追及相遇问题的归类分析

邱树雄

追及相遇问题常涉及两个物体的运动，而且每个物体的运动规律又不一样，所以给学生审题和分析问题带来很大的困惑，学生常把这里当成一个难点，上新课的时候能听懂，当时也会做，往往到综合考试时遇到此类问题，就无从下手，就成难题了.仔细分析其中的原因，笔者认为是学生解决这类问题时，对应物理知识很难被有效提取.而知识要能在解题时很快被有效提取，那就要注意，知识在构成和存储时要被真正的理解和有序存储.所以为了有序存储解题方法，笔者把问题给归类分析，以方便在需要时能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的实质

讨论两个物体在同一时刻能否到达同一位置

2.追及相遇过程中的两个关系

“同一时刻”涉及两个物体运动的时间关系

“同一位置”涉及两个物体的位移关系

3.分析追及相遇问题的一个关键点

是“速度相等”这一条件，它是追及相遇问题中两物体相距距离最大或最小的临界条件；也是分析能否追上的切入点.

（这个条件将在具体问题的应用过程中，再予以更好的说明.）

4.追及相遇问题的分类

（1） 一定能追上（比如：匀加速追匀速、匀速追匀减速）

（2） 不一定能追上（比如：匀速追匀加速、匀减速追匀速）

二、典例分析

例1（匀加速追匀速）

一辆汽车在十字路口等待绿灯.绿灯亮起时，它以3m/s2的加速度开始行驶，恰在此时，一辆自行车以6m/s的速度并肩行驶.试求：

（1）汽车追上自行车之前，经过多长时间两车之间的距离最大，最大距离是多少？

（2）汽车经过多长时间追上自行车？追上时汽车的速度多大？

解析

（1）由于两车速度相等时相距最远，即汽车的速度为6m/s时，两车间的距离最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在这段时间内，自行车行驶的位移x1=vt1=12m

汽车行驶的距离x2=12at21=6m.

故两车之间的最大距离Δx=x1-x2=6m.

（2）两车位移相等时，汽车追上自行车，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上时，汽车的速度v′=at2=12m/s

点评首先判断匀加速追匀速属于一定能追上的情况，速度相等时两者距离最大，追上时同一时刻到达同一位置，根据时间关系和位移关系列方程求解即可.

例2（匀速追匀减速）

甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度同向行驶，当相距32m时，甲车以1m/S2的加速度刹车，问:

（1）经过多长时间两车间距离最大？最大值是多少？

（2）经过多长时间乙车追赶上甲车？

解析（1）两车速度相等时相距最远，即甲车的速度为9m/s时，两车间的距离最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即经过6s两车间距离最大.

此时甲车位移x1=15+92×6m=72m,乙车位移x2=9×6m=54m

所以，两车距离最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)设甲车经时间t1停下，则t1=0-15-1s=15s,甲车的位移x甲=112.5m;乙车的位移x乙=9×15m=135m.因为x甲+32m>x乙,所以，在乙车追上之前，甲车已经停止.

乙车追上甲车所需时间t=112.5+329s=16.06s.

点评匀速追匀减速也是一定能追上的情况，不管初始条件如何，两者速度相等时距离最大；

但是这里有刹车问题要注意，前方做匀减速运动的车是否在被追上之前就已经停下了.

例3匀速追匀加速：

一辆汽车从静止开始以2m/s2的加速度匀加速启动，同时一乘客在车后10m处以4m/s的速度追车，问人能否追上车？若能追上求追上的时间；若追不上求人和车的最小距离.

解析当汽车的速度v1=4m/s时，汽车行驶的时间t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因为x1+10m>x2,所以人不能追上汽车.

此时人和车的距离也就是最小距离，所以最小距离Δx=6m.

点评这道例题属于不一定能追上的问题，以速度相等为分析问题的切入点，如果速度相等时追不上就追不上了，因为速度相等时两者间距离最小.如果把题目中10m改为4m，则恰好追上.如果把10m改为2m且人和车在两条平行直线上运动，则它们会相遇两次.

