合理运用分类讨论数学思想

林敏燕

当我们遇到一个问题比较复杂时，常常把这个问题分解成几个小问题来处理，这就是分类讨论的数学思想.它的基本思路是“化整为零，各个击破”.分类讨论的数学思想渗透到高中数学的各大块知识点中，如果我们在高考复习中善于运用这种解题思想，就能提高解题能力，提高复习效率.本文从高中数学的高考重点模块着眼，解析分类讨论数学思想的应用.

一、函数中的分类讨论思想

函数中的分类讨论大致分为二类，一类是函数是分段函数，必须进行分类讨论；一类是数学的性质是分类的，典型的例子是含有参数的问题.

设g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

则g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

则g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在实数m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

点评：对于含有参数的二次函数的最值，必须进行分类讨论.

例2. 已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上上是增函数.

（1）求b的值，并求a的取值范围；

点评：当函数中含有参数时，函数的零点会随着参数的变化而变化，要结合函数图像及单调性来进行讨论.

二、不等式中的分类讨论思想

在导数这一类试题中，常常会遇到解含有参数的一元二次不等式时，这时，必须要用到分类讨论的数学思想.

点评：由于两根含有参数，不能确定大小，所以必须进行分类讨论.很多同学对含有参数的不等式不会因式分解，只会用求根公式，从而会给解题造成麻烦，求根公式中会出现绝对值.如何判断哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其实，只要判断该二次式的判别式是否是完全平方式，如是，必定可以进行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式来求解.比如：解关于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判别式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解关于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判别式=a2+4，故只能用求根公式来求方程的根.

三、圆锥曲线中的分类讨论思想

圆锥曲线中的分类讨论思想的主要表现在焦点在x轴或y轴，或是一个点在曲线的左支还是右支.

点评：仅仅由渐近线方程不能确定双曲线的离心率，必须分类讨论.这种类型的试题同学们容易漏解，复习时要引起注意.

故所求直线方程为3x-4y+5=0.

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1.

点评：本题属于中等题，同学们很容易把斜率不存在的情况忽略.对于直线方程的假设大致有二种，一种是y-y0=k（x-x0），另一种是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情况，后者不包括斜率为零的情况，要视情况而定.

四、数列中的分类讨论思想

数列是一类特殊的函数，分类讨论的数学思想在数列中应用也是极为广泛.当数列中出现前n项和和数列通项，或者出现绝对值，或者出现奇偶性问题时，都得进行分类讨论.还有，在一个式子中，如果出现an，Sn，通过计算得到递推关系式，要不要讨论n=1的情况，也是同学们感到困惑的问题.

点评：当表达式中出现了n-1时，必须说明n≥2；如果表达式中没有包括n=1的情况，必须分类讨论；如果出现了（-1）n之类的，必须对整数的奇偶性进行讨论.

五、排列组合中的分类讨论思想

排列组合中最常用的方法是分类计数原理和分步计数原理，分类计数原理就是数学中的分类讨论思想.适当合理的分类，才能使问题变得简捷，易懂.

例7. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

点评：这是一道难度较大的高考题，难点在于如何分类，如果分类混乱，总是会漏算或重算.这里还要考查考生对排列组合中分步计算原理的应用，捆绑法的应用.

六、解三角形中的分类讨论思想

在解三角形中，常常会出现多解的情况，是不是每一个解都满足题意呢？这里需要用到分类讨论的数学思想.

点评：本题容易得到二个解，如果不注意一些细节，容易得到错误的答案.

（作者单位：汕尾市华南师大附属中学汕尾学校）

责任编校 徐国坚endprint

当我们遇到一个问题比较复杂时，常常把这个问题分解成几个小问题来处理，这就是分类讨论的数学思想.它的基本思路是“化整为零，各个击破”.分类讨论的数学思想渗透到高中数学的各大块知识点中，如果我们在高考复习中善于运用这种解题思想，就能提高解题能力，提高复习效率.本文从高中数学的高考重点模块着眼，解析分类讨论数学思想的应用.

一、函数中的分类讨论思想

函数中的分类讨论大致分为二类，一类是函数是分段函数，必须进行分类讨论；一类是数学的性质是分类的，典型的例子是含有参数的问题.

设g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

则g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

则g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在实数m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

点评：对于含有参数的二次函数的最值，必须进行分类讨论.

例2. 已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上上是增函数.

（1）求b的值，并求a的取值范围；

点评：当函数中含有参数时，函数的零点会随着参数的变化而变化，要结合函数图像及单调性来进行讨论.

二、不等式中的分类讨论思想

在导数这一类试题中，常常会遇到解含有参数的一元二次不等式时，这时，必须要用到分类讨论的数学思想.

点评：由于两根含有参数，不能确定大小，所以必须进行分类讨论.很多同学对含有参数的不等式不会因式分解，只会用求根公式，从而会给解题造成麻烦，求根公式中会出现绝对值.如何判断哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其实，只要判断该二次式的判别式是否是完全平方式，如是，必定可以进行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式来求解.比如：解关于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判别式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解关于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判别式=a2+4，故只能用求根公式来求方程的根.

三、圆锥曲线中的分类讨论思想

圆锥曲线中的分类讨论思想的主要表现在焦点在x轴或y轴，或是一个点在曲线的左支还是右支.

点评：仅仅由渐近线方程不能确定双曲线的离心率，必须分类讨论.这种类型的试题同学们容易漏解，复习时要引起注意.

故所求直线方程为3x-4y+5=0.

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1.

点评：本题属于中等题，同学们很容易把斜率不存在的情况忽略.对于直线方程的假设大致有二种，一种是y-y0=k（x-x0），另一种是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情况，后者不包括斜率为零的情况，要视情况而定.

