基于L1范数变分模型的高密度椒盐噪声滤波

王益艳

(四川文理学院物理与机电工程学院，四川达州635000)

基于L1范数变分模型的高密度椒盐噪声滤波

王益艳

(四川文理学院物理与机电工程学院，四川达州635000)

针对现有图像滤波算法在去除高密度椒盐噪声方面的不足，提出了一种基于L1范数变分模型的去噪算法.该算法首先根据椒盐噪声的特点和像素的局部灰度特征分离出噪声点和信号点，在滤波过程中，对信号点不予处理，而对噪声点采用基于L1范数的变分模型进行恢复.由于椒盐噪声的灰度值与原始像素无关，因此，去噪时只利用噪声点邻域内信号点本身的灰度信息，并将已处理过的噪声点当作新的信号点，以避免对下一像素滤波时的影响.最后通过仿真实验，结果表明，在高密度噪声条件下(>50%)，该算法的噪声去除能力和细节保护能力均可获得令人满意的结果.

图像去噪；椒盐噪声；噪声检测；L1范数；变分模型

0 引言

图像去噪一直是图像处理领域的热点研究课题，其挑战在于去除噪声的同时要求有效保护图像的边缘细节.椒盐噪声是最常见的一种噪声，它通常表现为图像邻域的灰度极值，且噪声像素的灰度值与相邻的未污染像素的灰度值无关.对椒盐噪声的去除常采用中值滤波方法，但传统中值滤波受滤波窗口的影响，在细节保护与噪声去除方面无法同时兼顾，当噪声密度大于50%，噪声会滤除不干净.[1]后来，人们提出了一些新的改进算法，如Hwang 等人提出了自适应中值滤波器，[2]Wang等人提出了递归开关中值滤波算法，[3]Eng等人提出了自适应软开关中值滤波算法，[4]国内刑藏菊等人提出了基于极值中值的滤波算法.[5]上述方法的主要思想是先通过检测方法对噪声点标记，然后只对标记的噪声点进行去噪处理.由于该类方法对非噪声点信息予以了保留，其滤波性能得到大大改善.但在高密度(>50%)噪声情况下，中值滤波算法所依赖的原始信息受到了极大的干扰和破坏，导致滤波后图像比较模糊.近年来，部分学者借鉴变分偏微分方法在去噪后对图像细节保持较好优点的基础上，提出了各种针对椒盐噪声的变分正则迭代滤波算法，[6-8]但这些方法在对代价函数最小化的过程中需要求解非线性方程，计算量通常都比较大，同时，在去噪时让噪声点参与了滤波，这对于大量噪声点汇集在一起的区域范围滤除效果不好.[8]基于此，本文提出了一种基于L1范数变分模型的改进算法.首先采用自适应中值方法对噪声进行第一次检测，确定候选噪声点，然后再根据估计的噪声大小，看是否需要利用像素的局部邻域信息对噪声点进行二次判断，以提高噪声检测精度.在滤波过程中，采用基于L1范数变分模型对噪声点进行恢复，而对信号点予以保留.同时，对变分模型中的数据保真项进行了改进，去噪时不再重复使用噪声点的灰度信息，并将已处理过的噪声点当作新的信号点，以避免对下一像素滤波产生影响.最后通过大量仿真实验证明了本文算法的有效性，实验对比结果表明，在噪声密度较高的情况下，其性能指标优于其它几种改进的中值滤波算法.

1 本文算法

1.1L1范数变分去噪模型

首先，给出椒盐噪声的理论模型，其表达式如下[1]：

(1)

上式中，xi,j为真实图像，yi,j为加噪后的图像，噪声密度p∈[0,1].下图1给出了一幅常值图像添加噪声后的实验结果，从其直方图可以明显看出，椒盐噪声表现出灰度极值性.