例4(匀减速追匀速)

汽车正以10m/s的速度在平直的公路上行驶，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同向的匀速直线运动，汽车立即刹车，刹车的加速度大小为6m/s2，汽车恰好不碰上自行车，求汽车刹车时离自行车多远？

解析恰好不碰上自行车，指的是汽车速度减速到与汽车速度相等时，汽车刚好追上自行车.即经过t=

v-v0a=4-10-6s=1s的时间，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在这段时间内，自行车的位移x2=vt=4m,所以汽车刹车时应该离自行车距离Δx=x2-x1=3m.

点评这道例题仍然属于不一定能追上的问题，由两者速度相等时距离最小可知，恰好追不上的临界点是二者速度相等时，恰好在同一位置，从而找到两者的位移关系.

三、归纳总结

以上四个典型的例题包含了追及类问题的四个基本类型，通过分析知道，在解决这类问题之前，只要能够判断出问题是属于一定能追上还是不一定能追上的情况，接下来的分析就有目的性了.第一类，一定能追上的情况，由于速度相等时两物体间的距离最大，根据时间关系找两者的位移关系即可.第二类，不一定能追上的情况，由于根据速度相等时两者间的距离最小，根据时间关系找位移关系确定两者速度相等时的位置关系，即可判断是恰好追上还是追不上或者是可能相遇两次的情况.

endprint

追及相遇问题常涉及两个物体的运动，而且每个物体的运动规律又不一样，所以给学生审题和分析问题带来很大的困惑，学生常把这里当成一个难点，上新课的时候能听懂，当时也会做，往往到综合考试时遇到此类问题，就无从下手，就成难题了.仔细分析其中的原因，笔者认为是学生解决这类问题时，对应物理知识很难被有效提取.而知识要能在解题时很快被有效提取，那就要注意，知识在构成和存储时要被真正的理解和有序存储.所以为了有序存储解题方法，笔者把问题给归类分析，以方便在需要时能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的实质

讨论两个物体在同一时刻能否到达同一位置

2.追及相遇过程中的两个关系

“同一时刻”涉及两个物体运动的时间关系

“同一位置”涉及两个物体的位移关系

3.分析追及相遇问题的一个关键点

是“速度相等”这一条件，它是追及相遇问题中两物体相距距离最大或最小的临界条件；也是分析能否追上的切入点.

（这个条件将在具体问题的应用过程中，再予以更好的说明.）

4.追及相遇问题的分类

（1） 一定能追上（比如：匀加速追匀速、匀速追匀减速）

（2） 不一定能追上（比如：匀速追匀加速、匀减速追匀速）

二、典例分析

例1（匀加速追匀速）

一辆汽车在十字路口等待绿灯.绿灯亮起时，它以3m/s2的加速度开始行驶，恰在此时，一辆自行车以6m/s的速度并肩行驶.试求：

（1）汽车追上自行车之前，经过多长时间两车之间的距离最大，最大距离是多少？

（2）汽车经过多长时间追上自行车？追上时汽车的速度多大？

解析

（1）由于两车速度相等时相距最远，即汽车的速度为6m/s时，两车间的距离最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在这段时间内，自行车行驶的位移x1=vt1=12m

汽车行驶的距离x2=12at21=6m.

故两车之间的最大距离Δx=x1-x2=6m.

（2）两车位移相等时，汽车追上自行车，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上时，汽车的速度v′=at2=12m/s

点评首先判断匀加速追匀速属于一定能追上的情况，速度相等时两者距离最大，追上时同一时刻到达同一位置，根据时间关系和位移关系列方程求解即可.

例2（匀速追匀减速）

甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度同向行驶，当相距32m时，甲车以1m/S2的加速度刹车，问:

（1）经过多长时间两车间距离最大？最大值是多少？

（2）经过多长时间乙车追赶上甲车？

解析（1）两车速度相等时相距最远，即甲车的速度为9m/s时，两车间的距离最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即经过6s两车间距离最大.

此时甲车位移x1=15+92×6m=72m,乙车位移x2=9×6m=54m

所以，两车距离最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)设甲车经时间t1停下，则t1=0-15-1s=15s,甲车的位移x甲=112.5m;乙车的位移x乙=9×15m=135m.因为x甲+32m>x乙,所以，在乙车追上之前，甲车已经停止.

