从高中数学的思想方法重视应用意识能力

刘海洋

数学思想和方法越来越为大众所熟知，数学的应用能力越来越受到人们的重视.在高中数学教学中，数学教师已经不再仅限于教授学生枯燥的数学知识，而是越来越重视对学生的应用意识和能力的培养.数学课堂是高中数学知识的殿堂，就我国目前的数学教学而言，数学教师还是主要通过数学课堂传授知识，增强学生的数学应用意识和能力.

一、总结经验和方法

探索自然、解决问题、探知奥秘的过程中，经过总结归纳，逐步形成了具有显著功效的经验和方法，并加以提炼升华，形成了具有理论性的方法和实践.学生作为经历阶段学习历程的客观存在体，在较长时间段的学习探知过程中，通过探知新知、解答问题的直接活动，获取和掌握一定的学习方法和经验，同时，在教师的指导和帮助下，也获得了解决问题、学习新知的方法和策略.这些直接经验和间接成果，经过归纳和提炼，逐步转化成为学生进行知识学习的思想策略.在教学实践中，学生良好数学思想的建立，能够为教学活动的深入推进和学习活动的有效开展，提供方法指导和思想保障.

如,在讲到三垂线定理时，教师可以制作一组幻灯片，以立方体为模型，使之从不同方位转动，得到不同位置的垂线. 学生可以从中获得感性认识，加深对定理中各种情况的理解，使学生对定理的应用更加灵活，从而提高学习效率.另外，不仅教师在课堂上针对不同的教学内容合理利用计算机技术是非常有必要的，而且教师还要积极引导学生合理利用计算机技术，再如,教师在讲“循环语句”的理解时，在示范操作寻找满足1×3×5×7…>1000条件的最小整数后让学生思考:(1)1×3×5×7…≦1000成立的最大整数?(2)若交换记数与累乘的顺序,则输出语句有何改变?(3)输出语句放在循环体内,则结果有何变化?通过这样变式练习思考,然后进行操作加以验证，让每个学生围绕探索的问题，明确探索的方向，思考出自己的方法，思维方式可以自由，开放的去摸索数学知识的产生过程，使学生成为知识的主人，感到自己就是一个发现者、研究者、探索者，从而充满了学习信心和欲望，增强了创新能力.

二、问题是数学的“心脏”

数学学科知识内涵和架构体系的承载体，更是教学目标要求和学生能力培养的重要平台.教育实践学指出，高中生问题解答的过程，就是观察比较、分析综合、分类归纳、抽象概括的过程，有助于学生学习能力的培养和提升.高中数学新课标倡导让每个学生在学习过程中，学习能力和素养得到充分而又显著的锻炼和发展.高中数学作为高中学科教学的重要组成部分，在培育学生良好学习能力方面，发挥重要作用.

高中数学的学习至关重要，这不仅是在为高考做准备，也是在为大学的学习打基础.随着传统模式下的教育弊端日益突出，教育制度不断在改善，新课改的新教学目标中，要求学生从过去应试模式下的解题型转变为创新型、实践型，这就要求学生具备创造性思维的能力.情景教学的引用，将是一个重大的突破，可以从不同层次对教学产生积极地影响，从而提高课堂教学质量.

例在△ABC中，已知AF=42，且三内角A、B、C满足sinB-sinA=12sinC，建立直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

解析如图1，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则点A(-22,0)、点B(22，0），由正弦定理得到sinA=BC2R，sinC=AB2R．

因为sinB-sinA=12sinC，则AC-BC=AB2，所以CA-CB=12AB=22

由双曲线的定义知道，点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=2、c=22，所以b2=c2-a2=6．所以顶点点C的轨迹方程为x22-y26=1(x>2)，则点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(2,0)．

解题技巧解决本题的关键是寻找动点C的约束关系，同时要注意以下两点：（1）将角的关系sinB-sinA=12sinC转化为CA-CB=12AB=22为定值．（2）不可忽视“三角形”这一条件，由A、B、C三点不共线，则需要除去点(2,0)．

