例析三角函数的解题技巧

朱健忠

函数在高中数学中的地位和重要性不言而喻，其难度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函数，不仅学习起来难，而且习题解答过程中极易出现错误.久而久之，高中生难免对三角函数“谈之色变”.究其缘由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，无法更好地应对各类三角函数习题，从而使得他们在学习和考试中经常碰壁，难以取得好的成绩.另外，学好三角函数，对于培养高中生的函数思维起着重要的作用.不过，该如何帮助高中生构建全面、合理的函数思维，继而提高他们学习函数的能力？笔者认为可以从解题技巧入手，毕竟掌握一套好的解题技巧，比做无数道习题来的更加重要，还可以间接强化高中生对三角函数的认知能力，从而让他们在理解的同时提高解题效率.

一、巧引参数，提高效率

三角函数是高中函数知识中的主要环节，同时也是各类考试中的重要项目，高中生若想取得良好的成绩，不仅要学好三角函数，同时还要具备应对各类三角函数习题的能力.然而，受到思维模式、认知能力等诸多方面的影响，高中生在解答三角函数习题的时候往往存在着较大的断档，这样不仅严重影响他们的解题效率，对他们的成绩而言也有着极大的影响.笔者便结合以往的教学经验，谈谈巧引参数对解答三角函数的有效性.

例题1求证sin8θ+cos8θ≥18.

解析根据三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1的结构特征，以及数列的相关性质，可以快速引导学生发现sin2θ、12、cos2θ三者是成等差数列关系的.设sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，经过推导，可以快速展开解题过程，并最终得证.

这道题按常规的方式进行求证，学生无疑会绕很大的弯子，并且一旦出现一丝的错误，那么整个求证过程将会功亏一篑.采用巧引参数的方法，不仅可以让习题变得简单、明确，同时还可以有效提高学生的解题效率.由此可见，有些习题给人的感觉之所以会很难，主要是由于学生缺乏良好的技巧.如果提高了学生的解题技巧，那么再解答此类习题时无疑会如虎添翼.

二、升幂降幂，化繁为简

在三角函数的众多解题技巧中，升幂降幂的方法相对较为特殊，但是可靠性和有效性却是毋庸置疑的.此外，这种解题方法还可以快速实现问题的化繁为简，进而让隐含的题意瞬间呈现在学生眼前.升幂降幂解题技巧关键是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α这类公式，解题时可以满足三角函数式的升降次要求，继而实现对习题的化繁为简、求值求证的目的.

例题2化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升幂和降幂对这道习题进行解答的时候，主要涉及到了对公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升幂，而顺用便是指降幂.当我们对原式进行升幂或降幂的时候，则会得出两个不同的式子，即：

升幂：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降幂：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分别对这两个式子进行推导，最后得出的结果都

是23.

由此我们可以看出，升幂和降幂特点在于对公式的逆用和顺用.在升幂和降幂的过程中，不仅原式被简化了，而且学生还能快速挖掘出习题中隐含的亮点，从而快速完成解答.需要说明的是，本题使用其他解题技巧同样可以完成，或许过程更为简单.所以，在日常的教学活动中，我们要积极引导学生掌握多种解题技巧，对经典习题利用多种方法进行解答，让学生分析哪种解法更省时更有效.

三、化弦为切，简化习题

在三角函数中，化弦为切也是一种较为常见的解题技巧，它的解题效率和应用难度很适合高中生.所谓化弦为切，就是利用万能公式把原式进行变形，转化原式中的正弦和余弦函数，让其变化为正切和余切函数.而当完成这一步的时候，学生便可以成功将习题转化为以tan为变量的一元有理函数.这时，习题就不再是抽象模糊，而是彻底转化为了代数问题，解答自然会水到渠成.

例题3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特点，进而选用合理的解题方法.由题意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同时除以cosα.这时，化弦为切，然后将tanα的数值代入式子中，便可以快速整理出新的代数式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解题技巧是确保学生解题既准确又省时的重要手段.假如这道习题我们采用常规的解答方式，不仅会浪费学生大量的时间，同时还极易出错，严重时还会造成学生思维的絮乱，这对考试而言无疑是非常不利的.所以，在平日教学时我们可以将这种解题技巧以“一笔带过”的方式融入到课堂中，在唤醒学生数学意识的同时提高他们的解题能力.

总之，怀有一颗持之以恒的心去学习固然重要，但好的学习方法同样不可忽视.特别是对于高中数学而言，不仅需要高中生良好地掌握基础知识，同时还需要他们构建全面的数学思维和巧妙的解题方法.目前，高中生所要学习的科目非常的多，他们没有更多的时间去钻研数学解题技巧.因此，这便需要我们数学教师在平日的课堂教学中加强解题技巧的培养，从而让他们在面对各类数学习题的时候无往而不胜.

