结合不等式证明的方法研究,谈谈“以本为本”

丛俐

笔者研究高中阶段的不等式证明多年，先后撰写了两篇论文：《殊路同归……一道不等式证明题的研究》、《微积分的妙用…一不等式的证明的又一利器》，并把一些可行的思维方式灌输给了学生，以至有人担心我的教学会“出格”，会“离课本太远”……这便涉及到数学教学方法的问题.

尽管大家都认同“教无定法”，但数学教学仍然一直提倡“以本为本”.

笔者觉得有必要先搞清，何为“以本为本”?前一个“本”无疑是“课本、

教本”；后一个“本”则是指“基本的、主要的、根本的”，与“末”相对.形象

地说，“以本为本”就是立足课本并挖掘课本，行之有效地开展高效教学.

数学教学“以本为本”显然要走出一个明显的误区……死搬课本.死搬课本，

会导致某些教师，课都不认真备，由于“喝过几年墨水”，一上到课，就能拿起

课本原封不动地讲……这种复制式的教学，学生虽然能听瞳，但习题稍微变动一

下，往往便无从下手，所教班级的数学成绩一般都不会好到哪里去.

数学教学如果不能“以本为本”，一味追求综合和高难度，所教班级的学生

在大考中就难免头破血流，甚至全军覆没了.不少市中、县中的实验班在高考中

一次次地败北，其根本原因就在于精心编制的教学讲义远离课本……

数学教学“以本为本”，说起来容易，但要想把它说清还真不容易.为了避

免空话连篇累牍，笔者结合不等式证明的相关知识，参考苏教版的数学教材，来

具体地谈谈自己的尝试.

一、证明不等式的方法“以本为本”，立足于几类基本方法

比较法无疑是“基础中的基础”，课本对作差法，讲得相当透彻，教师注意

由易渐难地引导学生，就能得心应手地完成教学任务了.如果能布置一道类似北

京98年的高考题“数列{xn}由下列条件确定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.

证明：对n≥2,总有xn≥a;(2)证明：对n≥2,总有xn≥xn+1”作为学生的课业，就锦上添花了.讲了作差法，作商法就必须有所涉及（但要注意只是一带而过，过多的介入，教学效果就事与愿违了).作商法的条件必须点透，经典例题一般都与指数

幂有关，如“已知a，b，c为不等正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.

分析法和综合法是不等式证明的两把利剑.前者能挖掘学生的分析问题的潜

力，后者不仅有利于培养学生的表达能力，而且对数学思维的严密性的训练更有

着举足轻重的功效.教学中重在思维能力的训练，不宜在难度上提过高的要求，

至少不要超过类似“已知a、b、c为实数，a+2b+3c=6，求证：a2+2b2+3c2≥6”的习题.

基本不等式法是不等式证明中使用最多、用起来最灵活的方法.算术平均数与几何平均数之间的关系是其基础，也是其核心，务必讲透并确保学生熟练掌握.

至于“一正二定三相等”无疑是讲练的重点.难度极限是“设a，b>0，a+b=1，求证：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.

高三理科复习时，必须带上数学归纳法（数学归纳法出现在教材选修2-2的《推理与证明》中）.其难度不大，只要掌握好证明步骤，就一劳永逸了.尽管如此，但复习时必须让学生留下一定的印象，否则遇到类似江苏2010年最后一题（“已知△ABC的三边长为有理数，（1）求证：cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证：cosnA也是有理数.”）的习题，学生就一筹莫展了.

二、习题的变形和延拓，必须“以本为本”

这里，笔者结合一道具体的习题，展开描述，想必不会给人一种空洞的感觉.

课本原题设a,b,c,d∈R+，

求证：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

证明方法有分析法（两边平方）、综合法，都涉及到基本不等式.

变题1已知x,y∈R+,x+y=1,求证：

x+12+

y+12≤2.

证明方法既可把x+12、y+12

分别看作a和b，c=d=1用上述命题来处理，又可分别使用基本不等式，如

x+12=

(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,

略作变形就迎刃而解了.

