC-MVC-NMF 算法运行时间略有增加，但其混合像元分解的结果始终优于本研究算法提取的结果.

3)实验结果表明，噪声的稳健性方面，在端元数不同的情况下，本研究算法收敛速度较快，但其混合像元解混的结果略差，因此，附加条件下MVCNMF 的改进成为下一步研究的重点.

5 结 论

本研究提出的MVC-NMF 算法对于高光谱图像混合像元分解问题有较大的实用价值，然而MVCNMF 算法在计算过程中表现出来的收敛效果略差的缺点，却影响了高光谱混合像元分解的效率，且很难找到最优解，这些劣势限制了非负矩阵分解模型的应用.因此，在以后的研究过程中，应进一步探索更为快速高效的高光谱混合像元分解的NMF 算法.

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