一阶线性微分方程的求解技巧

魏建刚

（平顶山工业职业技术学院文化教育部，河南 平顶山 467001）

一阶线性微分方程的求解技巧

魏建刚

（平顶山工业职业技术学院文化教育部，河南 平顶山 467001）

本文主要介绍了一阶线性微分方程的三种解法：常数变易法，积分因子法，变量替换法。通过这些方法的介绍，学生可根据自己的喜好选择不同的解题方法，这样既丰富了学生的解题思路，又培养了学生的钻研能力。

常数变易法；积分因子法；变量替换法

一阶线性微分方程在实际中有着广泛的应用，在很多领域内都起着十分重要的作用。下面介绍一阶线性微分方程的一些求解技巧。

的微分方程称之为一阶线性微分方程，其中P（x），Q（x）在考虑的区间上是x的连续函数。

称之为一阶齐次线性方程

若Q（x）≠0，方程（1）称为一阶非齐次线性方程

方程（2）是一个变量分离方程，它的通解为y=CeʃP（x）dx，这里C为任意常数。一阶齐次线性方程的解法已经成熟，这里就不再详细赘述。接下来重点介绍一阶非齐次线性方程的解法。

1 常数变易法

观察方程（1）和（2），不难发现二者既有相似之处，又有不同。显然方程（2）的通解不是方程（1）的解，不妨将方程（2）的解y=CeʃP（x）dx中的常数C变易为待定函数C（x），并使它满足方程（1），从而求出C（x）。为此，

因为方程（3）满足方程（1），那么有

将（4）代入（3）即得方程（1）的通解为

常数变易法是解一阶非齐次线性微分方程的重要方法，在学多教材都有提到，但是该方法中把一阶齐次线性方程的解中任意常数C变易成待定函数C（x），使之成为一阶非齐次线性方程的解，令很多同学大感疑惑。接下来我们就通过介绍另外一种解法来规避这种疑惑。

2 积分因子法

将方程（1）改写成

根据恰当方程中的叙述，可令M=P（x）y+Q（x），N=-1

根据微分的性质，可将上式写成

积分因子法是建立在积分和微分知识基础上的一种解法，借助积分因子将一个一阶非齐次线性方程化成全微分的方程，进而利用积分求解。接下来看看能否从导数的知识中寻求解法。

3 变量替换法

此时y对x的导数就变为u对x的导数和v对x的导数。将（6）代入方程（1），化简得

变量替换法实际上是通过变量替换把一个不能直接分离变量的微分方程化成两个可以直接分离变量的微分方程，简单明了，学生也更容易掌握和理解。

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M]，北京：高等教育出版社.

[2]郑丰杰.论一阶线性微分方程中的常数变易法[J]，理论广角，2007.

[3]陈伟.解一阶线性常微分方程的积分因子法[J]，高等数学研究，2008.

O175

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1671-0037（2014）05-110-1

魏建刚（1984.9-），理学硕士，应用数学专业，研究方向：应用数学。