乙车追上甲车所需时间t=112.5+329s=16.06s.

点评匀速追匀减速也是一定能追上的情况，不管初始条件如何，两者速度相等时距离最大；

但是这里有刹车问题要注意，前方做匀减速运动的车是否在被追上之前就已经停下了.

例3匀速追匀加速：

一辆汽车从静止开始以2m/s2的加速度匀加速启动，同时一乘客在车后10m处以4m/s的速度追车，问人能否追上车？若能追上求追上的时间；若追不上求人和车的最小距离.

解析当汽车的速度v1=4m/s时，汽车行驶的时间t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因为x1+10m>x2,所以人不能追上汽车.

此时人和车的距离也就是最小距离，所以最小距离Δx=6m.

点评这道例题属于不一定能追上的问题，以速度相等为分析问题的切入点，如果速度相等时追不上就追不上了，因为速度相等时两者间距离最小.如果把题目中10m改为4m，则恰好追上.如果把10m改为2m且人和车在两条平行直线上运动，则它们会相遇两次.

例4(匀减速追匀速)

汽车正以10m/s的速度在平直的公路上行驶，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同向的匀速直线运动，汽车立即刹车，刹车的加速度大小为6m/s2，汽车恰好不碰上自行车，求汽车刹车时离自行车多远？

解析恰好不碰上自行车，指的是汽车速度减速到与汽车速度相等时，汽车刚好追上自行车.即经过t=

v-v0a=4-10-6s=1s的时间，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在这段时间内，自行车的位移x2=vt=4m,所以汽车刹车时应该离自行车距离Δx=x2-x1=3m.

点评这道例题仍然属于不一定能追上的问题，由两者速度相等时距离最小可知，恰好追不上的临界点是二者速度相等时，恰好在同一位置，从而找到两者的位移关系.

三、归纳总结

以上四个典型的例题包含了追及类问题的四个基本类型，通过分析知道，在解决这类问题之前，只要能够判断出问题是属于一定能追上还是不一定能追上的情况，接下来的分析就有目的性了.第一类，一定能追上的情况，由于速度相等时两物体间的距离最大，根据时间关系找两者的位移关系即可.第二类，不一定能追上的情况，由于根据速度相等时两者间的距离最小，根据时间关系找位移关系确定两者速度相等时的位置关系，即可判断是恰好追上还是追不上或者是可能相遇两次的情况.

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追及相遇问题常涉及两个物体的运动，而且每个物体的运动规律又不一样，所以给学生审题和分析问题带来很大的困惑，学生常把这里当成一个难点，上新课的时候能听懂，当时也会做，往往到综合考试时遇到此类问题，就无从下手，就成难题了.仔细分析其中的原因，笔者认为是学生解决这类问题时，对应物理知识很难被有效提取.而知识要能在解题时很快被有效提取，那就要注意，知识在构成和存储时要被真正的理解和有序存储.所以为了有序存储解题方法，笔者把问题给归类分析，以方便在需要时能快速有效地被提取.

一、概念理解

1.追及相遇的实质

讨论两个物体在同一时刻能否到达同一位置

2.追及相遇过程中的两个关系

“同一时刻”涉及两个物体运动的时间关系

“同一位置”涉及两个物体的位移关系

3.分析追及相遇问题的一个关键点

是“速度相等”这一条件，它是追及相遇问题中两物体相距距离最大或最小的临界条件；也是分析能否追上的切入点.

（这个条件将在具体问题的应用过程中，再予以更好的说明.）

4.追及相遇问题的分类

（1） 一定能追上（比如：匀加速追匀速、匀速追匀减速）

（2） 不一定能追上（比如：匀速追匀加速、匀减速追匀速）

二、典例分析

例1（匀加速追匀速）

一辆汽车在十字路口等待绿灯.绿灯亮起时，它以3m/s2的加速度开始行驶，恰在此时，一辆自行车以6m/s的速度并肩行驶.试求：

（1）汽车追上自行车之前，经过多长时间两车之间的距离最大，最大距离是多少？

（2）汽车经过多长时间追上自行车？追上时汽车的速度多大？

解析

（1）由于两车速度相等时相距最远，即汽车的速度为6m/s时，两车间的距离最大.