举一反三：已知定点A(3,0)和定圆C：(x+3)2+y2=16，动圆与圆C外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．

解设动圆圆心为P(x,y)，又圆C的圆心为C(-3,0)，则由已知条件得到PC-PA=4

评析由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，可以根据双曲线的定义确定其方程，这样就可以减少运算量，提高解题速度．探究双曲线，把握关键点，寻求方法点，那对于求双曲线的标准方程一定游刃有余．

三、建构解决问题策略

1．重视通性通法教学,发展学生概括思想

数学思想在高中数学教学中，比数学基础知识更为重要.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，有更高的层次和地位．是数学意识的范畴，用以发展数学解决能力.数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征.只有对数学思想与方法有概括和理解能力，才能解决问题得心应手；只有领悟数学思想与方法，才能将数学能力发展起来.

每一种数学思想与方法，都会在特定环境中有可以依据的基本理论，如分类思想可以分为：概念本身的分类，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；再如同解变形中需要分类的，含参数问题对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等；又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等.

在数学课堂教学中，教师要多重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识“思想”或“方法”的实用性和特殊性，知道在何种情况下使用更为有效，从而培养和提高学生正确应用数学思想和方法，最终提高其解决问题的能力．

3．进行开放题和新型题训练，拓宽知识面

在高中数学题型中，很多都是要着重考查学生分析和解决问题的能力.首要环节就是要让学生先理解题意，而后进一步运用数学思想和方法解决问题.

随着近年来新技术革命的飞速发展，新课标也提出要培养更多具有数学素质，超强创造能力的人才，这些很快就体现在高考的出题方面.尤其是一些新背景题，还有开放题的出现，更加注重了对高考学生能力的考查.由于开放题的特征是题目条件不充分，不能有确定的结论，而新背景题的背景设置模糊，目的是给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造困难，训练学生的数学知识面.为此，导致很多高考生失分率较高.如很多学生由于对“垄”和“减薄率不超过 ”无法正确理解而不知所措，遇到一些背景改变的类型题就束手无策.又如在读懂所给图形的前提下，才能正确作出解答的一些题型，部分学生也往往因为见识较少，而导致失分很高.因此，教师一定在平时适当进行开放题和新型题的训练，对学生的知识面有所拓宽，这样才能从根本上有效提高分析和解决问题的能力，并作出必要的补充.积极培养起数学思想，同时还要加强对数学方法的综合研判能力.

例如在数学解题过程中，要让学生解决问题之后，养成回过头对解题活动进行回顾探讨的习惯，这是非常有益的一个环节，可以让学生对自己的解题思路逐渐清晰准确，并建立自己的解题思路和风格.

数学思想和方法越来越为大众所熟知，数学的应用能力越来越受到人们的重视.在高中数学教学中，数学教师已经不再仅限于教授学生枯燥的数学知识，而是越来越重视对学生的应用意识和能力的培养.数学课堂是高中数学知识的殿堂，就我国目前的数学教学而言，数学教师还是主要通过数学课堂传授知识，增强学生的数学应用意识和能力.

一、总结经验和方法

探索自然、解决问题、探知奥秘的过程中，经过总结归纳，逐步形成了具有显著功效的经验和方法，并加以提炼升华，形成了具有理论性的方法和实践.学生作为经历阶段学习历程的客观存在体，在较长时间段的学习探知过程中，通过探知新知、解答问题的直接活动，获取和掌握一定的学习方法和经验，同时，在教师的指导和帮助下，也获得了解决问题、学习新知的方法和策略.这些直接经验和间接成果，经过归纳和提炼，逐步转化成为学生进行知识学习的思想策略.在教学实践中，学生良好数学思想的建立，能够为教学活动的深入推进和学习活动的有效开展，提供方法指导和思想保障.