四、数列中的分类讨论思想

数列是一类特殊的函数，分类讨论的数学思想在数列中应用也是极为广泛.当数列中出现前n项和和数列通项，或者出现绝对值，或者出现奇偶性问题时，都得进行分类讨论.还有，在一个式子中，如果出现an，Sn，通过计算得到递推关系式，要不要讨论n=1的情况，也是同学们感到困惑的问题.

点评：当表达式中出现了n-1时，必须说明n≥2；如果表达式中没有包括n=1的情况，必须分类讨论；如果出现了（-1）n之类的，必须对整数的奇偶性进行讨论.

五、排列组合中的分类讨论思想

排列组合中最常用的方法是分类计数原理和分步计数原理，分类计数原理就是数学中的分类讨论思想.适当合理的分类，才能使问题变得简捷，易懂.

例7. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

点评：这是一道难度较大的高考题，难点在于如何分类，如果分类混乱，总是会漏算或重算.这里还要考查考生对排列组合中分步计算原理的应用，捆绑法的应用.

六、解三角形中的分类讨论思想

在解三角形中，常常会出现多解的情况，是不是每一个解都满足题意呢？这里需要用到分类讨论的数学思想.

点评：本题容易得到二个解，如果不注意一些细节，容易得到错误的答案.

（作者单位：汕尾市华南师大附属中学汕尾学校）

责任编校 徐国坚endprint

当我们遇到一个问题比较复杂时，常常把这个问题分解成几个小问题来处理，这就是分类讨论的数学思想.它的基本思路是“化整为零，各个击破”.分类讨论的数学思想渗透到高中数学的各大块知识点中，如果我们在高考复习中善于运用这种解题思想，就能提高解题能力，提高复习效率.本文从高中数学的高考重点模块着眼，解析分类讨论数学思想的应用.

一、函数中的分类讨论思想

函数中的分类讨论大致分为二类，一类是函数是分段函数，必须进行分类讨论；一类是数学的性质是分类的，典型的例子是含有参数的问题.

设g（t）=m2+tm+1=tm+（m2+1），t∈[-1，1]，

则g（t）min=h（m）=m2+m+1，m<01， m=0m2-m+1. m>0

若g（t）=m2+tm+1≥x1-x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，

则g（t）min=h（m）≥x1-x2max=3，解得m≤-2或m≥2，

因此，存在实数m≤-2或m≥2，使得不等式m2+tm+1≥x1-x2对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立.

点评：对于含有参数的二次函数的最值，必须进行分类讨论.

例2. 已知函数f（x）=-x3+ax2+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上上是增函数.

（1）求b的值，并求a的取值范围；

点评：当函数中含有参数时，函数的零点会随着参数的变化而变化，要结合函数图像及单调性来进行讨论.

二、不等式中的分类讨论思想

在导数这一类试题中，常常会遇到解含有参数的一元二次不等式时，这时，必须要用到分类讨论的数学思想.

点评：由于两根含有参数，不能确定大小，所以必须进行分类讨论.很多同学对含有参数的不等式不会因式分解，只会用求根公式，从而会给解题造成麻烦，求根公式中会出现绝对值.如何判断哪些一元二次不等式可以因式分解，哪些不可以因式分解呢？其实，只要判断该二次式的判别式是否是完全平方式，如是，必定可以进行十字相乘法的因式分解，如不是，只能用求根公式来求解.比如：解关于x的不等式x2+（a+2）x+2a>0中，判别式=（a-2）2，故可以用十字相乘法分解；解关于x的不等式x2+（a+2）x+a>0中，判别式=a2+4，故只能用求根公式来求方程的根.

三、圆锥曲线中的分类讨论思想

圆锥曲线中的分类讨论思想的主要表现在焦点在x轴或y轴，或是一个点在曲线的左支还是右支.

点评：仅仅由渐近线方程不能确定双曲线的离心率，必须分类讨论.这种类型的试题同学们容易漏解，复习时要引起注意.

故所求直线方程为3x-4y+5=0.

综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1.

点评：本题属于中等题，同学们很容易把斜率不存在的情况忽略.对于直线方程的假设大致有二种，一种是y-y0=k（x-x0），另一种是m（y-y0）=x-x0，前者不包括斜率不存在的情况，后者不包括斜率为零的情况，要视情况而定.

四、数列中的分类讨论思想

数列是一类特殊的函数，分类讨论的数学思想在数列中应用也是极为广泛.当数列中出现前n项和和数列通项，或者出现绝对值，或者出现奇偶性问题时，都得进行分类讨论.还有，在一个式子中，如果出现an，Sn，通过计算得到递推关系式，要不要讨论n=1的情况，也是同学们感到困惑的问题.

点评：当表达式中出现了n-1时，必须说明n≥2；如果表达式中没有包括n=1的情况，必须分类讨论；如果出现了（-1）n之类的，必须对整数的奇偶性进行讨论.

五、排列组合中的分类讨论思想

排列组合中最常用的方法是分类计数原理和分步计数原理，分类计数原理就是数学中的分类讨论思想.适当合理的分类，才能使问题变得简捷，易懂.

例7. 某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课个1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为 （用数字作答）.

点评：这是一道难度较大的高考题，难点在于如何分类，如果分类混乱，总是会漏算或重算.这里还要考查考生对排列组合中分步计算原理的应用，捆绑法的应用.

六、解三角形中的分类讨论思想

在解三角形中，常常会出现多解的情况，是不是每一个解都满足题意呢？这里需要用到分类讨论的数学思想.

点评：本题容易得到二个解，如果不注意一些细节，容易得到错误的答案.

（作者单位：汕尾市华南师大附属中学汕尾学校）

责任编校 徐国坚endprint