探讨求解离心率的范围

曾冬华

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要参量，在解析几何中显得极为重要，它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起，因此有关求解离心率的取值范围的问题，综合性强、难度大、涉及的知识面广，求解方法灵活多变.

一、正余弦定理和均值不等式求解

例1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围.

解法1在△F1PF2中，由正弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-3(|PF1|+|PF2|2)2，即(2c)2≥(2a)2-2a2，由此得ca≥12.

所以离心率e的取值范围是［12,1）.

解法2设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，椭圆的长轴长是2a，焦距是2c.

则在△F1PF2中，由正弦定理得：

|PF2|sinα=|PF1|sinβ=

|F1F2|sin60°,

|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|F1F2|sin60°

又α+β=120°，-120°<α-β<120°，

则12

e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=

sin60°sinα+sinβ

=sin60°2sinα+β2cosα-β2=12cosα-β2>12.

当α=β时取等号，所以离心率e的取值范围是［12, 1）.

评注灵活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了椭圆离心率的范围，因此我们在今后的学习中，不仅要掌握知识，更重要的是能够灵活地运用知识解决实际问题.

二、图形的几何特点求解

例2如图1所示，已知椭圆长轴为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2=x-1上，求椭圆离心率e的取值范围.

解析设左顶点为A(x0, y0)，椭圆的中心为O1，连结O1A并延长交y轴于N，则O1A=a=2，NA=x0.

因为y20=x0-1≥0，所以x0≥1.

所以e=aa2c=2|O1N|=2x0+2≤23，

即椭圆离心率e的取值范围为(0,23］.

评注根据图形的几何特点求解椭圆的离心率，简捷、明了.

三、点的坐标值的取值范围构造不等式求解

例3一组椭圆的长轴长都是10，都是以y轴为左准线，且椭圆的左顶点都在抛物线y2=x-2上，求这些椭圆离心率的变化范围.

解析设椭圆左顶点为A(x1，y1).

因为椭圆左顶点到左准线的距离为a2c-a，

所以x1=a2c-a=25c-5.

又y21=x1-2≥0，

所以25c-7≥0，所以c≤257，e=c5≤57，故0

评注巧妙地利用点的坐标值的取值范围求解，充分体现了活用知识的妙趣，提高了我们思维的灵活性和创造性.

四、利用焦点三角形三边关系构造不等式求解

例4已知双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，P是双曲线左支点上的一点，并且有|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项.求双曲线离心率e的取值范围.

解析由题设，得|PF1|2=d|PF2|；

由双曲线的第二定义，得|PF1|=ed.

所以|PF2|=e|PF1|.①

由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①、②得：|PF1|=2ae-1，|PF2|=2eae-1.

在△F1PF2中，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，

所以2ae-1+2eae-1≥2c，即e+1e-1≥e，

又e>1，所以1

评注通过灵活地运用知识，不仅迅速、简捷地解决了实际问题，而且提高了我们的创造性思维，还有利于培养我们的创新能力.

五、正弦函数的有界性构造不等式求解

例5若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围.

解析设P(acosθ,bsinθ)，∠APB=90°，

得

bsinθacosθ·bsinθacosθ-a=-1,即

(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0.①

解之得：cosθ=1或cosθ=b2a2-b2.

当cosθ=1时，P与A重合，不合题意，应舍去.

因此要使①有意义，须-122.

又0

评注巧妙地利用正弦函数的有界性求解，有利于提高我们分析能力和综合运用知识的能力.

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要参量，在解析几何中显得极为重要，它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起，因此有关求解离心率的取值范围的问题，综合性强、难度大、涉及的知识面广，求解方法灵活多变.

一、正余弦定理和均值不等式求解

例1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围.

解法1在△F1PF2中，由正弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-3(|PF1|+|PF2|2)2，即(2c)2≥(2a)2-2a2，由此得ca≥12.

所以离心率e的取值范围是［12,1）.

解法2设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，椭圆的长轴长是2a，焦距是2c.

则在△F1PF2中，由正弦定理得：

|PF2|sinα=|PF1|sinβ=

|F1F2|sin60°,

|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|F1F2|sin60°

又α+β=120°，-120°<α-β<120°，

则12

e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=

sin60°sinα+sinβ

=sin60°2sinα+β2cosα-β2=12cosα-β2>12.

当α=β时取等号，所以离心率e的取值范围是［12, 1）.

评注灵活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了椭圆离心率的范围，因此我们在今后的学习中，不仅要掌握知识，更重要的是能够灵活地运用知识解决实际问题.

二、图形的几何特点求解

例2如图1所示，已知椭圆长轴为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2=x-1上，求椭圆离心率e的取值范围.

解析设左顶点为A(x0, y0)，椭圆的中心为O1，连结O1A并延长交y轴于N，则O1A=a=2，NA=x0.

因为y20=x0-1≥0，所以x0≥1.

所以e=aa2c=2|O1N|=2x0+2≤23，

即椭圆离心率e的取值范围为(0,23］.

评注根据图形的几何特点求解椭圆的离心率，简捷、明了.

三、点的坐标值的取值范围构造不等式求解

例3一组椭圆的长轴长都是10，都是以y轴为左准线，且椭圆的左顶点都在抛物线y2=x-2上，求这些椭圆离心率的变化范围.

解析设椭圆左顶点为A(x1，y1).