如,在讲到三垂线定理时，教师可以制作一组幻灯片，以立方体为模型，使之从不同方位转动，得到不同位置的垂线. 学生可以从中获得感性认识，加深对定理中各种情况的理解，使学生对定理的应用更加灵活，从而提高学习效率.另外，不仅教师在课堂上针对不同的教学内容合理利用计算机技术是非常有必要的，而且教师还要积极引导学生合理利用计算机技术，再如,教师在讲“循环语句”的理解时，在示范操作寻找满足1×3×5×7…>1000条件的最小整数后让学生思考:(1)1×3×5×7…≦1000成立的最大整数?(2)若交换记数与累乘的顺序,则输出语句有何改变?(3)输出语句放在循环体内,则结果有何变化?通过这样变式练习思考,然后进行操作加以验证，让每个学生围绕探索的问题，明确探索的方向，思考出自己的方法，思维方式可以自由，开放的去摸索数学知识的产生过程，使学生成为知识的主人，感到自己就是一个发现者、研究者、探索者，从而充满了学习信心和欲望，增强了创新能力.

二、问题是数学的“心脏”

数学学科知识内涵和架构体系的承载体，更是教学目标要求和学生能力培养的重要平台.教育实践学指出，高中生问题解答的过程，就是观察比较、分析综合、分类归纳、抽象概括的过程，有助于学生学习能力的培养和提升.高中数学新课标倡导让每个学生在学习过程中，学习能力和素养得到充分而又显著的锻炼和发展.高中数学作为高中学科教学的重要组成部分，在培育学生良好学习能力方面，发挥重要作用.

高中数学的学习至关重要，这不仅是在为高考做准备，也是在为大学的学习打基础.随着传统模式下的教育弊端日益突出，教育制度不断在改善，新课改的新教学目标中，要求学生从过去应试模式下的解题型转变为创新型、实践型，这就要求学生具备创造性思维的能力.情景教学的引用，将是一个重大的突破，可以从不同层次对教学产生积极地影响，从而提高课堂教学质量.

例在△ABC中，已知AF=42，且三内角A、B、C满足sinB-sinA=12sinC，建立直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

解析如图1，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则点A(-22,0)、点B(22，0），由正弦定理得到sinA=BC2R，sinC=AB2R．

因为sinB-sinA=12sinC，则AC-BC=AB2，所以CA-CB=12AB=22

由双曲线的定义知道，点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=2、c=22，所以b2=c2-a2=6．所以顶点点C的轨迹方程为x22-y26=1(x>2)，则点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(2,0)．

解题技巧解决本题的关键是寻找动点C的约束关系，同时要注意以下两点：（1）将角的关系sinB-sinA=12sinC转化为CA-CB=12AB=22为定值．（2）不可忽视“三角形”这一条件，由A、B、C三点不共线，则需要除去点(2,0)．

举一反三：已知定点A(3,0)和定圆C：(x+3)2+y2=16，动圆与圆C外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．

解设动圆圆心为P(x,y)，又圆C的圆心为C(-3,0)，则由已知条件得到PC-PA=4

评析由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，可以根据双曲线的定义确定其方程，这样就可以减少运算量，提高解题速度．探究双曲线，把握关键点，寻求方法点，那对于求双曲线的标准方程一定游刃有余．

三、建构解决问题策略

1．重视通性通法教学,发展学生概括思想

数学思想在高中数学教学中，比数学基础知识更为重要.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，有更高的层次和地位．是数学意识的范畴，用以发展数学解决能力.数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征.只有对数学思想与方法有概括和理解能力，才能解决问题得心应手；只有领悟数学思想与方法，才能将数学能力发展起来.

每一种数学思想与方法，都会在特定环境中有可以依据的基本理论，如分类思想可以分为：概念本身的分类，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；再如同解变形中需要分类的，含参数问题对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等；又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等.

在数学课堂教学中，教师要多重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识“思想”或“方法”的实用性和特殊性，知道在何种情况下使用更为有效，从而培养和提高学生正确应用数学思想和方法，最终提高其解决问题的能力．

3．进行开放题和新型题训练，拓宽知识面

在高中数学题型中，很多都是要着重考查学生分析和解决问题的能力.首要环节就是要让学生先理解题意，而后进一步运用数学思想和方法解决问题.

