径向高温超导磁悬浮轴承的悬浮性能分析

孟庆栋，张坚，张海龙，徐克西，张钢

(上海大学 a.机电工程及自动化学院;b.理学院，上海 200444)

高温超导体被放置于液氮中，达到一定的临界温度后，呈现零电阻特性和迈斯纳态。由于超导体在变化磁场中产生感应临界电流和对磁通线的钉扎性，使得位于超导体上方的永磁体实现自稳定悬浮。正是该特性使其在工业中得到很好的应用，如超导磁悬浮轴承[1]、飞轮储能系统[2]和磁悬浮导轨[3]。

常见的超导磁悬浮轴承一般分为2种：一种是将永磁体(PM)放置于高温超导体(HTS)上方，此种轴承主要承受轴向力，称为轴向超导磁悬浮轴承；另一种则是将永磁体和高温超导体分别制成环式，组合成径向超导磁轴承，其中转子采用轴向充磁的永磁环叠加，此种轴承不但能承受较大的径向力，还可以承受较大的轴向力。目前对径向超导磁悬浮轴承的研究主要集中在试验测试上[4]，理论研究较少。文献[5]利用电流矢势法和Helmholtz理论对径向超导磁悬浮轴承进行了理论计算与分析，虽然该方法可以精确分析轴承的静动性能及参数的影响，但是计算量太大，耗费时间较长，且一旦参数设置不当就会引起计算的不收敛；文献[6]提出了磁通冻结镜像模型，其能够简便分析径向超导磁轴承的性能，但是该模型没有考虑磁滞效应；文献[7]提出的磁通冻结镜像模型(简称杨氏模型)只针对轴向超导磁悬浮，忽略了有倾角的情况。文中提出的改进磁通冻结镜像模型，既考虑了有倾角的情况，也引入了磁滞效应，因此利用该模型对超导磁悬浮分析更贴合实际。

1 模型及悬浮力计算

1.1 磁通冻结镜像模型

模型如图1所示，高温超导体表面相当于yOz平面。α为磁偶极子1与x轴正向的夹角，即永磁环充磁方向与超导体垂直面的夹角。磁极距为m1的磁偶极子1产生的磁场分布与永磁环一致，方向为永磁环的充磁方向。在轴承转子处于初始冷却位置时磁偶极子1坐标值为 (l, 0, 0)。磁极矩为m2的抗磁镜像磁偶极子2相当于高温超导体内产生的屏蔽电流，它跟随永磁环即磁偶极子1移动，因此1和2关于yOz面对称。磁偶极子3为轴承转子即永磁体处于初始冷却位置时产生的磁通冻结镜像模型，其坐标值(-l, 0, 0)固定不变。初始冷却高度不同，磁偶极子3的取值不同。当初始冷却高度远大于超导体和永磁体的尺寸时，相当于零场冷，m3=0；当初始冷却高度比较小时，相当于场冷，m3>0，所以，磁通冻结镜像模型对场冷和零场冷情况均适用。磁偶极子4与永磁环的径向移动有关，是俘获磁通在超导体外部形成的磁场简化的移动镜像磁偶极子，其磁极距m4随着磁偶极子1的径向移动而变化，而坐标值(-x0, 0, 0)固定不变。磁偶极子5也是俘获磁通在超导体外部形成的磁场的简化，它与永磁环的轴向移动有关，其磁极距m5随着磁偶极子1的轴向移动而变化，坐标值(-x0, 0, 0)也固定不变。磁偶极子4和5均与移动历史有关，所以能反映出超导磁悬浮的磁滞特性。

图1 磁通冻结镜像模型

两偶极子之间的作用力为

F=(m·)B，

(1)

式中：m为偶极子的磁矢量；为微分算子；B为另外一个偶极子在此处的磁场强度。

磁偶极子产生的任意点处的磁场强度为[8]

(2)

对于径向超导磁轴承，永磁环采用轴向充磁，设定z轴为轴线方向，则在利用磁通冻结镜像模型计算径向磁轴承时，倾角α=π/2。磁偶极子1受到的x，z方向的力分别为[9]

(3)

(4)

式中：A=3μ0/(4π)；x，z分别为磁偶极子1在x，z方向的偏移量。

1.2 径向磁悬浮轴承悬浮力的计算

采用韩国电力能源研究院研发的由8块超导块组成的轴承定子径向超导磁悬浮轴承进行分析[4]，其结构和受力如图2所示。

图2 径向高温超导磁悬浮轴承

径向磁悬浮轴承的径向力为各超导块受力之和，即

(5)

由于轴承的对称性，只分析x方向的力Fx，假设永磁转子在x方向上径向移动，则

Fx=FAx+FBx+FCx+FDx+FEx+FFx+

FGx+FHx，

(6)

式中：FAx，FEx为0。由(3)、(5)～(6)式可得第1次移动时

(7)

式中：θ为超导块与x方向的夹角；B=A(1+4θ/π);m4+，m4-分别为永磁转子与超导块之间相对距离增大和减小时磁偶极子4的磁极矩。

x方向刚度为

(8)

轴承的轴向力也为各个超导块受力之和，即

Fz=FAz+FBz+FCz+FDz+FEz+FFz+

FGz+FHz。

(9)

当永磁转子处在轴对称位置沿轴向移动时

(10)

z方向刚度为

(11)

