一个拒斥逻辑矛盾、容纳辩证矛盾的命题演算系统*1

曹 飞

(中共陕西省委党校 哲学部，陕西 西安 710061)

逻辑矛盾是因人们在思维过程中违反形式逻辑不矛盾律的要求而引起的，辩证矛盾是因人们在思维过程中表达对象的运动而产生的，二者根本不同。然而，经典命题演算没有区别辩证矛盾与逻辑矛盾，它拒斥逻辑矛盾，但不容纳辩证矛盾，因而不能合乎逻辑地表达对象的运动。如何在思维的逻辑中表达对象的运动，无疑是逻辑研究的一个重要问题。鉴于此，本文试对经典命题演算做适当改动，在区别辩证矛盾与逻辑矛盾的基础上构造一个拒斥逻辑矛盾、容纳辩证矛盾的命题演算系统PC6。

一、命题演算系统PC6及其可靠性、完全性

(一)PC6的语法、语义及定理的证明

1、语法

初始符号：

甲、 p0，p1，p2，p3，…，pm，…，m是自然数。

乙、┌ ，┐，∨.

丙、(，).

语法语言的符号：

(1)Q、R、S代表任意一个甲类符号。

(2)X、Y、Z代表任意一个符号序列。

(3)A、B、C、D、E代表任意一个合式公式。

(4)“┠”写在一公式前，表示紧随其后的公式是本系统要加以肯定的。

形成规则：

(1)如果X为甲类符号，那么┌X和┐X为合式公式。

(2)如果X为合式公式，那么┌X和┐X亦为合式公式。

(3)如果X、Y均为合式公式，那么(X∨Y)为合式公式。

(4)只有符合上述三条规则的符号序列才是合式公式。

定义(=df是定义符号)：

甲、(A→B)=df(┐A∨B)

乙、(A∧B)=df┐(┐A∨┐B)

丙、(A≡B)=df((A→B)∧(B→A))

括号省略规则：

(1)位于公式最外层的那对括号可省略。

(2)真值联结词的结合能力按下列次序递减：

┐，┌，∨，∧，→，≡。

公理：

1.┠A∨A→A

2.┠A→A∨B

3.┠A∨B→B∨A

4.┠(B→C)→(A∨B→A∨C)

5.┠┌A≡A

6.┠ ┌Q∨┐Q

变形规则：

(1)分离规则：由┠A和┠ ┐A∨B可得┠B。

(2)定义置换规则：定义的左右两方可相互替换，设原公式为A，替换后所得公式为B，则由┠A可得┠B。

公式的级的递归定义：

(1)如果X为甲类符号，那么┌ X、┐X都是1级公式。1级公式又称原子公式。

(2)如果X为m级公式，那么┌ X、┐X都是m+1级公式。

(3)如果X为m级公式，Y为n级公式，并且m≥n，那么X∨Y、Y∨X、X∧Y、Y∧X、X→Y、Y→X、X≡Y、Y≡X都是m级公式。

2、语义

1)甲类符号为0级命题变项，代表任意一个0级命题。

2)乙类符号为联结词符号，┌代表肯定词“是”，┐代表否定词“不”，∨代表析取词“或”，它们的真值表为(其中T表示“单真”，F表示“单假”，C表示“既真又假”)[1]31-33。

表一

表二

表三

3)丙类符号是括号，其中“(”是左括号，“)”是右括号。

重言式的定义：A是重言式，当且仅当无论A中0级命题变项取什么值，A的值都是T。

3、定理的证明

我们可以将PC6中相同的原子公式看作经典命题演算中相同的命题变项，将PC6的不同的原子公式看作经典命题演算中不同的命题变项，这样我们就可以将PC6看作经典命题演算的扩充。因此，经典命题演算的定理都是PC6的定理。PC6的其它定理的证明，这里仅举3例。

定理：┠┌A→A

证：[公理5，定义丙] ┠(┌A→A)∧(A→┌A) (1)

[定理] ┠(┌A→A)∧(A→┌A)→(┌A→A) (2)

[(1)、(2)分离] ┠┌A→A 证毕。

定理：┠A→┌A

证：[公理5，定义丙] ┠(┌A→A)∧(A→┌A) (1)

[定理] ┠(┌A→A)∧(A→┌A)→(A→┌A) (2)

