门式刚架结构的可靠度分析

摘 要：对某单层厂房的钢筋混凝土门式刚架结构，本文从结构失效模式、极限状态方程（功能函数）、功能函数的相关性、可靠指标（失效概率）求法等方面论述了对其中的一榀门式刚架进行可靠度分析。

关键词：门式刚架结构；可靠度分析

引言

目前，结构设计规范只考虑结构的一个部件，一个截面或者一个局部区域的可靠度，还没有考虑整个结构体系的可靠度。事实上，一个结构往往是由许多构件或者部件组成；特别是抗震结构，一个截面、一个部件或者局部的损坏，并不标志整个结构体系的倒塌。所以基于结构体系的可靠度研究更有实际意义。

1.结构失效模式

刚架的失效一般是逐步形成塑性铰，从而成为机构造成的。刚架失效即机构的形成一般按以下方式产生：当某一截面失效后，在该截面形成塑性铰，从而形成了新的结构形式，结构总刚度有所降低，并且内力发生重分布，以至于下一个塑性铰出现。照此下去，当机构出现时，结构体系的刚度为零。此外，对于超静定次数为r的结构，当塑性铰个数达到r+1时，结构的自由度为1，属于可变体系，从而形成了机构。

刚架的失效机构可以认为是由一些基本机构的线性组合而成的。设刚架可能形成的基本机构数为N，则N=可能塑性铰个数-刚架的多余约束数。有N个基本机构的刚架体系，其单自由度失效机构模式有2N-1种，在实际分析中，它们有的可能违反运动学的约束定理；有的可能违反实际构件抗力完全相关的假设；有的由于机构本身可靠度很高，几乎不能发生等等，因此，实际考虑的主要机构远远小于2N-1个。超静定刚架可靠度的分析， 关键是寻找主要机构。

若结构中任一构件失效，则整个结构体系失效，具有这种逻辑关系的结构系统可用串联模型表示，所有的静定结构的失效分析均可采用串联模型。若结构中所有单元失效，则该结构体系失效，具有这种逻辑关系的结构系统可用并联模型表示，超静定结构的失效可用并联模型表示。实际的超静定结构通常有多个破坏模式，每一个破坏模式可简化为一个并联体系，而多个破坏模式又可简化为串联体系，这就构成了混联模型。因此，我们可以把上述门式刚架结构看成是串-并联系统。

2.极限状态方程

2.1 静定结构

在静定刚架结构体系中，任何一构件的失效都将引起体系的失效，因此，其失效概率为各构件失效事件和的概率。设一静定结构体系，由n个构件组成，并分别用E1，E2…En表示各个构件的失效事件， 则体系的失效概率为：

（1）

其可靠度表达式为： （2）

静定结构体系可靠度同组成该体系的各构件的可靠度直接相关。因此，要计算静定结构体系的可靠度，首先要计算各构件的可靠度。设某构件的抗力为Ri，承受的荷载效应为Si则该构件的功能函数为 （3）

显然， 时，该构件失效， 就是该构件的极限状态方程。

2.2超静定结构

与静定结不同，超静定结构体系中某个或某些构件的失效未必引起整个体系的失效。因此，需要考虑各种失效状况的组合问题。设结构体系可能形成的机构有n种，每种机构对应的失效事件为Ei，这样便存在E1，E2…，En种失效事件，而结构体系破坏概率就是各失效事件和的概率。由于超静定结构体系的可靠度同各种可能机构的可靠度有关，因此，要计算超静定结构体系的可靠度，首先应计算各种可能机构的可靠度。同静定结构体系可靠度求解方法一样，为求超静定结构体系的可靠度，首先要建立机构功能函数的表达式，以建立求解该机构可靠度的极限状态方程。为此，对某种可能的机构，利用虚功原理，建立的一般形式为：

