龙格—库塔方法与差分法的比较

吴志强，张晏铭，秦浩东

(长春工业大学 基础科学学院，吉林 长春 130012)

0 引 言

对于一维常系数扩散方程，

把空间微分项用中心差商代替，就得到半离散的常微分方程组，

采用二阶龙格— 库塔方法对半离散的常微分方程组进行时间导数的离散，则有，

1 误差分析

对式(1)，由于时间导数的离散采用二阶的龙格—库塔方法，这一格式的截断误差为O(τ2)，式(2)的空间微分项用中心差分离散，故空间项的截断误差为O(h2)，所以求解一维常系数扩散方程的龙格—库塔方法的截断误差为O(τ2+ h2).

2 稳定性分析

在进行数值模拟时，为保证计算稳定，必须选择合适的计算参数.在取定空间步长后，时间步长的选取必须满足一定的稳定性条件.为此，利用Fourier变换方法推导龙格—库塔方法的稳定性条件［1－7］.

令，

则式(3)变为，

等式两边消去eiλjh，

则增长因子为，

3 数值算例

对如下定解问题:

②u(x，0)= sinπx，当0 ≤x ≤1 时;

③u(0，t)= u(1，t)= 0，当t ≥0 时.

其解析解为，

u(x，t)= e－π2tsinπx.

对该算例用二阶龙格—库塔格式进行编程计算，并与显格式、隐格式和CN 格式方法进行比较.

当空间步长h = 0.1，网格比取r = 0.3，t = 0.5时，不同格式和解析解的对比图如图1 所示.

图1 不同格式计算的数值解和解析解的对比图(t = 0.5)

表1 为不同格式计算的数值解和解析解的对比.

表1 不同格式计算的数值解和解析解的对比

表2 为不同格式所用的计算时间.

表2 不同格式所用的计算时间

由表2 可以看出，龙格库塔方法是一种比较好的格式.隐格式和CN 格式在编程计算时要求解方程组，故计算量要比显格式大.但当网格比大于0.5时，显格式和二阶龙格库塔方法都发散.

当空间步长h = 0.1，网格比取时r = 0.55，t =1 时，不同格式计算的数值解和解析解的对比图如图2 所示.

当J = 10，dx = 0.1，dt = 0.001，r = 0.1，4 种方法的比较结果如表3.

图2 不同格式计算的数值解和解析解的对比图(t = 1)

表3 4 种格式的迭代比较(J = 10)

当J = 20，dx = 0.05，dt = 0.0013，r = 0.5，比较结果如表4.

表4 4 种格式的迭代比较(J = 20)

由表3、4 可以看出，龙格—库塔方法在一定情况下，迭代次数较少，计算速度相对较快.

4 结 论

本研究主要分析了二阶龙格—库塔方法应用到求解扩散方程中的可行性:利用Fourier 变换得出其稳定区间;二阶龙格—库塔方法在一定情况下可提高精度，减少了求解扩散方程的计算量，求解方便;在一定精度条件下，龙格—库塔方法的迭代次数较少，计算速度快.

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