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函数在高中数学中的地位和重要性不言而喻，其难度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函数，不仅学习起来难，而且习题解答过程中极易出现错误.久而久之，高中生难免对三角函数“谈之色变”.究其缘由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，无法更好地应对各类三角函数习题，从而使得他们在学习和考试中经常碰壁，难以取得好的成绩.另外，学好三角函数，对于培养高中生的函数思维起着重要的作用.不过，该如何帮助高中生构建全面、合理的函数思维，继而提高他们学习函数的能力？笔者认为可以从解题技巧入手，毕竟掌握一套好的解题技巧，比做无数道习题来的更加重要，还可以间接强化高中生对三角函数的认知能力，从而让他们在理解的同时提高解题效率.

一、巧引参数，提高效率

三角函数是高中函数知识中的主要环节，同时也是各类考试中的重要项目，高中生若想取得良好的成绩，不仅要学好三角函数，同时还要具备应对各类三角函数习题的能力.然而，受到思维模式、认知能力等诸多方面的影响，高中生在解答三角函数习题的时候往往存在着较大的断档，这样不仅严重影响他们的解题效率，对他们的成绩而言也有着极大的影响.笔者便结合以往的教学经验，谈谈巧引参数对解答三角函数的有效性.

例题1求证sin8θ+cos8θ≥18.

解析根据三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1的结构特征，以及数列的相关性质，可以快速引导学生发现sin2θ、12、cos2θ三者是成等差数列关系的.设sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，经过推导，可以快速展开解题过程，并最终得证.

这道题按常规的方式进行求证，学生无疑会绕很大的弯子，并且一旦出现一丝的错误，那么整个求证过程将会功亏一篑.采用巧引参数的方法，不仅可以让习题变得简单、明确，同时还可以有效提高学生的解题效率.由此可见，有些习题给人的感觉之所以会很难，主要是由于学生缺乏良好的技巧.如果提高了学生的解题技巧，那么再解答此类习题时无疑会如虎添翼.

二、升幂降幂，化繁为简

在三角函数的众多解题技巧中，升幂降幂的方法相对较为特殊，但是可靠性和有效性却是毋庸置疑的.此外，这种解题方法还可以快速实现问题的化繁为简，进而让隐含的题意瞬间呈现在学生眼前.升幂降幂解题技巧关键是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α这类公式，解题时可以满足三角函数式的升降次要求，继而实现对习题的化繁为简、求值求证的目的.

例题2化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升幂和降幂对这道习题进行解答的时候，主要涉及到了对公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升幂，而顺用便是指降幂.当我们对原式进行升幂或降幂的时候，则会得出两个不同的式子，即：

升幂：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降幂：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分别对这两个式子进行推导，最后得出的结果都

是23.

由此我们可以看出，升幂和降幂特点在于对公式的逆用和顺用.在升幂和降幂的过程中，不仅原式被简化了，而且学生还能快速挖掘出习题中隐含的亮点，从而快速完成解答.需要说明的是，本题使用其他解题技巧同样可以完成，或许过程更为简单.所以，在日常的教学活动中，我们要积极引导学生掌握多种解题技巧，对经典习题利用多种方法进行解答，让学生分析哪种解法更省时更有效.

三、化弦为切，简化习题

在三角函数中，化弦为切也是一种较为常见的解题技巧，它的解题效率和应用难度很适合高中生.所谓化弦为切，就是利用万能公式把原式进行变形，转化原式中的正弦和余弦函数，让其变化为正切和余切函数.而当完成这一步的时候，学生便可以成功将习题转化为以tan为变量的一元有理函数.这时，习题就不再是抽象模糊，而是彻底转化为了代数问题，解答自然会水到渠成.

例题3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特点，进而选用合理的解题方法.由题意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同时除以cosα.这时，化弦为切，然后将tanα的数值代入式子中，便可以快速整理出新的代数式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解题技巧是确保学生解题既准确又省时的重要手段.假如这道习题我们采用常规的解答方式，不仅会浪费学生大量的时间，同时还极易出错，严重时还会造成学生思维的絮乱，这对考试而言无疑是非常不利的.所以，在平日教学时我们可以将这种解题技巧以“一笔带过”的方式融入到课堂中，在唤醒学生数学意识的同时提高他们的解题能力.

总之，怀有一颗持之以恒的心去学习固然重要，但好的学习方法同样不可忽视.特别是对于高中数学而言，不仅需要高中生良好地掌握基础知识，同时还需要他们构建全面的数学思维和巧妙的解题方法.目前，高中生所要学习的科目非常的多，他们没有更多的时间去钻研数学解题技巧.因此，这便需要我们数学教师在平日的课堂教学中加强解题技巧的培养，从而让他们在面对各类数学习题的时候无往而不胜.

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函数在高中数学中的地位和重要性不言而喻，其难度、抽象性、概念性也是有目共睹的.尤其是三角函数，不仅学习起来难，而且习题解答过程中极易出现错误.久而久之，高中生难免对三角函数“谈之色变”.究其缘由，主要是高中生缺乏一定的解答技巧，无法更好地应对各类三角函数习题，从而使得他们在学习和考试中经常碰壁，难以取得好的成绩.另外，学好三角函数，对于培养高中生的函数思维起着重要的作用.不过，该如何帮助高中生构建全面、合理的函数思维，继而提高他们学习函数的能力？笔者认为可以从解题技巧入手，毕竟掌握一套好的解题技巧，比做无数道习题来的更加重要，还可以间接强化高中生对三角函数的认知能力，从而让他们在理解的同时提高解题效率.