因为椭圆左顶点到左准线的距离为a2c-a，

所以x1=a2c-a=25c-5.

又y21=x1-2≥0，

所以25c-7≥0，所以c≤257，e=c5≤57，故0

评注巧妙地利用点的坐标值的取值范围求解，充分体现了活用知识的妙趣，提高了我们思维的灵活性和创造性.

四、利用焦点三角形三边关系构造不等式求解

例4已知双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，P是双曲线左支点上的一点，并且有|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项.求双曲线离心率e的取值范围.

解析由题设，得|PF1|2=d|PF2|；

由双曲线的第二定义，得|PF1|=ed.

所以|PF2|=e|PF1|.①

由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①、②得：|PF1|=2ae-1，|PF2|=2eae-1.

在△F1PF2中，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，

所以2ae-1+2eae-1≥2c，即e+1e-1≥e，

又e>1，所以1

评注通过灵活地运用知识，不仅迅速、简捷地解决了实际问题，而且提高了我们的创造性思维，还有利于培养我们的创新能力.

五、正弦函数的有界性构造不等式求解

例5若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围.

解析设P(acosθ,bsinθ)，∠APB=90°，

得

bsinθacosθ·bsinθacosθ-a=-1,即

(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0.①

解之得：cosθ=1或cosθ=b2a2-b2.

当cosθ=1时，P与A重合，不合题意，应舍去.

因此要使①有意义，须-122.

又0

评注巧妙地利用正弦函数的有界性求解，有利于提高我们分析能力和综合运用知识的能力.

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是描述曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要参量，在解析几何中显得极为重要，它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起，因此有关求解离心率的取值范围的问题，综合性强、难度大、涉及的知识面广，求解方法灵活多变.

一、正余弦定理和均值不等式求解

例1已知F1、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，求椭圆离心率e的取值范围.

解法1在△F1PF2中，由正弦定理得：

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|≥(|PF1|+|PF2|)2-3(|PF1|+|PF2|2)2，即(2c)2≥(2a)2-2a2，由此得ca≥12.

所以离心率e的取值范围是［12,1）.

解法2设∠PF1F2=α，∠PF2F1=β，椭圆的长轴长是2a，焦距是2c.

则在△F1PF2中，由正弦定理得：

|PF2|sinα=|PF1|sinβ=

|F1F2|sin60°,

|PF2|+|PF1|sinα+sinβ=|F1F2|sin60°

又α+β=120°，-120°<α-β<120°，

则12

e=ca=|F1F2||PF1|+|PF2|=

sin60°sinα+sinβ

=sin60°2sinα+β2cosα-β2=12cosα-β2>12.

当α=β时取等号，所以离心率e的取值范围是［12, 1）.

评注灵活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了椭圆离心率的范围，因此我们在今后的学习中，不仅要掌握知识，更重要的是能够灵活地运用知识解决实际问题.

二、图形的几何特点求解

例2如图1所示，已知椭圆长轴为4，以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2=x-1上，求椭圆离心率e的取值范围.

解析设左顶点为A(x0, y0)，椭圆的中心为O1，连结O1A并延长交y轴于N，则O1A=a=2，NA=x0.

因为y20=x0-1≥0，所以x0≥1.

所以e=aa2c=2|O1N|=2x0+2≤23，

即椭圆离心率e的取值范围为(0,23］.

评注根据图形的几何特点求解椭圆的离心率，简捷、明了.

三、点的坐标值的取值范围构造不等式求解

例3一组椭圆的长轴长都是10，都是以y轴为左准线，且椭圆的左顶点都在抛物线y2=x-2上，求这些椭圆离心率的变化范围.

解析设椭圆左顶点为A(x1，y1).

因为椭圆左顶点到左准线的距离为a2c-a，

所以x1=a2c-a=25c-5.

又y21=x1-2≥0，

所以25c-7≥0，所以c≤257，e=c5≤57，故0

评注巧妙地利用点的坐标值的取值范围求解，充分体现了活用知识的妙趣，提高了我们思维的灵活性和创造性.

四、利用焦点三角形三边关系构造不等式求解

例4已知双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为l，P是双曲线左支点上的一点，并且有|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的比例中项.求双曲线离心率e的取值范围.

解析由题设，得|PF1|2=d|PF2|；

由双曲线的第二定义，得|PF1|=ed.

所以|PF2|=e|PF1|.①

由双曲线的第一定义，得|PF2|-|PF1|=2a.②

由①、②得：|PF1|=2ae-1，|PF2|=2eae-1.

在△F1PF2中，|PF1|+|PF2|≥|F1F2|=2c，

所以2ae-1+2eae-1≥2c，即e+1e-1≥e，

又e>1，所以1

评注通过灵活地运用知识，不仅迅速、简捷地解决了实际问题，而且提高了我们的创造性思维，还有利于培养我们的创新能力.

五、正弦函数的有界性构造不等式求解

例5若椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使∠OPA=90°，其中O为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围.

解析设P(acosθ,bsinθ)，∠APB=90°，

得

bsinθacosθ·bsinθacosθ-a=-1,即

(a2-b2)cos2θ-a2cosθ+b2=0.①

解之得：cosθ=1或cosθ=b2a2-b2.

当cosθ=1时，P与A重合，不合题意，应舍去.

因此要使①有意义，须-122.

又0

评注巧妙地利用正弦函数的有界性求解，有利于提高我们分析能力和综合运用知识的能力.