道耳顿分压定律在重力场中的统计证明

邓发明,邓显菊,杨海燕

(四川民族学院数学系，四川康定626001)

道耳顿分压定律在重力场中的统计证明

邓发明,邓显菊,杨海燕

(四川民族学院数学系，四川康定626001)

在热力学中，理想混合气体所组成的宏观热力学系统遵从道耳顿分压定律；若混合气体不是理想气体，由于气体分子要受到重力场作用，当热力学系统达到平衡态时，分子数密度并不均匀，宏观热力学系统不是严格遵从道耳顿分压定律的.如果把整个热力学系统按重力场方向分割成一系列的微观型的热力学系统，这样的微观型系统却是遵从道耳顿分压定律的.运用气体分子动理论和玻耳兹曼速度分布律，对重力场中的微观型热力学系统所遵从的道耳顿分压定律进行了统计证明.

分子动理论；道耳顿分压定律；重力场；玻尔兹曼速度分布律

0 引言

热力学中道耳顿分压定律是指混合气体达到平衡态时系统的总压强等于各组份气体单独存在且达到平衡态时的分压强之和，可直接运用理想气体状态方程和阿伏伽德罗定律导出该定律.[1-3]

混合气体若是理想气体，因理想气体分子在热力学系统中不受重力场作用，因此当宏观热力学系统达到平衡态时，各组份气体在热力学系统中分子的分布不随时间发生改变，且是呈均匀分布的，在此状态下，文献[4]利用麦克斯韦速度分布律统计证明了宏观热力学系统的总压强等于各组份理想气体单独存在时的各自分压强之和；若混合气体不是理想气体时(如实验室中常见的一些气体)，因气体分子要受到重力场作用，当宏观热力学系统达到平衡态时，宏观热力学系统各组份气体分子的数密度是随高度而发生变化的，宏观热力学系统的总压强也是随高度不同而发生变化的，显然，宏观热力学系统就不是严格遵从道耳顿分压定律.如果把整个宏观热力学系统按重力场方向水平分割成一系列的微观型热力学系统，则可以考查处于某一高度(重力场方向坐标设为z)处微观型热力学系统的总压强与该微观型热力学系统各组份气体分子单独存在时的分压强之间的内在关系.

下面，运用玻尔兹曼速度分布律和气体分子动理论统计得到混合气体受重力场作用处于平衡态时，其微观型热力学系统在高度为z处的总压强p(z)和各组份气体的分压强pi(z)，并对得到的重力场中微观型热力学系统是遵从道耳顿分压定律这一结论进行统计证明.

如图1所示，设在某容器中贮有一定量的多种混合的气体达到某平衡态时，温度为T，体积为V，在高度为z处的总压强为p(z)；混合气体在高度为z处各组份单位体积内的分子数分别为n1(z),n2(z),…,ni(z),…，各组份中分子质量分别为m1,m2,…,mi,….计算混合气体在容器高度为z处内壁上一个面积微元dS处产生的压强，(设面积元dS在x=a的yz平面上).

1 混合气体处于平衡态时，第i组份气体中单个分子与位于高度为z处的容器内壁x=a,y～y+dy,z～z+dz其面积为dS=dydz(如图1所示)相碰撞后获得的冲量

图1 面积元dS位置示意图 图2 气体分子与器壁的碰撞

2 第i组份气体在dt时间内、速度介于且能与位于高度为z处容器内壁dS碰撞的所有分子获得的冲量

dNi(z)=

(1)

(2)

(3)

碰撞后获得的冲量为：

(4)

3 混合气体中各组份气体坐标位于a～a+dx,y～y+dy,z～z+dz、速度介于、且在dt时间内与高度为z处的器壁面积元dS发生碰撞后获得的冲量

对(4)式求和：

(5)