[(1)、(2)分离] ┠A→┌A 证毕。

定理：┠┌Q∨┐Q∨C

证：[公理2、公理6分离] ┠┌Q∨┐Q∨C 证毕。

基本置换定理 令DA表示A是D的组成部分，设已证├A→B和├B→A，并且以公式B置换DA中的公式A得DB，则可得├DA→DB和├DB→DA。因之，从├DA，可得├DB。本规则称为“置换”。简单地说，如果A和B等值，则从├DA可得├DB。

基本置换定理的证明。该定理的严格证明必须运用数学归纳法，施归纳于合式公式的构造。本文采取的证明较为简单，不完全严格。

现证明该定理在下述最简单情况下是成立的。

(1)A在DA中只出现一次，

(2)DA的形式是：(甲)┌A，(乙)┐A，(丙)C∨A，(丁)A∨C。

依据形成规则，不管DA的形式怎样复杂，总是由多次重复运用肯定、否定、析取构成，因此，一般的情况只是上述情况的简单重复。

(甲)设DA为：┌A，

则DB为：┌B。

设已证 ├A→B。

[定理] ┠┌A→A。

[定理] ┠B→┌B

[假言三段论] ┠┌A→┌B

即是 ├DA→DB。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DB→DA。

(乙)设DA为：┐A，

则DB为：┐B。

设已证 ├A→B。

[假言易位] ├ ┐B→┐A。

即是 ├DB→DA。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DA→DB。

(丙)设DA为：C∨A，

则DB为：C∨B。

设已证 ├A→B。

[附加] ├C∨A→C∨B。

即是 ├DA→DB。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DB→DA。

(丁)设DA为：A∨C，

则DB为：B∨C。

设已证 ├A→B。

[附加] ├C∨A→C∨B。

[公理3] ├A∨C→C∨A。

├C∨B→B∨C。

[假言三段论] ├A∨C→B∨C。

即是 ├DA→DB。

同理，由 ├B→A，

可得 ├DB→DA。

定理得证。

这里虽然没有明确地提出数学归纳法，仅提出“一般的情况是简单情况的重复”，但证明的基本思想及证明的保证仍是数学归纳法。

有了上述定理，我们就可以证明PC6的完全性。

(二)PC6的可靠性

PC6的可靠性定理：PC6的定理均为重言式。

PC6的可靠性定理的证明较容易，为节省篇幅，这里只提供证明的基本思路，不做具体证明。证明的基本思路为：首先，PC6的公理均为重言式；其次，运用PC6的变形规则，由重言式只能得到重言式。因之可得结论：PC6的定理均为重言式。