一、巧引参数，提高效率

三角函数是高中函数知识中的主要环节，同时也是各类考试中的重要项目，高中生若想取得良好的成绩，不仅要学好三角函数，同时还要具备应对各类三角函数习题的能力.然而，受到思维模式、认知能力等诸多方面的影响，高中生在解答三角函数习题的时候往往存在着较大的断档，这样不仅严重影响他们的解题效率，对他们的成绩而言也有着极大的影响.笔者便结合以往的教学经验，谈谈巧引参数对解答三角函数的有效性.

例题1求证sin8θ+cos8θ≥18.

解析根据三角函数的平方关系式sin2θ+cos2θ=1的结构特征，以及数列的相关性质，可以快速引导学生发现sin2θ、12、cos2θ三者是成等差数列关系的.设sin2θ=12-d、cos2θ=12+d，并且-12≤d≤12，经过推导，可以快速展开解题过程，并最终得证.

这道题按常规的方式进行求证，学生无疑会绕很大的弯子，并且一旦出现一丝的错误，那么整个求证过程将会功亏一篑.采用巧引参数的方法，不仅可以让习题变得简单、明确，同时还可以有效提高学生的解题效率.由此可见，有些习题给人的感觉之所以会很难，主要是由于学生缺乏良好的技巧.如果提高了学生的解题技巧，那么再解答此类习题时无疑会如虎添翼.

二、升幂降幂，化繁为简

在三角函数的众多解题技巧中，升幂降幂的方法相对较为特殊，但是可靠性和有效性却是毋庸置疑的.此外，这种解题方法还可以快速实现问题的化繁为简，进而让隐含的题意瞬间呈现在学生眼前.升幂降幂解题技巧关键是使用2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α这类公式，解题时可以满足三角函数式的升降次要求，继而实现对习题的化繁为简、求值求证的目的.

例题2化简1-cos4α-sin4α1-cos6α-sin6α.

解析在使用升幂和降幂对这道习题进行解答的时候，主要涉及到了对公式sin2α+cos2α=1的互逆使用.逆用便是指升幂，而顺用便是指降幂.当我们对原式进行升幂或降幂的时候，则会得出两个不同的式子，即：

升幂：原式=(cos2α+sin2α)2-cos4α-sin4α(cos2α+sin2α)2-cos6α-sin6α；

降幂：原式=1-（cos4α+sin4α)1-(cos6α+sin6α).

然后，分别对这两个式子进行推导，最后得出的结果都

是23.

由此我们可以看出，升幂和降幂特点在于对公式的逆用和顺用.在升幂和降幂的过程中，不仅原式被简化了，而且学生还能快速挖掘出习题中隐含的亮点，从而快速完成解答.需要说明的是，本题使用其他解题技巧同样可以完成，或许过程更为简单.所以，在日常的教学活动中，我们要积极引导学生掌握多种解题技巧，对经典习题利用多种方法进行解答，让学生分析哪种解法更省时更有效.

三、化弦为切，简化习题

在三角函数中，化弦为切也是一种较为常见的解题技巧，它的解题效率和应用难度很适合高中生.所谓化弦为切，就是利用万能公式把原式进行变形，转化原式中的正弦和余弦函数，让其变化为正切和余切函数.而当完成这一步的时候，学生便可以成功将习题转化为以tan为变量的一元有理函数.这时，习题就不再是抽象模糊，而是彻底转化为了代数问题，解答自然会水到渠成.

例题3已知tanα=2，求4sinα-2cosα5cosα+3sinα的值.

解析解答之初，首先要分析一下原式的特点，进而选用合理的解题方法.由题意可以得知cosα≠0，所以分子和分母能同时除以cosα.这时，化弦为切，然后将tanα的数值代入式子中，便可以快速整理出新的代数式，即：

4sinαθ-2cosαcosα5cosα+3sinαcosα=4tanα-25+2tanα=611.

由此可以看出，好的解题技巧是确保学生解题既准确又省时的重要手段.假如这道习题我们采用常规的解答方式，不仅会浪费学生大量的时间，同时还极易出错，严重时还会造成学生思维的絮乱，这对考试而言无疑是非常不利的.所以，在平日教学时我们可以将这种解题技巧以“一笔带过”的方式融入到课堂中，在唤醒学生数学意识的同时提高他们的解题能力.

总之，怀有一颗持之以恒的心去学习固然重要，但好的学习方法同样不可忽视.特别是对于高中数学而言，不仅需要高中生良好地掌握基础知识，同时还需要他们构建全面的数学思维和巧妙的解题方法.目前，高中生所要学习的科目非常的多，他们没有更多的时间去钻研数学解题技巧.因此，这便需要我们数学教师在平日的课堂教学中加强解题技巧的培养，从而让他们在面对各类数学习题的时候无往而不胜.

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