（4）

式中 为第P截面的抗力； 为作用在第i机构的第m个荷载； 为第i机构与 对应的抗力效应系数； 为第i机构与 对应的荷载效应系数。

显然， 时，该构件失效， 就是该构件的极限状态方程。

对于具有n个可能机构的结构体系，其失效概率为：

（5）

3.功能函数的相关性

实际上，刚架各构件间及作用其上的随机变量并非孤立的， 而是相互联系的。反映这个关系的是功能函数的相关性。设两功能函数Zi和Zj相关，功能函数中含多个统计独立的随机变量R和S，函数Zi、Zj分别为：

（6）

则其相关系数为：

（7）

同一结构系统中两种失效形式的相关性可按相关系数的大小分为高级相关与低级相关。通常定义 为高级相关； 为低级相关。 为临界相关系数，可根据结构的重要性与经济性修正，一般取 。

当 时，可以用一种形式代替另一种失效形式，这样就可使结构系统的可靠度分析简化。

当 时，必须考虑各种失效形式对结构系统失效的影响。

4.刚架体系失效概率的计算方法

4.1结构体系可靠度的一般界限范围

在一般情况下，结构体系的失效概率是处在结构体系机构间完全相关与完全独立之间的，因此，红华生和阿明主张用这两种极端情况作为结构体系失效概率的界限范围即

（8）

如果Pfi很小，有 ，则

（9）

此法可用于估算具有较少控制机构下结构体系失效概率 的界限范围。当机构数目多或 非足够小时，该法算出的界限范围往往偏大。但由于方法简单明了，该法常被用于结构体系可靠度的初始检验。

4.2结构体系可靠度的窄界限范围

针对一般界限法中存在的范围过宽的问题，O.Ditleven于1979年导出了结构体系失效概率的窄界限范围公式。

设结构体系的n个机构的事件为E1、E2、…、En，根据概率论，地特里文导得如下的结构体系失效概率界限范围式：

（10）

式中 为共同事件 的概率，当所有随机变量都是正态分布且相关系数 时，借助于机构i、j的可靠指标 和 ，由式

（11）

确定，式中：

（12）

（13）

具体计算时，可先求出 代替（11）左边的 ，再求出 代替（11）右边的 ，以近似地获得体系的失效概率 的界限范围。

4.3 PNET法

PNET法也就是概率网络估算技术，PNET法的基本原理是认为所有主要的机构可以用其中的m个所谓代表机构来代替。这些代表机构是由所有主要机构通过下述原则选择出来的，即把主要机构分为几个组， 在同一组中各机构与一代表机构高级相关，这个代表机构就是改组所有机构中失效概率最高的机构。从相关条件知，它可以代表改组所有机构的失效概率。在计算时，假定不同组间的代表机构是统计独立的，根据上述原则，设m个代表机构中，第i个机构的破坏概率为，则结构体系的可靠度为

（14）

对应的失效概率为

（15）

当很小时，上式可近似地写成

（16）

PNET法计算刚架结构体系可靠度的主要步骤如下：

（1）列出主要失效机构及相应的功能函数 ，然后用一次二阶矩法求各可靠指标 。把 由小到大进行排列，并将所得序号作为机构排列次序的依据。

（2）选择定限相关系数 值以作为判别各机构间的相关程度的依据。

（3）寻找m个代表机构。取1号机构（与最小可靠指标对应）作为第一代表机构，然后用式（7）计算它与其余机构的相关系数 。如果 ，则认为第i机构与1号机构高级相关，因而可为1号机构所代替；如果 则认为第i机构与1号机构低级相关，不能互相代替。再从剩下的机构中找出可靠指标最小者作为第二个代表机构，并找出它所代替的机构。重复以上步骤，直到完成最后一个机构为止。

（4）最后，用式（14）、（15）计算结构体系的可靠度或失效概率。

4.4蒙特卡罗法

当所求结构体系的所有可能机构已被识别之后，蒙特卡罗法求其可靠度的步骤如下：

（1）对于结构体系中每一随机变量的分布，利用随机数产生器或随机数表产生一随机数。用这些随机数产生结构体系中的荷载效应与抗力值，从而就所有的可能机构计算器功能函数 值。在m个功能函数中，每次抽样一般来说都是从第一

