一道初中数学习题的拓广与证明初探

张宗相

【关键词】初中数学 习题 拓广 证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。

总之，在初中数学的问题解决中，我们要引导学生对问题会变、善变，深入挖掘课本中例题、习题的潜在功能，以点带面，不仅能提高学生学习数学的积极性与主动性，提高学习兴趣，最大限度地诱发学生的解题欲望，而且问题的拓广有利于培养学生的发散思维能力与创新思维能力，取得举一反三、触类旁通的教学效果。

【关键词】初中数学 习题 拓广 证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。

总之，在初中数学的问题解决中，我们要引导学生对问题会变、善变，深入挖掘课本中例题、习题的潜在功能，以点带面，不仅能提高学生学习数学的积极性与主动性，提高学习兴趣，最大限度地诱发学生的解题欲望，而且问题的拓广有利于培养学生的发散思维能力与创新思维能力，取得举一反三、触类旁通的教学效果。

【关键词】初中数学 习题 拓广 证明

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）04A-0080-02

随着新课程改革的不断深入，如何深化数学课堂教学改革，优化课堂结构，培养学生的思维创新能力，从而提高课堂教学质量，是当今数学课堂教学研究的一个重要内容。数学课堂的核心任务是让学生提出问题，培养他们养成勤提问的良好习惯，促进学生创新思维能力的发展。例题或习题的拓广无疑是培养学生提出问题的一个重要方式。教材中的例题、习题的拓广与证明是经过数学专家精心筛选出来的，具有经典性与代表性，理应引起我们一线教师的重视。现以新人教版八年级数学下册第122页的习题为例，探索本题的拓广与证明的方法。

问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F.

求证：AE=EF.（提示：取AB的中点G，连接EG）

说明：此题是人教版八年级数学下册第十九章《四边形》复习题中的拓广探究题（即第15题）。新人教版初中数学章节复习题分三个层次展开，循序渐进、由浅入深：复习巩固、综合运用、拓广探索。“复习巩固”环节是对本章基础知识与基本技能的重温与再现，旨在强化学生的“双基”；“综合运用”环节题是对知识在数学生活与实际生活中的应用，旨在培养学生应用所学知识解决实际问题的能力；而“拓广探索”环节不仅是对知识内涵的拓展，更是知识应用的外延，旨在培养学生的探究能力与创新能力。为了降低学生的解题难度，本题还进行了方法提示。

证明：取AB的中点G，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵点G、点E分别是AB、BC的中点

∴AG=BG=BE=CE

∴∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一：如图2，若E是线段BC上的一个动点，其他条件不变，则AE=EF吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：成立，证明如下：

在AB上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∴∠AGE=135°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠DCF=45°

∴∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°

∵∠AEF=90°，∠B=90°

∴∠CEF+∠BEA=90°，∠GAE+∠BEA=90°

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广一与原题相比，其最大的特点是由点E是线段BC的中点拓广为点E线段BC的上的一个动点，体现数学问题由“静”到“动”的变化，达到课堂活跃之功效，提升了学生学习数学的兴趣，培养了学生用动态的观点解决数学问题的能力。

拓广二：如图3，若E是线段BC延长线上的一个动点，其他条件不变，AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在BA的延长线上截取AG=CE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°

∵AG=CE

∴BG=BE，

∴∠AGE=∠CEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠B=∠AEF

∵∠GAE=∠B+∠AEB，∠CEF=∠AEF+∠AEB

∴∠GAE=∠CEF

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

本题在拓广一的基础上继续向外延伸，点E由在有限区间运动延伸到无限区间运动，让学生的发散思维能力达到了一个更广阔的空间，学生学习的积极性进一步高涨，变通能力得到了有效提高，解决问题的能力得到了加强。

拓广三：如图4，若E是线段CB延长线上的一个动点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CM的反向延长线于点F.

AE=EF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。

解：AE=EF成立，证明如下：

在AB的延长线上截取BG=BE，连接GE.

∵四边形ABCD是正方形

∴AB=BC，∠B=90°

∵BG=BE

∴AG=CE，∠BGE=∠BEG=45°

∵CF是正方形外角的平分线

∴∠MCN=45°

∴∠ECF=45°

∴∠AGE=∠ECF

∵∠AEF=90°

∴∠AEG=90°+∠GEF=90°+45°-∠CEF=135°-∠CEF

又∵∠CFE=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-∠CEF=135°-∠CEF

∴∠AEG=∠CFE

∵△AGE≌△ECF（AAS）

∴AE=EF

拓广三似乎与拓广二背道而驰，却能收到意外的效果。当点E是线段BC的反向延长线上的一个动点时，学生的好奇心再次被激发，求知欲得到增强。在教师的引导下，学生通过猜想、探索、讨论、对比、验证，由“山重水复”到“柳暗花明”，最后享受到成功的喜悦。

从以上三个拓广题的证明过程来看，用到了分类讨论的思想，其解题思路与方法看似不同，其结果却是殊途同归——证明两个三角形全等。而辅助线的作法又是那么相似，例如拓广二中的点E在线段BC的延长线上，则其解题策略是在线段BA的延长线上截取AG=CE，而拓广三中当点E在BC的反向延长线上时，其解题策略是在BA的反向延长线上取截取BG=BE。通过这种解题方法的指引，让学生掌握类比探究的解题方法，达到了教是为了不教的教学效果。

总之，在初中数学的问题解决中，我们要引导学生对问题会变、善变，深入挖掘课本中例题、习题的潜在功能，以点带面，不仅能提高学生学习数学的积极性与主动性，提高学习兴趣，最大限度地诱发学生的解题欲望，而且问题的拓广有利于培养学生的发散思维能力与创新思维能力，取得举一反三、触类旁通的教学效果。