解析几何中有关参数范围问题的求解策略

刘源

解析几何中的参数范围问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，因而也是解几中的一个难点问题。这类问题往往运用函数思想、方程思想、数形结合思想等，将问题转化为求函数的值域或最值等来解决。

一、运用数形结合探求参数范围

例1、m为何值时，直线y=-x+m与半椭圆（y≥1）只有一个公共点？

分析：因为椭圆（y≥1）为半条曲线，若利用方程观点研究这类问题则需转化成根的分布问题，较麻烦且易出错，若用数形结合的思想来研究直观易解。如图1，l1、l2、l3是直线系y=-x+m中的三条直线，这三条直线是直线系中的直线与半椭圆交点个数的“界线”，在l1与l2之间的直线（含l1，不含l2）及l3都是与半椭圆只有一个公共点的直线，而m是这些直线在y轴上的截距，由此可求m的范围。

简解：l1过（，1） ∴ ∴

l1过（，1） ∴ ∴

（y≥1）

由 得到关于x的一元二次方程

y=-x+m

利用△=0得m=6. 综上所得，≤m< 或m=6。

例2.若直线mx+y+2=0与线段AB有交点，其中A（-2， 3），B（3，2），求实数m的取值范围。

解：如图2，直线mx+y+2=0过一定点C（0， -2），直线mx+y+2=0实际上表示的是过定点（0， -2）的直线系，因为直线与线段AB有交点，则直线只能落在∠ABC的内部，

设BC、CA这两条直线的斜率分别为k1、k2，则由斜率的定义可知，直线mx+y+2=0的斜率k应满足k≥k1或k≤k2， ∵A（-2， 3） B（3， 2）

∴

∴-m≥或-m≤即m≤-或m≥。

说明：此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0的斜率-m应为倾角的正切，而当倾角在（0°，90°）或（90°，180°）内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在∠ACB内部变化时，k应大于或等于kBC，或者k小于或等于kAC，当A、B两点的坐标变化时，也要能求出m的范围。

二、构造含参不等式探求参数范围

例3 . 已知抛物线 的顶点在原点，以双曲线的左准线为准线。

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若直线（）垂直平分抛物线C的弦，求实数k的取值范围。

分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，可以设法得到关于 的不等式，通过

解不等式求出k的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将 表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出k的范围。

解：（Ⅰ）双曲线的左准线方程是，

故抛物线C的方程为；

（Ⅱ）设抛物线C被直线l垂直平分的弦AB的方程为，

则…①

设、，则，，从而弦AB的中点，由此及点M在直线l上得：，代入①式得：，

解之得：，故实数k的取值范围是（-2，0）。

三、运用几何性质探求参数范围

例4.已知椭圆，A，B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P（x0，0），证明：.

分析：欲证x0满足关于参数a、b的不等式，须从题中找出不等关系，由椭圆的性质可知，椭圆上的点的坐标满足如下条件：-a≤x≤a，因此问题转化为寻求x0与x的关系。

简解：由题设知，点P在线段AB的垂直平分线上，所以|AP|=|BP|，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则有：（x1-x0）2+y12=（x2-x0）2+y22，因为点A、B在椭圆上，所以，

，从而由-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，可得：

。

四、构造方程运用判别式探求参数范围

例5. 直线的右支交于不同的两点A、B.

（I）求实数k的取值范围； （II）略.

解：（Ⅰ）将直线

依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故

例7.在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零.

（1）求向量AB的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；

（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围.

解：（1）设得所以v-3>0，得v=8，故AB={6，8}.

（2）由={10，5}，得B（10，5），于是直线OB方程：

由条件可知圆的标准方程为：（x-3）2+y（y+1）2=10， 得圆心（3，-1），半径为 .

设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x ，y）则

故所求圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=10.

（3）设P （x1，y1）， Q （x2，y2）为抛物线上关于直线OB对称两点，则

故当时，抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两点.