个进行到第m个，但当出现函数值小于零时，该次抽样即可中间停止。那些与负的功能函数值对应的可能失效机构，即为实际破坏机构。

（2）重复步骤1的计算，设进行过n次抽样，并记录实际失效的样本数m。

（3）把实际失效机构样本数m除以总样本数n，即得结构体系的失效概率 。 （17）

（4）为了减少样本数不足引起的误差，蒙特卡罗法的样本数n必须大于引起一次 所需要的平均样本数的100倍，即

（18）

5.算例

求解如图a所示门式刚架的可靠度。设已知各随机变量及统计量如下：

弯曲抗力M1=（498，74.7）kN。m

弯曲抗力M2=（664，99.5）kN。m

荷 载P1=（454，45.4）kN

荷 载P2=（227，68）kN

L1=4.58m，L2=7.1m，

在同一杆中所有截面的抗力满足完全相关的条件下，本刚架可能出现的塑性铰如图b所示，一共有7个，由于刚架有3个多余约束，因此，基本机构数为7-3=4。而可能机构总数有24-1=15。通过各方的比较分析之后，得出如图c所示6种主要失效模式。模式①的塑性铰为1，4，6，7；模式②的塑性铰为1，2，6，7；模式③的塑性铰为1，4，5，7；模式④的塑性铰为3，4，5；模式⑤的塑性铰为1，3，5，7；模式⑥的塑性铰为2，4，6。我们可以把上述刚架结构看成是串-并联系统，如图d所示。

在列出的各机构的功能函数、算出对应的可靠指标和失效概率之后，依可靠指标的大小反向排列于表1中

用式（7）算得各机构功能函数间的相关系数见表2中

下面就不同的结构体系可靠度计算方法计算本刚架的可靠度

（1）用PNET法求解。取 。由表2选出代表机构为1和4。先采用式（15）求得刚架的失效概率为

其次采用式（16）求解，得

结果说明当 较小时，式（15）近似等于式（16）。由于用式（16）计算起来比较方便，因而当 较小时，都采用式（16）求解。

（2）用一般界限范围法求解。由式（9）得界限范围为

显然，这个范围太宽了，难以使用。

（3）用窄界限法求解，用式（10）求得本刚架的窄界限范围为

（4）用蒙特卡罗法求解。对随机变量选择20000的大样本进行蒙特卡罗法计算，求得802个负的功效函数值，结果由式（17）得刚架失效概率 为：

比较以上结果可以看出：PNET法结果与蒙特卡罗法结果相当接近；两个界限范围值中，一般界限范围太宽，不实用，窄界限范围值较窄，一般可以应用。

6.结论

通过对一榀门式刚架进行可靠度分析，分别从结构的失效模式、极限状态方程（功能函数）、功能函数的相关性、可靠指标（失效概率）求法等方面进行了论述。发现采用结构体系的失效模式来分析结构的可靠度， 更接近于工程实际， 能够更好的发挥材料的整体性能。

参考文献

[1] 刘天云、赵国藩.一种识别结构主要失效模式的有效算法[J].大连理工大学学报，1998.

[2] 蔡迎建、孙焕纯.结构失效模式的快速识别方法[J].大连理工大学学报，1999.

[3] 赵国藩、金伟良、贡金鑫.结构可靠度理论[M].北京：中国建筑工业出版社，2000.

[4] 吴世伟.结构可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[5] 许成祥、何培玲.荷载与结构设计方法[M].北京：北京大学出版社，2006.

[6] 钱保国、姜晨光.刚架结构体系可靠度的一般算法[J].交通科技，2006.

[7] 黄刚、刘幸.刚架结构体系可靠度分析与优化方法[J].武汉大学学报，2004.