(三)PC6的完全性

兹引入合取范式这一概念，以便证明PC6的完全性。

1、合取范式

定义1. A为简单析取式，当且仅当A为形如A1∨A2∨…∨An(n∈N且n≥1)的公式，其中每个Ai(1≤i≤n)都是原子公式或原子公式的否定。

定义2. A为合取范式，当且仅当A为形如A1∧A2∧…∧An(n∈N且n≥1)的公式，其中每个Ai(1≤i≤n)都是简单析取式。

定义3. Aˊ为A的合取范式，当且仅当Aˊ满足：A和Aˊ等值，即A≡Aˊ为重言式，并且Aˊ为合取范式。

下面我们来说明：任一公式都有其合取范式，即从一给定公式，总能求得其合取范式。

依据定义，合取范式在表达上有如下特征：

(1)不出现→和≡符号。

(2)肯定符┌只在0级命题变项前出现。

(3)否定符┐只在0级命题变项或原子公式前出现。

(4)是单独的一个简单析取式或简单析取式的合取。

因此，求一个公式的合取范式有如下步骤：

(1)销去蕴涵和等值符。即以┐A∨B置换A→B，以(┐A∨B)∧(A∨┐B)或(A∧B)∨(┐A∧┐B)置换A≡B。

(2)将否定符逐步内移至原子公式之前。即以┐A∨┐B置换┐(A∧B)，以┐A∧┐B置换┐(A∨B)。

(3)销去多余的否定符和多余的肯定符。即以A置换┐┐A，以A置换┌A。

经过以上三个步骤后，公式中仅含原子公式及其否定，以及∨和∧。

(4)分配。在以上步骤的基础上，以(A∨B)∧(A∨C)置换A∨(B∧C)就得到原公式的合取范式。

以上所用置换规则都有系统内的根据：或是定理，例如多余的否定符┐和多余的肯定符┌的销去；或是定义，例如→的销去。置换所得结果和原公式是等值的。

任一公式，运用以上方法，均可在有限步内求得其合取范式。所以，任一公式都有其合式范式。

2、PC6的完全性定理：重言式均为PC6的定理。

证明：设A是一重言式。A有一合取范式。设A的合取范式是B，B亦为重言式。并且B为B1∧B2∧…∧Bn，Bi(1≤i≤n)为简单析取式，Bi必为重言式。每一Bi里必有一0级命题变项Q，并且至少满足下列条件之一：(甲)┌Q和┐Q都作为Bi的析取支出现；(乙)┌Q和┐┌Q都作为Bi的析取支出现；(丙)┐Q和┐┐Q都作为Bi的析取支出现。因为：若有一Bi里每一个0级命题变项Q，都不满足(甲)(乙)(丙)三个条件中的任何一个条件，则该Bi里任何一个0级命题变项Q，必处于下述三种情形之一：(1)┌Q和┐┐Q都作为Bi的析取支出现，或其中之一作为Bi的析取支出现；(2)┐Q和┐┌Q都作为Bi的析取支出现，或其中之一作为Bi的析取支出现；(3)┐┌Q和┐┐Q都作为Bi的析取支出现。对于该Bi里任一0级命题变项Q，若它处于第一种情形则取值F，若它处于第二种情形则取值T，若它处于第三种情形则取值C，此时该Bi的每一个析取支的值均为F，该Bi的值为F。该Bi不是重言式。这与Bi必是重言式相矛盾。所以，每一Bi里必有一0级命题变项Q，并且至少满足(甲)(乙)(丙)三条件之一，即每一Bi必具有形式┌Q∨┐Q或┌Q∨┐Q∨C或⊿∨┐⊿或⊿∨┐⊿∨C (其中⊿代表任一原子公式)。因┌Q∨┐Q、┌Q∨┐Q∨C、A∨┐A、A∨┐A∨C都可证，故每一Bi均可证。依据定理┠A→(B→(A∧B))，B1∧B2∧…∧Bn可证，亦即B可证。B是A的范式，是由A依据置换规则得到的，若B可证，则A亦可证。可见若A为重言式，则A可证。所以，重言式均为PC6的定理。证毕。

二、PC6的一个重要特征：拒斥逻辑矛盾，容纳辩证矛盾

(一)逻辑矛盾与辩证矛盾的区别

就语法而言，辩证矛盾命题与逻辑矛盾命题都是同时既肯定又否定同一个命题而形成的两个相反命题的合取，所不同的是：辩证矛盾命题同时肯定和否定的是同一个0级命题，辩证矛盾命题是1级命题，其形式为┌Q∧┐Q；逻辑矛盾命题同时肯定和否定的是同一个n(n∈N且 n≥1)级命题，逻辑矛盾命题是n(n∈N且 n≥2)级命题，其形式为┌A∧┐A。

从语义上看，辩证矛盾与逻辑矛盾截然有别：辩证矛盾命题的形式是其值可为单真的矛盾式，当Q为既真又假时，┌Q∧┐Q为单真，其它情况下┌Q∧┐Q为单假；逻辑矛盾命题的形式是其值必为单假的矛盾式，无论A中0级命题变项取什么真值，┌A∧┐A都为单假。

根据上述两点区分，我们可以对辩证矛盾和逻辑矛盾分别定义如下：

一个矛盾命题是辩证矛盾命题，当且仅当该矛盾命题具有辩证矛盾命题的形式。辩证矛盾命题简称“辩证矛盾”。

一个矛盾命题是逻辑矛盾命题，当且仅当该矛盾命题具有逻辑矛盾命题的形式。逻辑矛盾命题简称“逻辑矛盾”。

在PC6中有定理┠ ┐(┐┌Q∧ ┐┐Q)。这说明，在PC6中不能同时否定┌Q和┐Q。┐(┌┌Q∧┌ ┐Q)不是PC6的定理。这说明，在PC6中可以同时肯定┌Q和┐Q。从真值表看，┌Q和┐Q不能同为单假，但可以同为单真。可见，在PC6中，肯定和否定同一个0级命题而形成的两个相反命题，并不是矛盾关系，而是下反对关系。