变题2设a,b,c,d∈R，

求证：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

乍一看，同原题一样！但用分析法证明时就不能直接平方了，必须对ac+bd的正负进行讨论.这是对学生思维严密性的训练习题，也利于培养学生仔细审题的习惯.当然本题也可从右向左，通过基本不等式得到右边≥|ac+bd|来证明，还可以用反证法轻松突破.

变题3设a,b,c,d,e,f∈R+,

求证：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.

这是元的变形，难度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本质上已涉及到柯西不等式）.其证明既可用向量法，也可通过类似柯西不等式证明的构造法.

不等式的证明千变万化，颇受高考试题的制作者青睐.立足于课本，也可少量涉及一步放缩法、换元法，当然关键是度的把握.一步不涉及，学生在高考中遇到不等式的证明题，有可能就打不开思路，真正碰到类似北京2002年的“数列{xn}由下列条件确定：

x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.

(Ⅰ)证明：对n≥2，总有xn≥a；

（Ⅱ)证明：对n≥2，总有xn≥xn+1”的试题真的只有头破血流了.

总之，笔者认为，不等式的证明对学生的思维的灵活性、表达的严谨性都能行之有效地进行考查.证明方法虽然非常多，但众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处——课本.只有“以本为本”的教学，才是高效的教学.

endprint

笔者研究高中阶段的不等式证明多年，先后撰写了两篇论文：《殊路同归……一道不等式证明题的研究》、《微积分的妙用…一不等式的证明的又一利器》，并把一些可行的思维方式灌输给了学生，以至有人担心我的教学会“出格”，会“离课本太远”……这便涉及到数学教学方法的问题.

尽管大家都认同“教无定法”，但数学教学仍然一直提倡“以本为本”.

笔者觉得有必要先搞清，何为“以本为本”?前一个“本”无疑是“课本、

教本”；后一个“本”则是指“基本的、主要的、根本的”，与“末”相对.形象

地说，“以本为本”就是立足课本并挖掘课本，行之有效地开展高效教学.

数学教学“以本为本”显然要走出一个明显的误区……死搬课本.死搬课本，

会导致某些教师，课都不认真备，由于“喝过几年墨水”，一上到课，就能拿起

课本原封不动地讲……这种复制式的教学，学生虽然能听瞳，但习题稍微变动一

下，往往便无从下手，所教班级的数学成绩一般都不会好到哪里去.

数学教学如果不能“以本为本”，一味追求综合和高难度，所教班级的学生

在大考中就难免头破血流，甚至全军覆没了.不少市中、县中的实验班在高考中

一次次地败北，其根本原因就在于精心编制的教学讲义远离课本……

数学教学“以本为本”，说起来容易，但要想把它说清还真不容易.为了避

免空话连篇累牍，笔者结合不等式证明的相关知识，参考苏教版的数学教材，来

具体地谈谈自己的尝试.

一、证明不等式的方法“以本为本”，立足于几类基本方法

比较法无疑是“基础中的基础”，课本对作差法，讲得相当透彻，教师注意

由易渐难地引导学生，就能得心应手地完成教学任务了.如果能布置一道类似北

京98年的高考题“数列{xn}由下列条件确定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.

证明：对n≥2,总有xn≥a;(2)证明：对n≥2,总有xn≥xn+1”作为学生的课业，就锦上添花了.讲了作差法，作商法就必须有所涉及（但要注意只是一带而过，过多的介入，教学效果就事与愿违了).作商法的条件必须点透，经典例题一般都与指数

幂有关，如“已知a，b，c为不等正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.

分析法和综合法是不等式证明的两把利剑.前者能挖掘学生的分析问题的潜

力，后者不仅有利于培养学生的表达能力，而且对数学思维的严密性的训练更有

着举足轻重的功效.教学中重在思维能力的训练，不宜在难度上提过高的要求，

至少不要超过类似“已知a、b、c为实数，a+2b+3c=6，求证：a2+2b2+3c2≥6”的习题.

基本不等式法是不等式证明中使用最多、用起来最灵活的方法.算术平均数与几何平均数之间的关系是其基础，也是其核心，务必讲透并确保学生熟练掌握.