_____________________

【文章编号】1627-6868（2014）05-0007-05

【作者简介】郭海龙（1964- ），男，江苏人，硕士研究生，工程师；主要从事路桥施工、检测与技术工作。

式中 为共同事件 的概率，当所有随机变量都是正态分布且相关系数 时，借助于机构i、j的可靠指标 和 ，由式

（11）

确定，式中：

（12）

（13）

具体计算时，可先求出 代替（11）左边的 ，再求出 代替（11）右边的 ，以近似地获得体系的失效概率 的界限范围。

4.3 PNET法

PNET法也就是概率网络估算技术，PNET法的基本原理是认为所有主要的机构可以用其中的m个所谓代表机构来代替。这些代表机构是由所有主要机构通过下述原则选择出来的，即把主要机构分为几个组， 在同一组中各机构与一代表机构高级相关，这个代表机构就是改组所有机构中失效概率最高的机构。从相关条件知，它可以代表改组所有机构的失效概率。在计算时，假定不同组间的代表机构是统计独立的，根据上述原则，设m个代表机构中，第i个机构的破坏概率为，则结构体系的可靠度为

（14）

对应的失效概率为

（15）

当很小时，上式可近似地写成

（16）

PNET法计算刚架结构体系可靠度的主要步骤如下：

（1）列出主要失效机构及相应的功能函数 ，然后用一次二阶矩法求各可靠指标 。把 由小到大进行排列，并将所得序号作为机构排列次序的依据。

（2）选择定限相关系数 值以作为判别各机构间的相关程度的依据。

（3）寻找m个代表机构。取1号机构（与最小可靠指标对应）作为第一代表机构，然后用式（7）计算它与其余机构的相关系数 。如果 ，则认为第i机构与1号机构高级相关，因而可为1号机构所代替；如果 则认为第i机构与1号机构低级相关，不能互相代替。再从剩下的机构中找出可靠指标最小者作为第二个代表机构，并找出它所代替的机构。重复以上步骤，直到完成最后一个机构为止。

（4）最后，用式（14）、（15）计算结构体系的可靠度或失效概率。

4.4蒙特卡罗法

当所求结构体系的所有可能机构已被识别之后，蒙特卡罗法求其可靠度的步骤如下：

（1）对于结构体系中每一随机变量的分布，利用随机数产生器或随机数表产生一随机数。用这些随机数产生结构体系中的荷载效应与抗力值，从而就所有的可能机构计算器功能函数 值。在m个功能函数中，每次抽样一般来说都是从第一

个进行到第m个，但当出现函数值小于零时，该次抽样即可中间停止。那些与负的功能函数值对应的可能失效机构，即为实际破坏机构。

（2）重复步骤1的计算，设进行过n次抽样，并记录实际失效的样本数m。

（3）把实际失效机构样本数m除以总样本数n，即得结构体系的失效概率 。 （17）

（4）为了减少样本数不足引起的误差，蒙特卡罗法的样本数n必须大于引起一次 所需要的平均样本数的100倍，即

（18）

5.算例

求解如图a所示门式刚架的可靠度。设已知各随机变量及统计量如下：

弯曲抗力M1=（498，74.7）kN。m

弯曲抗力M2=（664，99.5）kN。m

荷 载P1=（454，45.4）kN

荷 载P2=（227，68）kN

L1=4.58m，L2=7.1m，

在同一杆中所有截面的抗力满足完全相关的条件下，本刚架可能出现的塑性铰如图b所示，一共有7个，由于刚架有3个多余约束，因此，基本机构数为7-3=4。而可能机构总数有24-1=15。通过各方的比较分析之后，得出如图c所示6种主要失效模式。模式①的塑性铰为1，4，6，7；模式②的塑性铰为1，2，6，7；模式③的塑性铰为1，4，5，7；模式④的塑性铰为3，4，5；模式⑤的塑性铰为1，3，5，7；模式⑥的塑性铰为2，4，6。我们可以把上述刚架结构看成是串-并联系统，如图d所示。

