圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用

常云

对圆锥曲线应用的考查历来是高考中的重难点，在掌握圆锥曲线定义的基础上做到结合定义巧妙应用进而解题，有助于学生在考试过程中把握分数，还能够结合几何元素与轨迹等考查学生应用性思维和发散性思维，培养其举一反三的数学能力.下面我们针对圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用做简单分析探讨.

圆锥曲线定义中主要以椭圆定义、双曲线定义为主，圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系是解题分析的关键，二者的关系决定了某点的运动轨迹是抛物线、椭圆或者双曲线，所以在解题过程中，必须对三者定义有深入了解.假使圆锥曲线上的点与两个焦点构成的是三角形，通常会使用第一定义结合正余弦定理来进行解题，涉及焦点或者准线时，解题可参考常用的统一定义.应用过程中的重难点在于让学生养成巧妙运用定义深入剖析题目并解题的意识，所以，需要让学生在学习和运用的过程中树立等价转换的思想，尤其注意数形结合，在解题中将圆锥曲线的各自定义和解题难点、切入点进行有效区别和联系.

1.利用定义求轨迹

圆锥曲线定义的应用是解题中常用方法，也是求轨迹的典型方法.比如已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为a和b，且|O1O2|=c，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.

这个题目的解决很明显可以利用圆锥曲线的定义来解决，解题过程也并不复杂，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，从而得到O1与O2坐标.然后我们假设动圆的半径为r，由动圆M与圆O1内切、与圆O2内切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之间的关系来得到M点的轨迹，确定其以O1、O2为焦点，是双曲线的坐支（x<0），根据半径之间关系得到轨迹方程.

比如典型例题应用：F１、F２是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点（见图1），P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹.

解延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

从而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

确定垂足为Q的轨迹为圆.这是圆锥曲线定义较为常见的考点应用题目.

2.利用定义和正余弦定理求焦点三角形

比如常见的求解焦点三角形面积问题.如下题：

已知双曲线 （a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积.

这个题目的解答需要在结合定义分析的基础上熟知并巧用正余弦定理.利用面积公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

结合圆锥曲线中双曲线定义得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通过②与③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面积ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，从而完成题目的解答.

在焦点三角形题目解答中，还有一类常见题目，即求某点的坐标.比如下题：

已知A(112，３)为一定点，Ｆ为双曲线x29-y227=1的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当|AM|＋12|MF|最小时，求Ｍ点的坐标.这种是常见的考察距离和最差值的问题，通常需要考虑三角形两边和与差同第三条边之间的关系，其中利用定义来转换12数量关系来解题是常见手法，这在本题目中也较为典型.

解过M作MP垂直准线于点Ｐ，则12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.当A、M、P三点共线时，|AM|＋12|MF|最小.

我们以下面这道题为例，假设Ｐ（x,y）是椭圆x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.这道题可结合椭圆的第二定义得到|PF1|与|PF2|的表达式，根据0≤x2≤a2得到最大值与最小值.

3.利用定义解求证题

高考常见题目中，解求证类题目中经常会遇到需要应用第二定义证明的求证抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切或以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离、以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交等题目.比如过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1、P2两点，求证以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切.这道题目就是运用抛物线的定义和平面几何知识来证的典型题目.我们假设P1P2中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线引垂线P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，则|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，从而确定P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，证实圆与准线相切.

总之，利用圆锥曲线定义解决题目，对定义的了解和应用是根本，结合定义、正余弦定理等解决焦点、三角形、准线、圆锥曲线上的点等题目，可谓事半功倍.

endprint

对圆锥曲线应用的考查历来是高考中的重难点，在掌握圆锥曲线定义的基础上做到结合定义巧妙应用进而解题，有助于学生在考试过程中把握分数，还能够结合几何元素与轨迹等考查学生应用性思维和发散性思维，培养其举一反三的数学能力.下面我们针对圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用做简单分析探讨.