由at1=v得, t1=va=2s

在这段时间内，自行车行驶的位移x1=vt1=12m

汽车行驶的距离x2=12at21=6m.

故两车之间的最大距离Δx=x1-x2=6m.

（2）两车位移相等时，汽车追上自行车，由vt2=12at22得t2=2va=4s

追上时，汽车的速度v′=at2=12m/s

点评首先判断匀加速追匀速属于一定能追上的情况，速度相等时两者距离最大，追上时同一时刻到达同一位置，根据时间关系和位移关系列方程求解即可.

例2（匀速追匀减速）

甲车在前以15m/s的速度匀速行驶，乙车在后以9m/s的速度同向行驶，当相距32m时，甲车以1m/S2的加速度刹车，问:

（1）经过多长时间两车间距离最大？最大值是多少？

（2）经过多长时间乙车追赶上甲车？

解析（1）两车速度相等时相距最远，即甲车的速度为9m/s时，两车间的距离最大.

由v0+at=v得，t=9-15-1s=6s,即经过6s两车间距离最大.

此时甲车位移x1=15+92×6m=72m,乙车位移x2=9×6m=54m

所以，两车距离最大值Δx=x1+32m-x2=50m

(2)设甲车经时间t1停下，则t1=0-15-1s=15s,甲车的位移x甲=112.5m;乙车的位移x乙=9×15m=135m.因为x甲+32m>x乙,所以，在乙车追上之前，甲车已经停止.

乙车追上甲车所需时间t=112.5+329s=16.06s.

点评匀速追匀减速也是一定能追上的情况，不管初始条件如何，两者速度相等时距离最大；

但是这里有刹车问题要注意，前方做匀减速运动的车是否在被追上之前就已经停下了.

例3匀速追匀加速：

一辆汽车从静止开始以2m/s2的加速度匀加速启动，同时一乘客在车后10m处以4m/s的速度追车，问人能否追上车？若能追上求追上的时间；若追不上求人和车的最小距离.

解析当汽车的速度v1=4m/s时，汽车行驶的时间t=2s,位移x1=12at2=4m.

乘客的位移x2=v2t=8m,因为x1+10m>x2,所以人不能追上汽车.

此时人和车的距离也就是最小距离，所以最小距离Δx=6m.

点评这道例题属于不一定能追上的问题，以速度相等为分析问题的切入点，如果速度相等时追不上就追不上了，因为速度相等时两者间距离最小.如果把题目中10m改为4m，则恰好追上.如果把10m改为2m且人和车在两条平行直线上运动，则它们会相遇两次.

例4(匀减速追匀速)

汽车正以10m/s的速度在平直的公路上行驶，突然发现正前方有一辆自行车以4m/s的速度做同向的匀速直线运动，汽车立即刹车，刹车的加速度大小为6m/s2，汽车恰好不碰上自行车，求汽车刹车时离自行车多远？

解析恰好不碰上自行车，指的是汽车速度减速到与汽车速度相等时，汽车刚好追上自行车.即经过t=

v-v0a=4-10-6s=1s的时间，位移x1=v0+v2×2=10+42×1m=7m.

而在这段时间内，自行车的位移x2=vt=4m,所以汽车刹车时应该离自行车距离Δx=x2-x1=3m.

点评这道例题仍然属于不一定能追上的问题，由两者速度相等时距离最小可知，恰好追不上的临界点是二者速度相等时，恰好在同一位置，从而找到两者的位移关系.

三、归纳总结

以上四个典型的例题包含了追及类问题的四个基本类型，通过分析知道，在解决这类问题之前，只要能够判断出问题是属于一定能追上还是不一定能追上的情况，接下来的分析就有目的性了.第一类，一定能追上的情况，由于速度相等时两物体间的距离最大，根据时间关系找两者的位移关系即可.第二类，不一定能追上的情况，由于根据速度相等时两者间的距离最小，根据时间关系找位移关系确定两者速度相等时的位置关系，即可判断是恰好追上还是追不上或者是可能相遇两次的情况.

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