2 数据分析

为了便于计算，设各个磁偶极子磁矩m1=m2=m3=0.05 A·m2，即仅针对场冷的情况进行分析，并且在对磁偶极子4，5进行定义时参考了文献[10]中的方法。

当永磁转子第1次沿径向(x轴)移动时，永磁环与超导块B，C，D的间隙相对减小，相当于磁通冻结镜像模型中磁偶极子1沿x轴负方向移动；与超导块F，G，H的间隙相对增大，相当于磁通冻结镜像模型中磁偶极子1沿x轴正向移动；与E，F在径向方向上没有相对位移，只有侧向移动，m4为0。磁偶极子4的磁极距为

m41-=-a11x0.9，

(12)

m41+=a12x0.9。

(13)

永磁转子沿轴向或径向移动到一定距离后沿反方向移动的过程中，磁偶极子4的磁极距为

(14)

(15)

式中：a11，a12为比例常数，a11=0.5 A·m，a12=2 A·m[7,10]；xmax为径向移动的最大距离；角标中+，-分别表示径向相对间隙增大和减小。

当永磁转子第1次沿轴向(z轴)方向移动时，磁偶极子5的磁极距为

m51=b11z0.9。

(16)

当永磁转子第1次沿z轴移动到一定距离后反向移动时，磁偶极子5的磁极距为

(17)

式中：b11为比例常数，b11=0.1 A·m；zmax为轴向移动最大距离。

2.1 径向力和径向刚度的变化

通过第1次径向移动得出轴向位移、径向偏移和初始径向间隙对轴承径向力的影响，分别如图3和图4所示。由图可知，随着径向偏移的增大，径向力不断增大，但是当转子径向偏移一定距离后径向力会呈现减小的趋势，甚至在一定的轴向位移下会产生相反的力。随着轴向位移和初始径向间隙的增大，径向力不断减小。

图3 x，z方向位移对径向力的影响

图4 初始径向间隙和径向偏移对径向力的影响

径向偏移对径向刚度的影响如图5所示。由图可知，随着径向偏移的增大，径向刚度虽然在较小偏移处有所减小，但是整体呈现增大的趋势，且在计算范围内刚度始终为正值，说明转子在径向上可以稳定悬浮。

图5 径向偏移对径向刚度的影响

2.2 轴向力和轴向刚度的变化

通过第1次轴向移动得出轴向移动距离、径向偏移和初始径向间隙对轴承轴向力的影响，分别如图6和图7所示，图中箭头沿x轴正向表示永磁转子相对于初始位置的位移量增大，反向表示位移量减小。由图6可知，在一定范围内的轴向移动中，轴向位移越大，永磁转子受到的轴向力越大。当轴向位移一定时，若永磁转子发生径向偏移，轴向力会变化，但是轴向力与径向偏移之间不成恒定的正比关系。由图7可知，永磁转子受到的轴向力随着初始径向间隙的增大而减小。

图6 不同径向偏移对轴向力的影响

图7 不同初始径向间隙对轴向力的影响

轴向位移对轴向刚度的影响如图8所示。由图可知，随着轴向位移的增大，轴承的轴向刚度呈减小的趋势。这是由于轴向位移增大时，永磁环产生的磁场对超导体的影响变小，超导体处的磁场变化减弱，但是在计算范围内刚度值一直为正，说明转子在轴向上也可以稳定悬浮。

图8 轴向位移对轴向刚度的影响

2.3 磁滞特性

位移和间隙对径向力的影响如图9所示。由图6、图7和图9可知，永磁转子在往返运动过程中，同一径向偏移处受到的径向力或同一轴向位移处受到的轴向力是不同的，第1次移动经过此处时的力会比下一次经过此处时的力大，这是磁滞效应造成的。高温超导体具有捕获磁通的作用，在永磁体移动过程中，会有部分磁通脱离原来被超导体捕获的位置，此时会消耗一定的能量，因此永磁体往返移动过程中受到的力会不断减小，即出现磁滞效应。

图9 位移和间隙对径向力的影响

3 结束语

通过对杨氏模型和Hull John R模型进行改进，使其既适用于径向超导磁悬浮又适用于轴向超导磁悬浮，文中仅针对径向超导磁悬浮倾角α=π/2的情况进行了分析。利用改进的磁通冻结镜像模型计算了超导磁悬浮轴承的静态磁悬浮力及其刚度，并分析了偏移和间隙参数对悬浮力和刚度的影响。可以得出如下结论：初始径向间隙越小，轴承受力越大，这是因为间隙越小，超导体处的磁场强度越大，并且轴承的悬浮力也与径向偏移和轴向位移有关；在一定范围内的位移下，轴承轴向刚度和径向刚度均为正值，证明永磁转子在径向和轴向均可以实现自稳定悬浮，但是刚度不恒定，其值随着偏移量增大而变化；通过该模型可以确定磁滞特性会影响轴承的受力，使其呈衰减趋势。

此种方法虽然简单，但是只能对超导轴承进行定性分析，这是因为磁通冻结镜像模型不仅忽略了尺寸的影响，将超导体假设为无限长，并且对磁偶极子4和5的定义并不精确。文中均是针对单永磁环转子进行计算，对于永磁环叠加组成的转子，径向力计算只需在单个的基础上叠加即可，而轴向力的计算只能在较小的轴向位移范围内叠加，对于位移较大的轴向力计算，该方法不适用。