惯量张量并矢式及其应用

李文略

(湛江师范学院 基础教育学院，广东 湛江 524037)

惯量张量并矢式及其应用

李文略

(湛江师范学院 基础教育学院，广东 湛江 524037)

对惯量张量并矢式进行改造，得到新的惯量张量并矢式.新的并矢式有助于理解惯量张量的不变性.给出算例，计算出匀质长方体刚体对过定点的任意转轴、对其面对角线、体对角线和匀质圆锥体对其母线的转动惯量.

惯量张量并矢式；主轴坐标系；转动惯量；长方体刚体；圆锥体刚体

惯量张量是以纯矩阵的形式表示的[1-4].惯量张量除了用纯矩阵的方法表示，还可以用并矢式表示.文献[5]提出了惯量张量的并矢式，但并未做太多的讨论.其实，惯量张量并矢式对学生理解惯量张量，特别是惯量张量对定点的不变性是非常有帮助的.引用黄宝宗先生的话[6]:“张量……特别是并矢记法，既在总体上有不变性特点，又包含了标架和分量，因此更便于初学者在张量运算中应用.”本文将在文献[5]的基础上改造惯量张量并矢式，得到新的惯量张量并矢式，阐述其物理含义.由新的惯量张量并矢式还能得到计算一类匀质刚体转动惯量的新方法.给出算例，计算出匀质长方体刚体对过定点(质心)的任意轴、对其面对角线和其体对角线的转动惯量以及匀质圆锥体对其母线的转动惯量.

1 新的惯量张量并矢式及其物理含义

刚体(分立系统)对于定点(坐标原点)惯量张量并矢式定义为[5]

(1)

惯量张量并矢式(1)以简洁的形式出现，可对式(1)进行矩阵改造如下，

(2)

若刚体的质量连续分布，则式(2)写为

(3)

(4)

由式(3)和(4)，可得

(5)

2 算例

对于一类匀质、对称性高的刚体，很容易找出其主轴坐标系并计算出其主转动惯量，即确定刚体在主轴坐标系下的惯量张量并矢式.以此为基础，应用主轴坐标系与任意坐标系之间的转换关系，可简捷地计算出刚体对过定点的任意转轴的转动惯量，从而避免繁琐的积分计算.现以匀质长方体刚体和圆锥体为例，用本文的方法计算匀质长方体对过原点的任意轴，对面对角线、体对角线和匀质圆锥体对其母线的转动惯量.

2.1 匀质长方体刚体的转动惯量

(6)

图1 长方体刚体Fig.1 Rectangular rigid body

(7)

将式(6)代入式(7)中，进行矩阵运算得

(8)

结合式(8)与图2进行以下讨论.

图2 主轴坐标系转动示意图Fig.2 Rotation diagram of coordinates of principal axes

2.2 匀质圆锥体对母线的转动惯量

(9)

图3 圆锥体刚体Fig.3 The cone body

(10)

3 结语

现行的理论力学教材比较注重惯量张量的正定特性，并以此为基础进行主轴变换，使惯量张量对角化，得到主轴坐标系和主转动惯量.本文对惯量张量并矢式进行了改造，新的惯量张量并矢式能使学生加深对惯量张量定点不变性的理解，并易于计算一类匀质刚体的转动惯量，可作为惯量张量教学上的补充.文中给出了算例，计算了匀质长方体刚体对过定点的任意轴、对面对角线、体对角线的转动惯量和匀质圆锥刚体对母线的转动惯量，所用的方法不同于传统的定义积分法和惯量主轴法，拓宽了学生的解题思路.

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The Dyadic of Inertia Tensor and Its Application

LI Wen-lue

(CollegeofBasicEducation，InstituteofZhanjiangNormalUniversity，Zhanjiang524037,China)

A novel dyadic of inertia tensor, which contributes to the students’ understanding of the invariance and easy application of Inertia Tensor, is obtained by modifying the old one. The moment of inertia tensor of any rotating shaft, opposite diagonal, body diagonal of a homogeneous rectangular rigid body and that of generatrix of a homogeneous cone are calculated by exemplifying.

dyadic of inertia tensor； coordinates of principal axes； moment of inertia； rectangular rigid body； cone rigid body

2014-06-28

湛江师范学院基础教育学院科研资助项目成果之一(XM1302)

李文略(1981—)，男，广东茂名人，湛江师范学院基础教育学院讲师.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.012

O313.3

A

1007-0834(2014)04-0047-05