在列出的各机构的功能函数、算出对应的可靠指标和失效概率之后，依可靠指标的大小反向排列于表1中

用式（7）算得各机构功能函数间的相关系数见表2中

下面就不同的结构体系可靠度计算方法计算本刚架的可靠度

（1）用PNET法求解。取 。由表2选出代表机构为1和4。先采用式（15）求得刚架的失效概率为

其次采用式（16）求解，得

结果说明当 较小时，式（15）近似等于式（16）。由于用式（16）计算起来比较方便，因而当 较小时，都采用式（16）求解。

（2）用一般界限范围法求解。由式（9）得界限范围为

显然，这个范围太宽了，难以使用。

（3）用窄界限法求解，用式（10）求得本刚架的窄界限范围为

（4）用蒙特卡罗法求解。对随机变量选择20000的大样本进行蒙特卡罗法计算，求得802个负的功效函数值，结果由式（17）得刚架失效概率 为：

比较以上结果可以看出：PNET法结果与蒙特卡罗法结果相当接近；两个界限范围值中，一般界限范围太宽，不实用，窄界限范围值较窄，一般可以应用。

6.结论

通过对一榀门式刚架进行可靠度分析，分别从结构的失效模式、极限状态方程（功能函数）、功能函数的相关性、可靠指标（失效概率）求法等方面进行了论述。发现采用结构体系的失效模式来分析结构的可靠度， 更接近于工程实际， 能够更好的发挥材料的整体性能。

参考文献

[1] 刘天云、赵国藩.一种识别结构主要失效模式的有效算法[J].大连理工大学学报，1998.

[2] 蔡迎建、孙焕纯.结构失效模式的快速识别方法[J].大连理工大学学报，1999.

[3] 赵国藩、金伟良、贡金鑫.结构可靠度理论[M].北京：中国建筑工业出版社，2000.

[4] 吴世伟.结构可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[5] 许成祥、何培玲.荷载与结构设计方法[M].北京：北京大学出版社，2006.

[6] 钱保国、姜晨光.刚架结构体系可靠度的一般算法[J].交通科技，2006.

[7] 黄刚、刘幸.刚架结构体系可靠度分析与优化方法[J].武汉大学学报，2004.

_____________________

【文章编号】1627-6868（2014）05-0007-05

【作者简介】郭海龙（1964- ），男，江苏人，硕士研究生，工程师；主要从事路桥施工、检测与技术工作。

式中 为共同事件 的概率，当所有随机变量都是正态分布且相关系数 时，借助于机构i、j的可靠指标 和 ，由式

（11）

确定，式中：

（12）

（13）

具体计算时，可先求出 代替（11）左边的 ，再求出 代替（11）右边的 ，以近似地获得体系的失效概率 的界限范围。

4.3 PNET法

PNET法也就是概率网络估算技术，PNET法的基本原理是认为所有主要的机构可以用其中的m个所谓代表机构来代替。这些代表机构是由所有主要机构通过下述原则选择出来的，即把主要机构分为几个组， 在同一组中各机构与一代表机构高级相关，这个代表机构就是改组所有机构中失效概率最高的机构。从相关条件知，它可以代表改组所有机构的失效概率。在计算时，假定不同组间的代表机构是统计独立的，根据上述原则，设m个代表机构中，第i个机构的破坏概率为，则结构体系的可靠度为

（14）

对应的失效概率为

（15）

当很小时，上式可近似地写成

（16）

PNET法计算刚架结构体系可靠度的主要步骤如下：

（1）列出主要失效机构及相应的功能函数 ，然后用一次二阶矩法求各可靠指标 。把 由小到大进行排列，并将所得序号作为机构排列次序的依据。

（2）选择定限相关系数 值以作为判别各机构间的相关程度的依据。

（3）寻找m个代表机构。取1号机构（与最小可靠指标对应）作为第一代表机构，然后用式（7）计算它与其余机构的相关系数 。如果 ，则认为第i机构与1号机构高级相关，因而可为1号机构所代替；如果 则认为第i机构与1号机构低级相关，不能互相代替。再从剩下的机构中找出可靠指标最小者作为第二个代表机构，并找出它所代替的机构。重复以上步骤，直到完成最后一个机构为止。

（4）最后，用式（14）、（15）计算结构体系的可靠度或失效概率。

4.4蒙特卡罗法

当所求结构体系的所有可能机构已被识别之后，蒙特卡罗法求其可靠度的步骤如下：

（1）对于结构体系中每一随机变量的分布，利用随机数产生器或随机数表产生一随机数。用这些随机数产生结构体系中的荷载效应与抗力值，从而就所有的可能机构计算器功能函数 值。在m个功能函数中，每次抽样一般来说都是从第一