(a)常值图像 (b)噪声图像 (c)图(a)的直方图 (d)图(b)的直方图

图1 对常值图像添加椒盐噪声(50%)实验结果

近年来，基于变分偏微分方程方法在图像处理领域得到了广泛应用.这类方法将去噪问题建模为对图像的能量泛函最小化，其表达式如下：

(2)

(3)

1.2 噪声检测

设矩阵uM1M2表示大小为M1×M2的待检测的噪声灰度图像，用A表示里面全部像素的集合，A={(i,j)|1iM1,1jM2;M1,M2∈Z+}.ΨM1M2为噪声标识矩阵，其元素用 “1”和“0”表示.

(1)第一次噪声检测：

(4)

按下式估计图像的噪声密度τ：

(5)

若τ超过某给定阈值τ0，则将候选噪声点视为真正噪声点；否则，对其进行二次检测.

(2)第二次噪声检测

对所有满足Ψi,j=1的候选噪声点，定义窗口w×w内所有信号点的均值为：

(6)

其中，W表示窗口w×w内所有信号点的个数，u(i+r,j+r)表示窗口内的信号点.

(7)

本文对T采用窗口w×w内所有信号点的均方差进行定义：

(8)

1.3 噪声恢复

噪声检测结束后，设噪声点集合满足如下定义：

(9)

未受污染的信号点像素集合为N0=AN.对信号点保留灰度值不变，而对噪声点则采用式(3)的L1范数变分模型进行恢复.根据椒盐噪声的特点可知，[1]噪声点的灰度值与相邻的未污染像素的灰度值无关，为避免噪声点对恢复结果的影响，本文对式(3)中的数据保真项作如下改进：

(10)

上式中，λ0满足：

(11)

对式(10)根据梯度下降原理和时间步进法进行数值化，其迭代形式为：

(12)

其中η为图像的梯度方向，ξ为与η垂直的切线方向，uξξ和uηη分别表示u在ξ和η方向上的二阶导数，δt为时间步长.由于在实际计算过程中，我们只需要对N中的像素点进行操作，所以，式(12)可简化为：

(13)

(14)

采取镜像对称的方法对边界像素点进行扩展处理.具体实现过程如下：u0,j=u1,j，uK+1,j=uK,j，ui,0=ui,1，ui,L+1=ui,L.

2 实验结果与分析

(15)

为了验证本文算法的有效性，我们进行了大量仿真实验.实验参数ζ取10-6，噪声阈值τ0取0.4，时间步长δt取0.02，提升参数ε取0.001.对测试图像“peppers”添加密度大小为70%的椒盐噪声，分别采用传统中值滤波(TM)、AM[2]、PSM[3]、SM[4]、EM[5]和本文算法对其进行处理，以峰值信噪比(PSNR)作为滤波性能的客观评价指标，实验结果如图2所示.图3为不同噪声条件下，各种滤波算法恢复的peppers图像的PSNR值对比结果.

(a)原始图像 (b)噪声图像 (c)TM算法 (d)AM算法[2]

(e)PSM算法[3](f)SM算法[4](g) EM算法[5](h)本文算法

图2 在高密度噪声(70%)条件下，各滤波算法恢复的peppers图像效果比较

图3 不同噪声条件下，各滤波算法恢复的peppers图像的PSNR值对比结果

从上述实验结果可以看出，本文算法不论滤波视觉效果还是评价指标参数都明显优于其它几种滤波算法.在图像被高密度噪声污染的情况下，该方法都能有效滤除噪声，并较好保护图像的细节，而其它几种算法滤除噪声不彻底.并且本文算法对应的PSNR值在不同噪声密度的情况下变化比较平稳，因此，与其它算法相比，本文算法还具有对噪声的鲁棒性更强的优点.