随着近年来新技术革命的飞速发展，新课标也提出要培养更多具有数学素质，超强创造能力的人才，这些很快就体现在高考的出题方面.尤其是一些新背景题，还有开放题的出现，更加注重了对高考学生能力的考查.由于开放题的特征是题目条件不充分，不能有确定的结论，而新背景题的背景设置模糊，目的是给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造困难，训练学生的数学知识面.为此，导致很多高考生失分率较高.如很多学生由于对“垄”和“减薄率不超过 ”无法正确理解而不知所措，遇到一些背景改变的类型题就束手无策.又如在读懂所给图形的前提下，才能正确作出解答的一些题型，部分学生也往往因为见识较少，而导致失分很高.因此，教师一定在平时适当进行开放题和新型题的训练，对学生的知识面有所拓宽，这样才能从根本上有效提高分析和解决问题的能力，并作出必要的补充.积极培养起数学思想，同时还要加强对数学方法的综合研判能力.

例如在数学解题过程中，要让学生解决问题之后，养成回过头对解题活动进行回顾探讨的习惯，这是非常有益的一个环节，可以让学生对自己的解题思路逐渐清晰准确，并建立自己的解题思路和风格.

数学思想和方法越来越为大众所熟知，数学的应用能力越来越受到人们的重视.在高中数学教学中，数学教师已经不再仅限于教授学生枯燥的数学知识，而是越来越重视对学生的应用意识和能力的培养.数学课堂是高中数学知识的殿堂，就我国目前的数学教学而言，数学教师还是主要通过数学课堂传授知识，增强学生的数学应用意识和能力.

一、总结经验和方法

探索自然、解决问题、探知奥秘的过程中，经过总结归纳，逐步形成了具有显著功效的经验和方法，并加以提炼升华，形成了具有理论性的方法和实践.学生作为经历阶段学习历程的客观存在体，在较长时间段的学习探知过程中，通过探知新知、解答问题的直接活动，获取和掌握一定的学习方法和经验，同时，在教师的指导和帮助下，也获得了解决问题、学习新知的方法和策略.这些直接经验和间接成果，经过归纳和提炼，逐步转化成为学生进行知识学习的思想策略.在教学实践中，学生良好数学思想的建立，能够为教学活动的深入推进和学习活动的有效开展，提供方法指导和思想保障.

如,在讲到三垂线定理时，教师可以制作一组幻灯片，以立方体为模型，使之从不同方位转动，得到不同位置的垂线. 学生可以从中获得感性认识，加深对定理中各种情况的理解，使学生对定理的应用更加灵活，从而提高学习效率.另外，不仅教师在课堂上针对不同的教学内容合理利用计算机技术是非常有必要的，而且教师还要积极引导学生合理利用计算机技术，再如,教师在讲“循环语句”的理解时，在示范操作寻找满足1×3×5×7…>1000条件的最小整数后让学生思考:(1)1×3×5×7…≦1000成立的最大整数?(2)若交换记数与累乘的顺序,则输出语句有何改变?(3)输出语句放在循环体内,则结果有何变化?通过这样变式练习思考,然后进行操作加以验证，让每个学生围绕探索的问题，明确探索的方向，思考出自己的方法，思维方式可以自由，开放的去摸索数学知识的产生过程，使学生成为知识的主人，感到自己就是一个发现者、研究者、探索者，从而充满了学习信心和欲望，增强了创新能力.

二、问题是数学的“心脏”

数学学科知识内涵和架构体系的承载体，更是教学目标要求和学生能力培养的重要平台.教育实践学指出，高中生问题解答的过程，就是观察比较、分析综合、分类归纳、抽象概括的过程，有助于学生学习能力的培养和提升.高中数学新课标倡导让每个学生在学习过程中，学习能力和素养得到充分而又显著的锻炼和发展.高中数学作为高中学科教学的重要组成部分，在培育学生良好学习能力方面，发挥重要作用.

高中数学的学习至关重要，这不仅是在为高考做准备，也是在为大学的学习打基础.随着传统模式下的教育弊端日益突出，教育制度不断在改善，新课改的新教学目标中，要求学生从过去应试模式下的解题型转变为创新型、实践型，这就要求学生具备创造性思维的能力.情景教学的引用，将是一个重大的突破，可以从不同层次对教学产生积极地影响，从而提高课堂教学质量.