圆锥曲线定义中主要以椭圆定义、双曲线定义为主，圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系是解题分析的关键，二者的关系决定了某点的运动轨迹是抛物线、椭圆或者双曲线，所以在解题过程中，必须对三者定义有深入了解.假使圆锥曲线上的点与两个焦点构成的是三角形，通常会使用第一定义结合正余弦定理来进行解题，涉及焦点或者准线时，解题可参考常用的统一定义.应用过程中的重难点在于让学生养成巧妙运用定义深入剖析题目并解题的意识，所以，需要让学生在学习和运用的过程中树立等价转换的思想，尤其注意数形结合，在解题中将圆锥曲线的各自定义和解题难点、切入点进行有效区别和联系.

1.利用定义求轨迹

圆锥曲线定义的应用是解题中常用方法，也是求轨迹的典型方法.比如已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为a和b，且|O1O2|=c，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.

这个题目的解决很明显可以利用圆锥曲线的定义来解决，解题过程也并不复杂，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，从而得到O1与O2坐标.然后我们假设动圆的半径为r，由动圆M与圆O1内切、与圆O2内切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之间的关系来得到M点的轨迹，确定其以O1、O2为焦点，是双曲线的坐支（x<0），根据半径之间关系得到轨迹方程.

比如典型例题应用：F１、F２是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点（见图1），P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹.

解延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

从而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

确定垂足为Q的轨迹为圆.这是圆锥曲线定义较为常见的考点应用题目.

2.利用定义和正余弦定理求焦点三角形

比如常见的求解焦点三角形面积问题.如下题：

已知双曲线 （a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积.

这个题目的解答需要在结合定义分析的基础上熟知并巧用正余弦定理.利用面积公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

结合圆锥曲线中双曲线定义得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通过②与③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面积ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，从而完成题目的解答.

在焦点三角形题目解答中，还有一类常见题目，即求某点的坐标.比如下题：

已知A(112，３)为一定点，Ｆ为双曲线x29-y227=1的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当|AM|＋12|MF|最小时，求Ｍ点的坐标.这种是常见的考察距离和最差值的问题，通常需要考虑三角形两边和与差同第三条边之间的关系，其中利用定义来转换12数量关系来解题是常见手法，这在本题目中也较为典型.

解过M作MP垂直准线于点Ｐ，则12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.当A、M、P三点共线时，|AM|＋12|MF|最小.

我们以下面这道题为例，假设Ｐ（x,y）是椭圆x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.这道题可结合椭圆的第二定义得到|PF1|与|PF2|的表达式，根据0≤x2≤a2得到最大值与最小值.

3.利用定义解求证题

高考常见题目中，解求证类题目中经常会遇到需要应用第二定义证明的求证抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切或以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离、以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交等题目.比如过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1、P2两点，求证以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切.这道题目就是运用抛物线的定义和平面几何知识来证的典型题目.我们假设P1P2中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线引垂线P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，则|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，从而确定P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，证实圆与准线相切.

总之，利用圆锥曲线定义解决题目，对定义的了解和应用是根本，结合定义、正余弦定理等解决焦点、三角形、准线、圆锥曲线上的点等题目，可谓事半功倍.

endprint

对圆锥曲线应用的考查历来是高考中的重难点，在掌握圆锥曲线定义的基础上做到结合定义巧妙应用进而解题，有助于学生在考试过程中把握分数，还能够结合几何元素与轨迹等考查学生应用性思维和发散性思维，培养其举一反三的数学能力.下面我们针对圆锥曲线定义在高中数学解题中的应用做简单分析探讨.

圆锥曲线定义中主要以椭圆定义、双曲线定义为主，圆锥曲线上的点与两个焦点之间的关系是解题分析的关键，二者的关系决定了某点的运动轨迹是抛物线、椭圆或者双曲线，所以在解题过程中，必须对三者定义有深入了解.假使圆锥曲线上的点与两个焦点构成的是三角形，通常会使用第一定义结合正余弦定理来进行解题，涉及焦点或者准线时，解题可参考常用的统一定义.应用过程中的重难点在于让学生养成巧妙运用定义深入剖析题目并解题的意识，所以，需要让学生在学习和运用的过程中树立等价转换的思想，尤其注意数形结合，在解题中将圆锥曲线的各自定义和解题难点、切入点进行有效区别和联系.