3 结束语

本文借鉴变分方法的思想，提出了一种针对椒盐噪声的L1范数变分滤波算法.该算法通过研究椒盐噪声的特点，设计了一种二次噪声检测方法，以提高噪声检测的准确度.在噪声恢复过程中，充分考虑了图像整体和局部信息，对噪声点采用了基于边缘保持和正则化的L1范数变分方法进行处理，而对信号点则保留其灰度值不变.同时去噪时只利用噪声点邻域内信号点本身的灰度信息，并将已处理过的噪声点当作新的信号点，以避免对下一像素滤波产生影响；另一方面通过采用变分方法，在有效滤除噪声的同时能更好的保护图像细节.实验结果表明，在高密度噪声条件下(>50%)，该算法的噪声去除和细节保护能力均可获得令人满意的结果.与传统中值滤波及其它改进中值滤波算法相比，无论是主观视觉效果还是峰值信噪比方面，该算法都明显更优.

[1] Gallagher Jr N C, Wise G L.Atheoreticalanalysisofpropertiesofthemedianfilters[J]. IEEE Trans. On Acoustics Speech, Signal Processing, 1981(1): 1136-1141.

[2] Hwang H, Haddad Ra.Adaptivemedianfilters:newalgorithmsandresults[J]. IEEE Transactions on Image Processing, 1995(4)：499-502.

[3] Wang Z, Zhang D.Progressiveswitchingmedianfilterfortheremovalofimpulsenoisefromhighlycorruptedimages[J]. IEEE Trans Circuits and System-II: Analog and Digital Signal Processing, 1999(1): 78-80.

[4] Eng H L, Ma K K.Noiseadaptivesoft-switchingmedianfilter[J]. IEEE Trans Image Process, 2001(2): 242-251.

[5] 刑藏菊，王守觉，邓浩江，等．一种基于极值中值的滤波算法[J]．中国图象图形学报，2001(6)：533-536．

[6] CHAN R H, HO C-W and NIKOLOVA M.Salt-and-peppernoiseremovalbymedian-typenoisedetectorsanddetail-preservingregularization[J]. IEEE Trans Image Processing, 2005(3): 1470-1485.

[7] WANG Chao, YE Zhong-fu.Salt-and-peppernoiseremovalbyadaptivemedianfilterandTVinpainting[J]. Journal Of university of science and technology ofChina, 2008(3): 282-287.

[8] 王 暄，毕秀丽，马建峰．基于二次噪声检测和细节保护规则函数的图像滤波算法[J]．电子学报，2008(2)：381-385．

[9] Teboul S, Laure B F, Aubert G et al.Variationalapproachforedge-preservingregularizationusingcoupledPDE’s[J]. IEEE Trans Image Processing, 1998(3): 387-397.

[10]邵文泽，韦志辉．一种非线性数字滤波器的统一设计框架及其性能分析[J]．计算机学报，2007(1)：91-102．

[11]S. H. Lee, J.K. Seo.NoiseremovalwithGausscurvature-drivendiffusion[J]. IEEE Transaction on Image Processing, 2005(7)：904-909.

[责任编辑 邓 杰]

Image Filtering Algorithm for High Density Salt-and-Pepper Noise Based on L1 Norm Variational Model

WANG Yi-yan

(Physics and Electronic Engineering Department of Sichuan University of Arts and Science, Dazhou Sichuan 635000, China)

The major drawback of recent image filtering algorithms is lack of the ability of removing high density salt-and-pepper noise. To alleviate this limitation, a new denoising algorithm based on L1 norm variational model was proposed. Firstly, according to the characteristics of salt-and-pepper noise and local grayscale feature of pixels, this algorithm separates noise points and signal points. The signal points were not treated during the filtering process, while the noise points were recovered by theL1 norm variational model. We do not use the grayscale information of noise point itself to remove noise because the gray value of salt-and-pepper noise is not related to the original pixel. Meanwhile by transforming the noise points into signal points we could avoid the noise spreading in the neighborhood. The experimental results show that the proposed algorithm has the ability of removing noises and preserving the partial details of images in comparison with some recent methods when the noise density is very high (>50%).

image denoising; salt-and-pepper noise; noise detection; L1 norm; variational model

2013-11-13

王益艳(1982—)，男，湖北咸宁人.讲师，硕士，主要从事信号与图像处理研究.

O59

A

1674-5248(2014)02-0046-04