例在△ABC中，已知AF=42，且三内角A、B、C满足sinB-sinA=12sinC，建立直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．

解析如图1，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则点A(-22,0)、点B(22，0），由正弦定理得到sinA=BC2R，sinC=AB2R．

因为sinB-sinA=12sinC，则AC-BC=AB2，所以CA-CB=12AB=22

由双曲线的定义知道，点C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，且a=2、c=22，所以b2=c2-a2=6．所以顶点点C的轨迹方程为x22-y26=1(x>2)，则点C的轨迹为双曲线的右支且除去点(2,0)．

解题技巧解决本题的关键是寻找动点C的约束关系，同时要注意以下两点：（1）将角的关系sinB-sinA=12sinC转化为CA-CB=12AB=22为定值．（2）不可忽视“三角形”这一条件，由A、B、C三点不共线，则需要除去点(2,0)．

举一反三：已知定点A(3,0)和定圆C：(x+3)2+y2=16，动圆与圆C外切，并且过点A，求动圆圆心P的轨迹方程．

解设动圆圆心为P(x,y)，又圆C的圆心为C(-3,0)，则由已知条件得到PC-PA=4

评析由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，可以根据双曲线的定义确定其方程，这样就可以减少运算量，提高解题速度．探究双曲线，把握关键点，寻求方法点，那对于求双曲线的标准方程一定游刃有余．

三、建构解决问题策略

1．重视通性通法教学,发展学生概括思想

数学思想在高中数学教学中，比数学基础知识更为重要.它蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，有更高的层次和地位．是数学意识的范畴，用以发展数学解决能力.数学方法是数学思想的具体体现，具有模式化与可操作性的特征.只有对数学思想与方法有概括和理解能力，才能解决问题得心应手；只有领悟数学思想与方法，才能将数学能力发展起来.

每一种数学思想与方法，都会在特定环境中有可以依据的基本理论，如分类思想可以分为：概念本身的分类，象等比数列的求和公式中对公比的分类和直线方程中对斜率的分类等；再如同解变形中需要分类的，含参数问题对参数的讨论、解不等式组中解集的讨论等；又如数学方法的选择，二次函数问题常用配方法，含参问题常用待定系数法等.

在数学课堂教学中，教师要多重视通性通法，淡化特殊技巧，使学生认识“思想”或“方法”的实用性和特殊性，知道在何种情况下使用更为有效，从而培养和提高学生正确应用数学思想和方法，最终提高其解决问题的能力．

3．进行开放题和新型题训练，拓宽知识面

在高中数学题型中，很多都是要着重考查学生分析和解决问题的能力.首要环节就是要让学生先理解题意，而后进一步运用数学思想和方法解决问题.

随着近年来新技术革命的飞速发展，新课标也提出要培养更多具有数学素质，超强创造能力的人才，这些很快就体现在高考的出题方面.尤其是一些新背景题，还有开放题的出现，更加注重了对高考学生能力的考查.由于开放题的特征是题目条件不充分，不能有确定的结论，而新背景题的背景设置模糊，目的是给学生在题意的理解和解题方法的选择上制造困难，训练学生的数学知识面.为此，导致很多高考生失分率较高.如很多学生由于对“垄”和“减薄率不超过 ”无法正确理解而不知所措，遇到一些背景改变的类型题就束手无策.又如在读懂所给图形的前提下，才能正确作出解答的一些题型，部分学生也往往因为见识较少，而导致失分很高.因此，教师一定在平时适当进行开放题和新型题的训练，对学生的知识面有所拓宽，这样才能从根本上有效提高分析和解决问题的能力，并作出必要的补充.积极培养起数学思想，同时还要加强对数学方法的综合研判能力.

例如在数学解题过程中，要让学生解决问题之后，养成回过头对解题活动进行回顾探讨的习惯，这是非常有益的一个环节，可以让学生对自己的解题思路逐渐清晰准确，并建立自己的解题思路和风格.