1.利用定义求轨迹

圆锥曲线定义的应用是解题中常用方法，也是求轨迹的典型方法.比如已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别为a和b，且|O1O2|=c，动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.

这个题目的解决很明显可以利用圆锥曲线的定义来解决，解题过程也并不复杂，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系，从而得到O1与O2坐标.然后我们假设动圆的半径为r，由动圆M与圆O1内切、与圆O2内切得到|MO1|和 |MO2|值，最后利用其互相之间的关系来得到M点的轨迹，确定其以O1、O2为焦点，是双曲线的坐支（x<0），根据半径之间关系得到轨迹方程.

比如典型例题应用：F１、F２是椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）的两焦点（见图1），P是椭圆上任一点, 从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，求垂足Q的轨迹.

解延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，

等腰三角形APF1中

所以|PF1|=|AP|

从而|AF2|=|AP|+|PF|=|PF1|+|PF2|=2A

所以|OQ|=12|AP|=a

确定垂足为Q的轨迹为圆.这是圆锥曲线定义较为常见的考点应用题目.

2.利用定义和正余弦定理求焦点三角形

比如常见的求解焦点三角形面积问题.如下题：

已知双曲线 （a＞０，b＞０），Ｐ为双曲线上任一点，∠F1PF2=θ, 求ΔF1PF2的面积.

这个题目的解答需要在结合定义分析的基础上熟知并巧用正余弦定理.利用面积公式和正余弦得到①和②，

ＳΔF1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ①

(2c)2＝|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosθ ②

结合圆锥曲线中双曲线定义得到

|PF1|-|PF2|=2a

即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2③

通过②与③得到|PF1|·|PF2|=2b21-cosθ④

代入①得出三角形面积ＳΔF1PF2＝b2sinθ1-cosθ=b2cotθ2，从而完成题目的解答.

在焦点三角形题目解答中，还有一类常见题目，即求某点的坐标.比如下题：

已知A(112，３)为一定点，Ｆ为双曲线x29-y227=1的右焦点，Ｍ在双曲线右支上移动，当|AM|＋12|MF|最小时，求Ｍ点的坐标.这种是常见的考察距离和最差值的问题，通常需要考虑三角形两边和与差同第三条边之间的关系，其中利用定义来转换12数量关系来解题是常见手法，这在本题目中也较为典型.

解过M作MP垂直准线于点Ｐ，则12|MF|＝|MP|，所以|AM|＋12|MF|＝|AM|＋|MP|≤|AP|.当A、M、P三点共线时，|AM|＋12|MF|最小.

我们以下面这道题为例，假设Ｐ（x,y）是椭圆x2a2+y2b2=1 （a>b>0）上一点，Ｆ１、Ｆ２为椭圆的两焦点，求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.这道题可结合椭圆的第二定义得到|PF1|与|PF2|的表达式，根据0≤x2≤a2得到最大值与最小值.

3.利用定义解求证题

高考常见题目中，解求证类题目中经常会遇到需要应用第二定义证明的求证抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切或以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离、以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交等题目.比如过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1、P2两点，求证以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切.这道题目就是运用抛物线的定义和平面几何知识来证的典型题目.我们假设P1P2中点为P0，过P1、P2、P0分别向准线引垂线P1Q1、P2Q2、P0Q0，得到垂足Q1、Q2、Q0，则|P1F|=|P1Q1|，|P2F|=|P2Q2|，所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|=2|P0Q0|，从而确定P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，证实圆与准线相切.

总之，利用圆锥曲线定义解决题目，对定义的了解和应用是根本，结合定义、正余弦定理等解决焦点、三角形、准线、圆锥曲线上的点等题目，可谓事半功倍.

endprint