个进行到第m个，但当出现函数值小于零时，该次抽样即可中间停止。那些与负的功能函数值对应的可能失效机构，即为实际破坏机构。

（2）重复步骤1的计算，设进行过n次抽样，并记录实际失效的样本数m。

（3）把实际失效机构样本数m除以总样本数n，即得结构体系的失效概率 。 （17）

（4）为了减少样本数不足引起的误差，蒙特卡罗法的样本数n必须大于引起一次 所需要的平均样本数的100倍，即

（18）

5.算例

求解如图a所示门式刚架的可靠度。设已知各随机变量及统计量如下：

弯曲抗力M1=（498，74.7）kN。m

弯曲抗力M2=（664，99.5）kN。m

荷 载P1=（454，45.4）kN

荷 载P2=（227，68）kN

L1=4.58m，L2=7.1m，

在同一杆中所有截面的抗力满足完全相关的条件下，本刚架可能出现的塑性铰如图b所示，一共有7个，由于刚架有3个多余约束，因此，基本机构数为7-3=4。而可能机构总数有24-1=15。通过各方的比较分析之后，得出如图c所示6种主要失效模式。模式①的塑性铰为1，4，6，7；模式②的塑性铰为1，2，6，7；模式③的塑性铰为1，4，5，7；模式④的塑性铰为3，4，5；模式⑤的塑性铰为1，3，5，7；模式⑥的塑性铰为2，4，6。我们可以把上述刚架结构看成是串-并联系统，如图d所示。

在列出的各机构的功能函数、算出对应的可靠指标和失效概率之后，依可靠指标的大小反向排列于表1中

用式（7）算得各机构功能函数间的相关系数见表2中

下面就不同的结构体系可靠度计算方法计算本刚架的可靠度

（1）用PNET法求解。取 。由表2选出代表机构为1和4。先采用式（15）求得刚架的失效概率为

其次采用式（16）求解，得

结果说明当 较小时，式（15）近似等于式（16）。由于用式（16）计算起来比较方便，因而当 较小时，都采用式（16）求解。

（2）用一般界限范围法求解。由式（9）得界限范围为

显然，这个范围太宽了，难以使用。

（3）用窄界限法求解，用式（10）求得本刚架的窄界限范围为

（4）用蒙特卡罗法求解。对随机变量选择20000的大样本进行蒙特卡罗法计算，求得802个负的功效函数值，结果由式（17）得刚架失效概率 为：

比较以上结果可以看出：PNET法结果与蒙特卡罗法结果相当接近；两个界限范围值中，一般界限范围太宽，不实用，窄界限范围值较窄，一般可以应用。

6.结论

通过对一榀门式刚架进行可靠度分析，分别从结构的失效模式、极限状态方程（功能函数）、功能函数的相关性、可靠指标（失效概率）求法等方面进行了论述。发现采用结构体系的失效模式来分析结构的可靠度， 更接近于工程实际， 能够更好的发挥材料的整体性能。

参考文献

[1] 刘天云、赵国藩.一种识别结构主要失效模式的有效算法[J].大连理工大学学报，1998.

[2] 蔡迎建、孙焕纯.结构失效模式的快速识别方法[J].大连理工大学学报，1999.

[3] 赵国藩、金伟良、贡金鑫.结构可靠度理论[M].北京：中国建筑工业出版社，2000.

[4] 吴世伟.结构可靠度分析[M].北京：人民交通出版社，1990.

[5] 许成祥、何培玲.荷载与结构设计方法[M].北京：北京大学出版社，2006.

[6] 钱保国、姜晨光.刚架结构体系可靠度的一般算法[J].交通科技，2006.

[7] 黄刚、刘幸.刚架结构体系可靠度分析与优化方法[J].武汉大学学报，2004.

_____________________

【文章编号】1627-6868（2014）05-0007-05

【作者简介】郭海龙（1964- ），男，江苏人，硕士研究生，工程师；主要从事路桥施工、检测与技术工作。