4 混合气体中位于a～a+dx,y～y+dy,z～z+dz体积内的各种速度分子在dt时间内与高度为z的器壁面积元dS发生碰撞后获得的总冲量

考虑到只有vx>0的分子才能与面积元dS发生碰撞、而vy和vz是可任意取值的；因此，在dt时间内与位于高度为z处的器壁面积元dS发生碰撞后获得的总冲量为：

(6)

5 混合气体的总压强

根据压强的定义，并结合冲量的定义和牛顿第三定律，可得混合气体对位于高度为z处的容器内壁产生的总压强为：

(7)

(8)

因速度分布函数满足归一化条件，即：

故(8)式可简化为：

(9)

将(9)式代入(7)式可得：

(10)

由于pi(z)=ni(z)kT表示第i组份气体分子对位于x=a,y～y+dy,z～z+dz容器壁面积元dS=dydz处产生的压强[1]，也可视为对容器壁位于高度为z处产生的压强，将pi(z)=ni(z)kT代入(10)式可得：

(11)

(11)式表明：混合气体受到重力场作用达到平衡态时，相对于容器底部高度为z的容器内壁受到混合气体的总压强等于各组份气体在单独存在时对该处的分压强之和.

6 结论

重力场中的宏观热力学系统，由于气体分子要受到重力场作用，当宏观热力学系统达到平衡态时，宏观热力学系统各组份气体分子的数密度要随高度而发生变化，宏观热力学系统的总压强也将随高度不同而发生改变，整个宏观热力学系统并不严格遵从道耳顿分压定律.但若把整个宏观热力学系统按重力场方向水平分割成一系列的微观型热力学系统，则每一个微观型热力学系统的总压强是等于该微观型热力学系统各组份气体分子单独存在时的分压强之和的.也就表明：处于重力场中的宏观热力学系统达到平衡时，沿重力场方向各个微观型热力学系统是遵从道耳顿分压定律的，或者说：重力场中的宏观热力学系统处于平衡时，沿重力场方向某高度处的总压强等于同一高度处各组份的分压强之和.

[1] 李 椿，章立源，钱尚武．热学[M]．北京：高等教育出版社，1979:91-93.

[2] 黄淑清，聂宜如，申先甲．热学教程(第二版)[M]．北京：高等教育出版社，1994：201-202.

[4] 邓发明．道耳顿分压定律的统计证明[J]．内江师范学院学报，2011(6):84-85.

[5] 王长明．理想气体状态方程的统计证明[J].甘肃联合大学学报，2005(3)：35-36．

[6] 邓发明．气体实验三定律的统计证明[J]．四川文理学院学报，2011(5)：44-46.

[责任编辑 邓 杰]

Statistical Demonstration of Dalton's Law of Partial Pressures in gravity field

DENG Fa-ming, DENG Xian-ju, YANG Hai-yan

(Mathematics Department of Sichuan Nationalities University, Kangding Sichuan 626001, China)

In Thermodynamics, the Macro-thermodynamical system which is formed by ideal mixture gas obey Dalton's Law of Partial Pressures; If the mixture is not an ideal gas, Since the molecules of a gas are subject to the action of gravity field, When the thermodynamical system reaches the equilibrium state, molecular number density is not uniform, so the Macro-Thermodynamical system does not follow the Dalton's Law of Partial. But if splitting the whole Thermodynamical system into a series of Micro-Thermodynamical system in accordance with the direction of the gravity field, the Micro-Thermodynamical system follow Dalton's Law of Partial Pressures. In this paper, the Theory of Molecular Dynamics and Boltzmann Velocity Distribution Law are applied to statistically prove Dalton's Law of Partial Pressures followed by the Micro-thermodynamic system in gravity field.

Theory of Molecular Dynamics; Dalton's Law of Partial Pressures; Gravity field; Boltzmann Velocity Distribution Law

2013-11-27

2013年四川省教育厅自然科学重点项目“热力学中实验定律的统计证明”(13ZA0138)

邓发明(1966—)，男，四川达州人.副教授，硕士，主要从事热力学与统计物理学研究.

O551

A

1674-5248(2014)02-0034-04