至于“一正二定三相等”无疑是讲练的重点.难度极限是“设a，b>0，a+b=1，求证：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.

高三理科复习时，必须带上数学归纳法（数学归纳法出现在教材选修2-2的《推理与证明》中）.其难度不大，只要掌握好证明步骤，就一劳永逸了.尽管如此，但复习时必须让学生留下一定的印象，否则遇到类似江苏2010年最后一题（“已知△ABC的三边长为有理数，（1）求证：cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证：cosnA也是有理数.”）的习题，学生就一筹莫展了.

二、习题的变形和延拓，必须“以本为本”

这里，笔者结合一道具体的习题，展开描述，想必不会给人一种空洞的感觉.

课本原题设a,b,c,d∈R+，

求证：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

证明方法有分析法（两边平方）、综合法，都涉及到基本不等式.

变题1已知x,y∈R+,x+y=1,求证：

x+12+

y+12≤2.

证明方法既可把x+12、y+12

分别看作a和b，c=d=1用上述命题来处理，又可分别使用基本不等式，如

x+12=

(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,

略作变形就迎刃而解了.

变题2设a,b,c,d∈R，

求证：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

乍一看，同原题一样！但用分析法证明时就不能直接平方了，必须对ac+bd的正负进行讨论.这是对学生思维严密性的训练习题，也利于培养学生仔细审题的习惯.当然本题也可从右向左，通过基本不等式得到右边≥|ac+bd|来证明，还可以用反证法轻松突破.

变题3设a,b,c,d,e,f∈R+,

求证：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.

这是元的变形，难度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本质上已涉及到柯西不等式）.其证明既可用向量法，也可通过类似柯西不等式证明的构造法.

不等式的证明千变万化，颇受高考试题的制作者青睐.立足于课本，也可少量涉及一步放缩法、换元法，当然关键是度的把握.一步不涉及，学生在高考中遇到不等式的证明题，有可能就打不开思路，真正碰到类似北京2002年的“数列{xn}由下列条件确定：

x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.

(Ⅰ)证明：对n≥2，总有xn≥a；

（Ⅱ)证明：对n≥2，总有xn≥xn+1”的试题真的只有头破血流了.

总之，笔者认为，不等式的证明对学生的思维的灵活性、表达的严谨性都能行之有效地进行考查.证明方法虽然非常多，但众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处——课本.只有“以本为本”的教学，才是高效的教学.

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笔者研究高中阶段的不等式证明多年，先后撰写了两篇论文：《殊路同归……一道不等式证明题的研究》、《微积分的妙用…一不等式的证明的又一利器》，并把一些可行的思维方式灌输给了学生，以至有人担心我的教学会“出格”，会“离课本太远”……这便涉及到数学教学方法的问题.

尽管大家都认同“教无定法”，但数学教学仍然一直提倡“以本为本”.

笔者觉得有必要先搞清，何为“以本为本”?前一个“本”无疑是“课本、

教本”；后一个“本”则是指“基本的、主要的、根本的”，与“末”相对.形象

地说，“以本为本”就是立足课本并挖掘课本，行之有效地开展高效教学.

数学教学“以本为本”显然要走出一个明显的误区……死搬课本.死搬课本，

会导致某些教师，课都不认真备，由于“喝过几年墨水”，一上到课，就能拿起

课本原封不动地讲……这种复制式的教学，学生虽然能听瞳，但习题稍微变动一

下，往往便无从下手，所教班级的数学成绩一般都不会好到哪里去.

数学教学如果不能“以本为本”，一味追求综合和高难度，所教班级的学生

在大考中就难免头破血流，甚至全军覆没了.不少市中、县中的实验班在高考中

一次次地败北，其根本原因就在于精心编制的教学讲义远离课本……

数学教学“以本为本”，说起来容易，但要想把它说清还真不容易.为了避

免空话连篇累牍，笔者结合不等式证明的相关知识，参考苏教版的数学教材，来

具体地谈谈自己的尝试.