在PC6中有定理┠ ┐(┌┌A∧┌ ┐A)和┠ ┐(┐┌A∧ ┐┐A)。这说明，在PC6中既不能同时肯定┌A和┐A，也不能同时否定┌A和┐A。从真值表看，┌A和┐A既不能同为单真，也不能同为单假。可见，在PC6中，肯定和否定同一个n(n∈N且 n≥1)级命题而形成的两个相反命题，是矛盾关系。

总之，PC6区分了对0级命题的肯定与否定和对n(n∈N且 n≥1)级命题的肯定与否定的不同逻辑意义，并在此基础上区分了辩证矛盾与逻辑矛盾。

(二)PC6拒斥逻辑矛盾，容纳辩证矛盾

PC6有下列定理：

┠┌A∧┐A→B

这一定理是说：在PC6中逻辑矛盾可以任意扩散，从逻辑矛盾可推出任何命题。

┠ ┐(┌A∧┐A)

这一定理表明：形式逻辑的不矛盾律在PC6中成立，PC6拒斥逻辑矛盾。

┌Q∧┐Q→B不是PC6的定理。这说明：在PC6中辩证矛盾不能任意扩散，并非所有命题都能从辩证矛盾推出。

┐(┌Q∧┐Q)不是PC6的定理。这说明：形而上学的不矛盾律在PC6中不成立，PC6容纳辩证矛盾。

综上所述可见，PC6是一个拒斥逻辑矛盾、容纳辩证矛盾的命题演算系统。

三、PC6区分逻辑矛盾与辩证矛盾的直观依据

众所周知，在西方哲学史上古希腊哲学家芝诺(约公元前490-前436年)第一个对思维提出了系统责难，他认为思维无法描述对象的运动，其理由是运动的观念中必然地包含着矛盾，而包含矛盾的观念是不可理解的。由此出发，他提出了“二分法”、“阿基里斯追不上乌龟”、“飞矢不动”等著名的关于运动的责难，以证明“运动不能享有真正的存在”。[2]282列宁在读到芝诺关于运动的责难时就明确指出：“问题不在有没有运动，而在于如何在概念的逻辑中表达它”。[3]281“如果不把不间断的东西割断，不使活生生的东西简单化、粗糙化，不加以割碎，不使之僵化，那么我们就不能想象、表达、测量、描述运动，思维对运动的描述，总是粗糙化、僵化。”[3]285这就是说，运动是活生生的、不间断的，思维对运动的描述总是僵化的、间断的，思维的相对静止性与对象的绝对运动性之间必然存在着矛盾，思维只有通过断言自身与对象之间的上述矛盾才能表达对象的运动。表达对象运动而形成的思维矛盾，也就是人们通常所说的辩证矛盾。

与辩证矛盾不同，逻辑矛盾只是思维自身的矛盾，是思维混乱的产物，并不涉及对象的运动，不是对象的运动之观念中所必然包含着的矛盾。

鉴于上述理由，本文对思维进行了层次区分，将思维区分为直接描述对象的思维与对思维的思维两种，前者用0级命题来表达，后者用n(n∈N且 n≥1)级命题来表达。

在直接描述对象的思维中，思维的相对静止性与对象的绝对运动性之间的矛盾必然表现为思维的真与假的矛盾，本文用“同一个0级命题同时既真又假”来刻画这一矛盾。这样在对直接描述对象的思维之思维中就可以用“同时既肯定又否定同一个0级命题”来表达对象的运动。于是，同时既肯定又否定同一个0级命题而形成的矛盾，也就是通常所说的辩证矛盾。

在对思维的思维中，由于一个n(n∈N且 n≥1)级命题不可能同时既真又假，因而在n+1级思维中同时既肯定又否定同一个n(n∈N且 n≥1)级命题而形成的矛盾，就是思维混乱的产物。这样的矛盾，也就是通常所说的逻辑矛盾。

参考文献：

[1]王宪钧.数理逻辑引论[M].北京大学出版社，1982.

[2]黑格尔.哲学史讲演录(第1卷)[M].三联书店，1956.

[3]列宁.哲学笔记[M].人民出版社，1956.