一、证明不等式的方法“以本为本”，立足于几类基本方法

比较法无疑是“基础中的基础”，课本对作差法，讲得相当透彻，教师注意

由易渐难地引导学生，就能得心应手地完成教学任务了.如果能布置一道类似北

京98年的高考题“数列{xn}由下列条件确定：x1=a>0，xn+1=12（xn+am）,n∈N*.

证明：对n≥2,总有xn≥a;(2)证明：对n≥2,总有xn≥xn+1”作为学生的课业，就锦上添花了.讲了作差法，作商法就必须有所涉及（但要注意只是一带而过，过多的介入，教学效果就事与愿违了).作商法的条件必须点透，经典例题一般都与指数

幂有关，如“已知a，b，c为不等正数，求证：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b”.

分析法和综合法是不等式证明的两把利剑.前者能挖掘学生的分析问题的潜

力，后者不仅有利于培养学生的表达能力，而且对数学思维的严密性的训练更有

着举足轻重的功效.教学中重在思维能力的训练，不宜在难度上提过高的要求，

至少不要超过类似“已知a、b、c为实数，a+2b+3c=6，求证：a2+2b2+3c2≥6”的习题.

基本不等式法是不等式证明中使用最多、用起来最灵活的方法.算术平均数与几何平均数之间的关系是其基础，也是其核心，务必讲透并确保学生熟练掌握.

至于“一正二定三相等”无疑是讲练的重点.难度极限是“设a，b>0，a+b=1，求证：（a+1a)2+(b+1b)2≥252”.

高三理科复习时，必须带上数学归纳法（数学归纳法出现在教材选修2-2的《推理与证明》中）.其难度不大，只要掌握好证明步骤，就一劳永逸了.尽管如此，但复习时必须让学生留下一定的印象，否则遇到类似江苏2010年最后一题（“已知△ABC的三边长为有理数，（1）求证：cosA是有理数；（2）对任意正整数n，求证：cosnA也是有理数.”）的习题，学生就一筹莫展了.

二、习题的变形和延拓，必须“以本为本”

这里，笔者结合一道具体的习题，展开描述，想必不会给人一种空洞的感觉.

课本原题设a,b,c,d∈R+，

求证：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

证明方法有分析法（两边平方）、综合法，都涉及到基本不等式.

变题1已知x,y∈R+,x+y=1,求证：

x+12+

y+12≤2.

证明方法既可把x+12、y+12

分别看作a和b，c=d=1用上述命题来处理，又可分别使用基本不等式，如

x+12=

(x+12)×1≤x+12+12=x2+34,

略作变形就迎刃而解了.

变题2设a,b,c,d∈R，

求证：ac+bd≤a2+b2·c2+d2.

乍一看，同原题一样！但用分析法证明时就不能直接平方了，必须对ac+bd的正负进行讨论.这是对学生思维严密性的训练习题，也利于培养学生仔细审题的习惯.当然本题也可从右向左，通过基本不等式得到右边≥|ac+bd|来证明，还可以用反证法轻松突破.

变题3设a,b,c,d,e,f∈R+,

求证：ab+cd+ef≤a2+b2·c2+d2·e2+f2.

这是元的变形，难度偏大，文科不要碰，理科也不提倡（本质上已涉及到柯西不等式）.其证明既可用向量法，也可通过类似柯西不等式证明的构造法.

不等式的证明千变万化，颇受高考试题的制作者青睐.立足于课本，也可少量涉及一步放缩法、换元法，当然关键是度的把握.一步不涉及，学生在高考中遇到不等式的证明题，有可能就打不开思路，真正碰到类似北京2002年的“数列{xn}由下列条件确定：

x1=a>0,xn+1=12(xn+axn),n∈N*.

(Ⅰ)证明：对n≥2，总有xn≥a；

（Ⅱ)证明：对n≥2，总有xn≥xn+1”的试题真的只有头破血流了.

总之，笔者认为，不等式的证明对学生的思维的灵活性、表达的严谨性都能行之有效地进行考查.证明方法虽然非常多，但众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处——课本.只有“以本为本”的教学，才是高效的教学.

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